ઉદાહરણ: સમીકરણને પૂર્ણ વર્ગ બનાવી ઉકેલ

ચલો આપણે અહી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ને ઉકેલીએ x સ્ક્વેર - 2x - 8 = 0 આ દાખલા ને ગણવાની જુદી જુદી પદ્ધતિઓ છે આપણે આ ડાબી બાજુ ના અવયવ પાડી આ દાખલા નો ઉકેલ મેળવી શકીએ હવે આપણે જે કરવા જઈ રહ્યા છે તે પૂર્ણવર્ગ પદવલિ છે તો તમને એમ થશે કે એનો અર્થ શું થાય એનો અર્થ એ થાય છે કે આ સમીકરણ ની ડાબી બાજુ ને હું x + a સ્ક્વેર + b ના સ્વરૂપ માં લખવા માંગું છુ જો આપણે આ ડાબી બાજુ ને આ સ્વરૂપ માં લખીશું તો તેનો ઉકેલ મેળવી શકીશું તો આપણે તે કરીએ આપણે એ યાદ કરીએ કે ડાબી બાજુ ને આ સ્વરૂપ માં ફેરવવા માટે આપણે આ ડાબી બાજુ ને ફરીથી ગોઠવવું પડશે હવે જો અહી આગળ હું x + a હોલ સ્ક્વેર નો વિસ્તરણ કરીશ તો મને મળશે x સ્ક્વેર + 2ax + a સ્ક્વેર અને તમારી પાસે અહી આગળ આ + b તો છેજ આ ડાબી બાજુને એ સ્વરૂપ માં લખી શકાય કે નહિ તે માટે અહી આગળ હું લખીશ x સ્ક્વેર - 2x થોડી જગ્યા છોડીશ અને અહી આગળ લખીશ -8 અહી ફરીથી થોડી જગ્યા છોડીશ અને અહી આગળ લખીશ = 0 ફક્ત મેં આ સમીકરણ ને ફરીથી લખ્યું છે જેમાં વચ્ચે થોડી ગેપ રાખી છે જેને કારણે અહી આગળ હું કોઈ વસ્તુ અહી ઉમેરી અથવા બાદ કરી શકું આ સમીકરણ ને ફરીથી લખ્યું છે અને અહી આગળ થોડી જગ્યા છોડી છે જેને કારણે અહી આગળ હું કઈંક ઉમેરી અથવા બાદ કરી શકું અને તેને સરળતા થી આ સ્વરૂપ માં ફેરવી શકું હવે આપણે બંને સમીકરણ ને સરખાવીએ x સ્ક્વેર x સ્ક્વેર + 2ax -2x જો આ પદ 2ax હોય તો 2a = -2 માટે a = -1 હવે જો આપણે બીજી રીતે વિચારીએ તો a એ તમારા એક ઘાત વાળા પદ ના સહગુણક થી અડધું હશે તો x નો સહગુણક -2 છે તો તેનું અડધું -1 થાય હવે આપણને a ણો વર્ગ જોઈએ છે અહી આગળ a = -1 હોય તો -1 નો વર્ગ કરતા આપણને અહી આગળ મળશે +1 પરંતુ આપણને તે કરી શકીએ તે પહેલા આપણે કોઈ એક બાજુએ સરવાળો કે બાદ બાકી કરી શકીએ નહિ નહિ તો તમે તેને મુળ થી બદલો છો જો હું એક બાજુ માં 1 ઉમેરું તો તેને મારે બીજી બાજુ પણ ઉમેરવું પડે અથવા ડાબી બાજુ થી તે ફરીથી બાદ કરવું પડે જો હું ડાબી બાજુએ ઉમેરું છુ તો જમણી બાજુ પર ઉમેરવું પડે જેથી સમીકરણ નો અર્થ બદલાય નહિ હવે અહી આગળ ડાબી બાજુએ મેં 1 ઉમેર્યો છે તો ડાબી બાજુએ જ હું 1 બાદ કરી દઈશ જેથી સમીકરણ નું મુળ સ્વરૂપ બદલાતું નથી મેં ફરીથી શા માટે કર્યું એક બાબત ઉમેર્યા અને એક બાબત બાદ કરી એટલે કે તેની કિંમત બદલાતી નથી પરંતુ આમ કરવાથી આ સમીકરણ નો આ ડાબો ભાગ કે જે આના જેવો થશે x સ્ક્વેર + 2ax કે જ્યાં a = -1 છે કે જેથી ઋણ બે એકમ x સ્ક્વેર -2ax કે જ્યાં a = -1 તેથી તે - 2 x સ્ક્વેર -2ax કે જ્યાં a = -1 માટે આ થશે -2x + -1 સ્ક્વેર ઇસ ઇક્વલ ટુ 1 અને આ જે ભાગ છે તે છે +b આમ આપણે અહી આગળ જોઈ શકીએ કે b ની કિંમત થશે -9 -8 -1 એટલે -9 કે જે આપણો આ b છે હવે હું આ ભાગ ને ફરીથી આ રીતે લખીશ x + a સ્ક્વેર કે જ્યાં a - 1 છે તેને આ રીતે લખી શકું x - 1 હોલ સ્ક્વેર આ -9 = 0 હવે હું અહી આગળ બંને બાજુ 9 ઉમેરું તો મારી પાસે ડાબી બાજુ ફક્ત આ વર્ગ વળી અભી વ્યક્તિ રહેશે તો હું તેમ કરું છુ +9 જમણી બાજુએ પણ +9 અને આમ કરતા જોઈએ કે આપણી પાસે શું બાકી રહે છે તો જોઈએ આપણે આમ કરતા ડાબી બાજુએ આ બંને 9 કેન્સલ થઈ જશે અને મારી પાસે રહેશે x - 1 સ્ક્વેર = 9 0 + 9 એટલે અહી રહેશે 9 જો મારી પાસે કસાક નો વર્ગ છે અને તે 9 બરાબર છે તો તેનો મતલબ એ થાય કે 9 ના વર્ગ નું ધન અથવા ઋણ મુલ્ય છે તેથી ધન કે ઋણ 3 બરાબર થાય તો આપણે અહી આગળ લખી શકીએ કે x - 1 = 3 અથવા x - 1 = -3 હવે x -1 = 3 3 સ્ક્વેર = 9 અથવા જો x -1 = -3 તો -3 સ્ક્વેર ઇસ 9 હવે હું આ સમીકરણ માં બંને બાજુ 1 ઉમેરીશ આમ કરતા તમે જોશો કે x = 4 અથવા જો અહી આગળ હું બંને બાજુએ 1 ઉમેરીશ તો અહી આગળ થશે x = -3 + 1 એટલે થશે -2 તો અહી આગળ x = 4 અથવા x = -2 હોઈ શકે હવે તમે કહેશો કે શા માટે પૂર્ણવર્ગ પદ્ધતિ કરવી જોઈએ જો હું આના અવયવ પાડું અને પેલી રીતે ગણી શકતો હોઉં તો શામાટે બધી ઝ્હ્ન્ઝટ કરીએ પરંતુ આ દાખલા માટે પૂર્ણવર્ગ પદાવલી ની રીત ખુબજ યોગ્ય છે કારણ કે તમે તે હંમેશા કરી શકો છો તમે જો દ્વિઘાત સમીકરણ નો ઉપયોગ કરો છો તો તમે પૂર્ણવર્ગ પદાવલી ના પરિણામ નેજ ઉપયોગમાં લો છો.