સાબિતી: √2 અસંમેય છે

આપણે આ વિડિઓમાં સાબિત કરીશું કે સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 એ એરોશનલ નંબર એટલે કે અસંમેય સંખ્યા છે અને તે સાબિતી આપણે અનિષ્ટપટ્ટીની રીતે શોધીશું અને આ અનિષ્ટપટ્ટીની રીતે સાબિતી મેળવવા માટે સૌપ્રથમ આપણે આપેલ વિધાનથી વિરોધી વિધાન ધારવું પડે આથી આ વિધાન ને સાબિત કરવા માટે આપણે તેનું વિરોધી વિધાન ધારી લઈએ જો આપણે અનિષ્ટપટ્ટીની રીતે ઉકેલીએ અને આપણને સ્કવેર રૂટ ઓફ સંમેય સંખ્યા મળે તો આપણે સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 અસંમેય સંખ્યા છે તે તારવવુંજ પડે આથી આપણે આનું વિરોધી ધારી લઈએ સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 સંમેય સંખ્યા છે આથી જો સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 સંમેય સંખ્યા હોય તો સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 = 2 ઇન્તેજર્સનો ગુણોત્તર એટલે કે a બાય b મળે અને તેમના કોમન ફેક્ટર ન હોય અથવા જો તેમને કોમન ફેક્ટર હોય તો ન્યુમિરેટર અને ડિનોમિનેટર માંથી તેમના કોમન ફેક્ટર કરી તેમને કેન્સલ કરી આપણે એવા સ્વરૂપમાં ફેરવી શકીએ કે જેમાં તેમના કોમન ફેક્ટર ન હોય અથવા બીજી રીતે કહીએ તો a અને b બંને અવિભાજ્ય છે અથવા એમ પણ કહી શકાય કે આ ગુણોત્તરને વધુ સાદુંરૂપ આપી ન શકાય જો આપણે કોઈપણ બે ઇન્તેજર્સનો ગુણોત્તર લઈએ તો તેનું સાદુંરૂપ આપી શકાય આપણે તે ગુણોત્તરમાંથી કઈંક ને કંઈક કોમન ફેક્ટર લઇ શકીએ જ્યાં સુધી તેનું અઢીસંક્ષિપ્ત રૂપ ન મળે અનિષ્ઠા પટ્ટીની રીતે ઉકેલવા માટે આપણે ધરી લઈએ કે ગુણોત્તર a અને b નું વધુ સાદુંરૂપ આપી શકાય નહિ આથી આપણે આને ધારી લઈએ કે સાદું રૂપ આપી શકાય નહિ અને ધારી લઈએ કે a અને b માં 1 સિવાય સામાન્ય અવયવ નથી આથી આ બંને માં કોમન ફેક્ટર એટલે કે સામાન્ય અવયવ નથી તેથી તે અવિભાજ્ય છે આપણે આનું વધુ સાદુંરૂપ આપીએ બંને બાજુ આપણે સ્કવેર કરીએ તો રૂપ 2 સ્કવેર આપણને 2 મળે અને તેના બરાબર a સ્કવેર બાય b સ્કવેર મળે હવે બંને બાજુ આપણે b સ્કવેરને ગુણીએ આથી ડાબી બાજુ 2 b સ્કવેર = a સ્કવેર મળે હવે આ a સ્કવેર શું દર્શાવે છે અહીં આ a સ્કવેર એ કોઈ સંખ્યા b સ્કવેર ઇન્ટુ 2 દર્શાવે છે આપણે એવું ધારી લઈએ કે b એ ઇન્તેજર છે આથી સહજ રીતે B સ્કવેર પણ કંઈક ઇન્તેજર જ મળે આથી આપણને 2 ઇન્ટુ ઇન્તેજર મળશે અને તે ચોક્કસ પણે આપણને કોઈ ઈવન નંબર એટલે કે બેકી સંખ્યા મળશે આથી આ a સ્કવેર આપણને ઈવન નંબર એટલે કે બેકી પૂર્ણાકજ મળે આથી આપણે લખીએ કે a સ્કવેર આપણને બેકી પૂર્ણાંક મળે અહીં a સ્કવેર એ બે કોઈ સમાન સંખ્યા નો સ્કવેર છે જે a ઇન્ટુ a છે આથી બીજી રીતે કહીએ તો a ઇન્ટુ a બેકી પૂર્ણાંક છે હવે a આપણને શું મળે તે વિચારીએ અહીં આપણે a ને ઇન્તેજર ધાર્યું છે આથી a ઇવન ઓર ઓર બંને ઇંતેજાર હોય શકે આપણે પુનરાવર્તન કરી લઈએ કે બેકી સંખ્યા ગુણ્યાં બેકી સંખ્યા = બેકી સંખ્યા મળે તેજ રીતે ઓર એટલે કે એકી સંખ્યા ગુણ્યાં એકી સંખ્યા બરાબર એકી સંખ્યા મળે અહીં આપણે બે સમાન સંખ્યા વડે ગુણીએ છે આથી આ a આપણને બેકી પૂર્ણાંક મળે અને a ને આપણે a = 2 ઇન્ટુ કોઈ ઇન્તેજર કે દર્શાવી શકીએ એટલે કે a = 2 k દર્શાવી શકીએ હવે તમને પ્રશ્ન થશે કે આનો ઉપયોગ આપણે ક્યાં કરીએ છીએ તો અહીં આપણે b ને બેકી સંખ્યા દર્શાવવા કરીશું અહીં a માટે આપણે તારવ્યું કે 2 ગુણ્યાં કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા નો ગુણાકાર લઈએ તો તે આપણને બેકી સંખ્યા મળે છે આજ રીત આપણે આ પદ માટે લઈએ છે તો 2 ઇન્ટુ b સ્કવેર = હવે a ની જગ્યાએ આપણે 2 k લઈએ તો 2 k સ્કવેર અહીં આપણે તારવ્યું છે કે a એ બેકી પૂર્ણાંક મળે છે જેના બરાબર 2 ગુણ્યાં કોઈક પૂર્ણાંક મળે આથી આના બરાબર 2 ઇન્ટુ b સ્કવેર = 4 k સ્કવેર હવે બંને બાજુ 2 વડે ભાગીએ તો b સ્કવેર = 2 k સ્કવેર હવે અહીં k આપણને ઇન્તેજર મળે છે અને ઇન્તેજર ને 2 સાથે ગુણતા આપણને ઇવન નંબર મળે આથી b સ્કવેર આપણને ઇવન મળે એટલે કે બેકી પૂર્ણાંક મળે અને તેના કારણે b પણ બેકી પૂર્ણાંક થાય હવે શરૂઆત માં આપણે એમ ધારિયુ હતું કે a અને b માં એકસીવાય સામાન્ય અવયવ નથી તથા તેનું સાદુંરૂપ પણ આપી શકાય નહિ તે પરથી a બાય b બરાબર સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 પરથી એવું ચોક્કસ તારણ નીકળે કે a પણ બેકી પૂર્ણાંક છે અને b પણ બેકી પૂર્ણાંક છે જો a પણ બેકી હોય અને b પણ બેકી હોય તો તેમાં કોમન ફેક્ટર આપણને 2 મળે અને a અને b માં કોમન ફેક્ટર 2 હોવાના કારણે આપણે ન્યુમિરેટર અને ડિનોમિનેટર ને 2 વડે ભાગી શકીએ આથી આના પરથી અને આના પરથી આપણે કહી શકીએ કે a અને b માં સામાન્ય અવયવ 2 છે આથી a અને b નું સાદુંરૂપ હવે આપી શકાય છે આથી આને અનિષ્ઠા પતિની રીત કહી શકીએ આથી આપણે કહી શકીએ કે સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 એ અવિભજ્ય ગુણોત્તર a બાય b ના સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય આને અનિષ્ઠા પતિની રીત પ્રમાણે આ ખરેખરતો વિભાજ્ય છે આથી આપણે એમ ધારિયુ હતું કે સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 એ સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટું છે આથી સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 અસંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ