દ્વિઘાત સમીકરણોનો વ્યવહારિક ઉકેલ: ત્રિકોણિય પરિમાણ

એક ત્રિકોણની ઊંચાઈ તેના પાયાની લંબાઈ કરતા 4 ઇંચ ઓછી છે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 30 ઇંચ સ્કવેર છે, તો તેની ઊંચાઈ અને પાયાનું માપ શોધો,ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર a = 1/2 b into h એટલે કે પાયો ગુણ્યાં વેધનો યોગ્ય ઉપયોગ કરી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો, સૌપ્રથમ આમ કરવા માટે હું ત્રિકોણ રચીશ,આ ત્રિકોણમાં આ ભાગ જે છે તે તેનો પાયો પાયો એટલે કે બેઝ,બેઝ હોવાથી તેને હું b વડે દર્શાવીશ, આ તેની ઊંચાઈ, ઊંચાઈ એટલે કે હાઈટ કે જેને હું h વડે દર્શાવીશ અને આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ થશે a એટલે કે એરીયા = 1/2 પાયો ગુણ્યાં વેધ,પાયો કે જેને આપણે b કહ્યો છે એટલે કે બેઝ ગુણ્યાં ઊંચાઈ, ઊંચાઈ એટલે કે h ,અહીં આ પ્રથમ વાક્યમાં જણાવ્યું છે કે એક ત્રિકોણની ઊંચાઈ તેના પાયાની લંબાઈ કરતાં 4 ઇંચ ઓછી છે માટે અહીં આગળ ઊંચાઈ થશે, ઉંચાઇ h બરાબર b કે જે પાયો છે - 4 વળી આપણે અહીં આપ્યું છે કે ત્રિકોણ નું ક્ષેત્રફળ 30 ઇંચ સ્ક્વેર છે એટલે કે 1/2 into b into h એટલે કે 1/2 ગુણ્યાં પાયો અને પાયા પર દોરેલ વેધ જો લઈએ તો તેની કિંમત આપણને 30 ઇંચ સ્કવેર મળશે માટે અહીં આગળ આપણે લખીશું 30 = 1/2 ગુણ્યાં બેઝ ,બેઝ એટલે કે પાયો જેને આપણે b વડે દર્શાવીશું ગુણ્યાં h ,અહીં આગળ જોઇએ તો h આપણે જાણીએ છીએ કે આ જે h ની જે કિંમત છે તે b - 4 જેટલી છે કારણકે અહીં આપ્યું છે કે પાયાની લંબાઇ કરતા 4 ઇંચ ઓછી છે માટે અહીં આગળ હું મુકીશ b - 4 માટે અહીં આપણને મળશે 30 = 1/2 હવે b ને આપણે અહીં આગળ ગુણીએ તો અહીં મળશે b વર્ગ આપણે એને આ રીતે લખીએ તો અહીં આગળ b એક વડે ગુણાતા થશે b by 2 કૌંશમાં b - 4 હવે b ના આ પદને અંદરની તરફ ગુણતા આપણને મળશે 30 =ગુણાકાર થતા મળશે b સ્કવેર બાય 2 - અહીં આગળ 4 devided by 2 છે એટલે આપણને મળશે 2b હવે આ સમીકરણમાં આ અપૂર્ણાંકને દૂર કરવા માટે હું આ સમીકરણની બંને બાજુને 2 વડે ગુણીશ, ગુણ્યાં 2 અહીં આગળ પણ આ સમીકરણને 2 વડે ગુણીશ આમ કરતા અહીં આગળ ડાબીબાજુએ આ બંને ગુણાતા જવાબ મળશે 60 = આ 2 ને અંદરની તરફ ગુણતા 2b સ્કવેર upon 2 એટલે આ થશે b સ્કવેર - 2 ગુણ્યાં 2b = 4b હવે આપણી પાસે આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ ને ઉકેલવા માટેનો શ્રેષ્ઠ રસ્તો એ છે કે અહીં આગળ b નો 2 ઘાત છે તો તેથી આ સમીકરણના બધા જ પદોને એક તરફ લઇ લઈએ આ ને = 0 થાય આમ કરવા માટે ડાબી તથા જમણી બાજુએ હું 60 બાદ કરીશ - 60 ,જમણી બાજુએ પણ 60 minus કરીશ આમ કરતાં અહીં આગળ 60 - 60 એટલે આપણને મળશે 0 = b સ્કવેર - 4b - 60 હવે આના અવયવ પાડો, અવયવ પાડતા બે વસ્તુનો ગુણાકાર તેને બરાબર શૂન્ય હોય તો કહી શકાય કે બંનેમાંની એક અથવા બન્ને બરાબર શૂન્ય થાય તો આપણે b સ્કવેર - 4b - 60 ના અવયવ પાડીએ એમ કરતા એવા બે અવયવ કે જેનો સરવાળો - 4 થતો હોય અને એવા બે અવયવ લેવાના છે કે જેનો બંનેનો ગુણાકાર એ - 60 થતો હોય એવું કહેવામાં આવ્યું છે કે ગુણાકાર ઋણ થાય આપણે જાણીએ છીએ કે જુદા જુદા ચિહ્નો હોય તો આમ થઈ શકે અને તેઓ કહે છે કે તે નિરપેક્ષ કિંમત 4 સિવાયની હોવી જોઈએ બીજી કરતાં આ 4 જેટલી નાની હોવી જોઈએ તો આપણે 7 ના અવયવના ગુણાકાર પર ધ્યાન કેન્દ્વિત કરીએ,એના અવયવ થશે 1 & 60 આ બંને વચ્ચે ઘણો તફાવત છે જો આપણે બેમાંથી કોઈ એક ઋણ લઈએ તો આપણને મળશે - 59 અથવા તો + 59 માટે આ અવયવ ના ચાલે બીજા અવયવ લઈએ, 2 ગુણ્યાં 30 અહીં આગળ પણ ખૂબ મોટો ગેપ છે માટે આ પણ ન ચાલી શકે ત્રીજું થશે 3 ગુણ્યાં 20 આ અવયવ પણ ના ચાલે બે માંથી એક ઋણ હોય તો આપણને કિંમત મળી શકે -17 or + 17 અન્ય અવયવ હોઈ શકે 4 અને 15 આમ કરતાં પણ જોઈએ તો હજી પણ એ દૂર છે અહીં આગળ બે માંથી કોઈ એક ઋણ લઈએ અને તેમનો તફાવત લઈએ તો આપણને મળશે -11 અને + 11 અન્ય અવયવ લઈએ 5 ગુણ્યાં 12 હજી પણ એ ઘણું દુર છે બે માંથી એક ઋણ લઈએ તો આપણને અહીં આગળ તફાવત મળશે - 7 અથવા + 7 અન્ય અવયવ લઈએ તો એ થશે 6 ,10 , આ ઘણું રસપ્રદ છે અહીં આગળ જોઈએ તો બે વચ્ચેનો તફાવત 4 થાય છે અહીં મોટી કિંમતને ઋણ ચિન્હ આપીશ તો -10 + 6 કરતા અહીં આગળ મળશે -4 અને આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા આપણને જવાબ મળશે - 60 આમ અહીં આગળ આ બને અવયવો ચાલશે આપણે અહીં આગળ લખીશું = b + 6 ગુણ્યાં b -10 આમ b +6 અને a + b જેવું થશે અને અહીં આગળ આપણે થોડી કાળજી લઈશું,અહીં આગળ ધ્યાન કેન્દ્વિત કરીએ તો આ b અને અહીં આગળ વાપરવામાં આવેલ આ b બને જુદા જ છે આપણે તે એવી બે સંખ્યા જોઈએ છે જેને આપણે અહીં આગળ આ બીજા પદમાં ઉમેરવાનો છે આ બી જુદો જ છે માટે a + b = - 4 કહેવાની જગ્યાએ આપણે કહીએ x + y = - 4 ગૂંચવાળો ન થાય તે માટે હું અહીંયા લખીશ x + y = - 4 અને આની જગ્યાએ લખીશ x ગુણ્યાં y = - 60 આમ x અને y લેતા આપણે કહી શકીએ કે b + x ગુણ્યાં b - y જ્યાં આગળ b ની કિંમત આમ x અને y લેતા કહી શકીએ કે b + x અહીંયા b - y અહીં આગળ x ની કિંમત છે 6 અને y ની કિંમત છે -10 અને તેનો ગુણાકાર થાય છે શૂન્ય માટે અહીં આગળ આપણે લખીશું = 0 આપણે તેનો અહીં આગળ તેનો ઉકેલ લાવીએ,તમારે જૂથ દ્વારા આના અવયવ પાડવા જોઈએ પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે આમાંનો એક અવયવ એ શૂન્ય છે આમ આ બે માંથી કોઈ એક અવયવ 0 છે માટે અહીં આગળ આપણે લખીશું b , b + 6 = 0 અથવા b -10 = 0 અહીં આગળ બંને બાજુએ - 6 કરતા મને મળશે b = - 6 અથવા અહીં આગળ બંને બાજુએ 10 ઉમેરતા મળશે b = 10 આમ અહીં આગળ b ના આપણને બે ઉકેલો મળે છે b = - 6 & b = 10 જો આ સમીકરણમાં b ની કિંમત મૂકીને આપણે જોઈએ તો પણ આ બંને તેના ઉકેલો છે તે સ્પષ્ટ થશે,આ બંને ઉકેલોને આપણે આ સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસી શકીએ છીએ બીજી રીતે પણ તેને ઉકેલી શકો છો તેનાથી પણ આપણને એ જ જવાબ મળશે બીજી રીતે પણ આપણે તેને ઉકેલી શકીએ અને એનો ઉકેલ મેળવતા આ જ બે અવયવો મળશે આ અન્ય રીતમાં આ - 4b ને આપણે બે ઘટકોમાં વહેંચી નાખીશું, અહીં આગળ લખીશ 0 = b સ્કવેર, - 4 મેળવવા માટે અહીં આગળ એને આપણે બે અવયવોમાં વહેંચીએ તો થશે + 6b - 10b - 60, હવે આપણે તેને જૂથમાં વહેચી નાખીએ તો આ પહેલા બે પદોનું જૂથ બનાવીશ,આ બીજા બે પદોનું જૂથ બનાવીશ અને બંનેનો સરવાળો કરીશું અહીં આગળ બે માંથી b ને સામાન્ય લેતા લખીશું b ગુણ્યાં b + 6 અને તે જ પ્રમાણે અહીંથી -10 સામાન્ય લેતા -10 (b + 6) અને તે થશે = 0 હવે અહીં આગળ b + 6 ને અવયવ તરીકે લેતા અહીં b + 6 અને અહીં પણ b + 6 ને અવયવ તરીકે લેતા આપણે લખી શકીશું 0 = આ થશે b - 10 ગુણ્યાં b + 6 અહીં આગળ આપણે b + 6 અને આ b + 6 ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લીધો અને આમ કરતાં અહીં આગળ બચશે b – 10 અને આમ કરતાં આપણને તે જ મળ્યું કે જે અહીં આપણે એક જ સ્ટેપની અંદર કર્યું હતું,આપણે જે ઉપર કર્યું તે બાબત અહીં આગળ મળે છે પણ બીજી રીતે ઉકેલ મળે છે જે છે b = - 6 અથવા b = 10 અહીં આગળ ધ્યાન રાખવું જોઈએ કારણ કે આ એક વ્યવહારિક પ્રશ્ન છે જેને આપણે કૂટપ્રશ્ન પણ કહીએ છીએ આમ આપણે કહી શકીએ કે b ની કિંમત - 6 હોય અથવા 10 હોય પરંતુ તે મૂળદાખલાને અનુરૂપ હોવું જોઈએ આપણે અહીં આગળ જોઈએ તો આપણે ત્રિકોણની લંબાઈની વાત કરી રહ્યા છે , આપણે અહીં આગળ જોઈએ તો આપણે ત્રિકોણની બાજુઓની વાત કરી રહ્યા છે અથવા ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ વિશે વાત કરી રહ્યા છે તો આપણે લંબાઇ ઋણ હોઈ શકે નહીં માટે અહીં આગળ b ની કિંમત - 6 હોઈ શકે નહીં, આપણે એવું કહી શકીએ કે b ની કિંમત - 6 હોય અથવા 10 હોય પરંતુ તે મૂળદાખલાને અનુરૂપ હોવું જોઈએ તો આપણે અહીં આગળ જોઇએ તો આ b છે કે જે ત્રિકોણની એક બાજુની લંબાઈ છે કે જે ઋણ હોઈ શકે નહીં માટે આપણે અહીં આગળ b = - 6 ને કેન્સલ કરીશું, આમ આપણી પાસે બે ઉકેલ મળે છે b = - 6 અને b = 10 પરંતુ આપણે તેને દાખલાની મૂળ રીતે જોવાનું છે તો મૂળ દાખલામાં જોઈએ તો આ b જે છે ત્રિકોણની બાજુ છે અને બાજુની લંબાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં માટે b ની કિંમત એ - 6 હોઈ શકે નહીં કારણ કે પાયો ક્યારેય - 6 ના હોઈ શકે માટે આપણે તેને દૂર કરીશું તો અહીં આગળ હું આ b ની આ કિંમતને દૂર કરીશ,b = - 6 દૂર કરતા આપણી પાસે ફક્ત એક જ ઉકેલ રહ્યો છે જે છે b = 10 આપણા મૂળ દાખલામાં કહ્યું છે કે ઊંચાઈ અને પાયાનું માપ શોધો, પાયો b કે જેની કિંમત આપણે મેળવી કે જે થશે n અને આપણને અહીં કહ્યું છે કે પાયાની લંબાઈ કરતા 4 ઇંચ ઓછી છે ઊંચાઈ એટલે કે b = - 4 અહીં આગળ b ની કિંમત મૂકતા આપણને મળશે 10 - 4 = 6 અને આ સૂત્રમાં જો આપણે આ બંને કિંમતો મૂકીએ તો 6 ગુણ્યાં 10 , 60 અને એને one half કરીશું તો આપણને જવાબ મળશે ક્ષેત્રફળ a = 30