સાબિતી: અવિભાજ્ય સંખ્યાનું વર્ગમૂળ અસંમેય થાય છે

ધારો કે a અને b સંમેય સંખ્યા છે અને b એ શૂન્યતર છે કારણ કે b વડે આપણે ભાગીએ છીએ શું a ભાગ્યા b સંમેય છે અથવા અસંમેય છે અહી આ બંને સંમેય સંખ્યા એટલે કે રેશનલ નંબર વિશે વિચારીએ જો a સંમેય સંખ્યા હોય તો તેને બેઇન્તેજર્સ એટલે કે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર વડે દર્શાવી શકાય આથી a ઇસ ઇકવલ ટુ m બાય n અને તેજ રીતે b ઇસ ઇકવલ ટુ p બાય q લખી શકાય જ્યાં m , n , p અને q એ પૂર્ણાંકો છે વ્યાખ્યા પ્રમાણે સંમેય સંખ્યા ને આ પ્રમાણે ગુણોત્તર માં દર્શાવી શકાય તો હવે a ભાગ્યા b બરાબર શું મળશે તો a ભાગ્યા b બરાબર m ભાગ્યા n છેદ માં p ભાગ્યા q હવે આના બરાબર m ભાગ્યા n અહી ફ્રેકશન એટલે કે અપૂર્ણાંક વડે ભાગવું એ તેને વ્યસ્થ સાથે ગુણવાન બરાબર છે આથી તેનો વ્યસ્થ ગુણ્યાં q ના છેદ માં p મળે હવે આના બરાબર m ગુણ્યાં q છેદમાં np મળે જો બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર પૂર્ણાંક હોય તો mq પૂર્ણાંક મળે તેજ રીતે જો બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર પૂર્ણાંક હોય તો np પૂર્ણાંક મળે અહીં a ભાગ્ય b ને બે પૂર્ણાકોના ગુણોત્તર સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય આથી a ભાગ્ય b સાબિત થાય છે કે તે સંમેય છે આપણે વધુ એક દાખલો ઉકેલીએ ધારો કે a અને b અસંમેય સંખ્યા છે શું a ભાગ્ય b સંમેય છે અથવા અસંમેય છે દર વખત ની જેમ તમે વિડિઓ થોબવીને કેટલાક અસંમેય સંખ્યા ના દાખલા ઉકેલી આને ઉકેલવાના પ્રયત્ન કરી શકો અને તેને ભાગતા સંમેય સંખ્યા અથવા અસંમેય સંખ્યા મળે છે કે નહિ તે જુઓ ધારો કે a ઇસ ઈક્વલ ટુ 2 ઇન્ટુ સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 એટલે કે વર્ગમૂળ માં બે છે અને b ઇસ ઈક્વલ ટુ સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 છે હવે જો આપણે a ભાગ્યા b કરીએ તો a ભાગ્યા b બરાબર 2 સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 છેદ માં સ્કવેર રૂટ ઓફ 2 આ બંને કેન્સલ થઇ જશે અને આના બરાબર બે જવાબ મળશે આ બે એ સંમેય સંખ્યા છે આપણે તેને પૂર્ણાંકો ના ગુણોત્તર માં દર્શાવી શકીએ તેને 2 ના છેદ માં 1 લખી શકીએ આથી અહી આપણને a અને b અસંમેય સંખ્યા ના આધારે a ના છેદ માં b સંમેય સંખ્યા મળે છે હવે જો a ઇસ ઇકવલ ટુ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 હોય અને b ઇસ ઇકવલ ટુ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 7 હોય તો શું મળે હવે જો આપણે a ભાગ્યા b કરીએ તો ઇસ ઇકવલ ટુ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 ભાગ્યા સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 7 મળે અને આને સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 બાય 7 લખી શકીએ અહી આપણને સ્ક્વેર રૂટ ઓફ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળતી નથી આથી આ અસંમેય સંખ્યા છે અહી એક દાખલો સંમેય નો જોયો અને એક દાખલો અસંમેયનો જોયો આથી આ અસંમેય અથવા સંમેય બંને હોઈ શકે આપણે વધુ એક દાખલો ઉકેલીએ ધારોકે a શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે શું a ગુણ્યા વર્ગમૂળ માં 8 સંમેય છે અથવા અસંમેય છે આ શા માટે અસંમેય સંખ્યા છે તેમાંપૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ગુણાયેલ છે પરંતુ તે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી અહી સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 8 એટલે કે વર્ગમૂળ માં 8 સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 4 ઇન્ટુ 2 લખી શકાય અને તેના બરાબર સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 4 ઇન્ટુ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 લખી શકાય હવે આ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 4 બરાબર 2 મળે અને આ ઇન્ટુ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 જો આપણે સંમેય ગુણ્યા અસંમેય સંખ્યા કરીએ તો અસંમેય સંખ્યા મળે આથી સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 8 અસંમેય સંખ્યા છે જો તેને સંમેય સંખ્યા વડે ગુણીએ તો એ અસંમેય સંખ્યા મળશે આથી આ અસંમેય થશે આપણે વધુ એક દાખલો ઉકેલીએ ધારો કે a અસંમેય સંખ્યા છે શું -24 + a સંમેય છે અથવા અસંમેય છે અહી આપણે સાબિતી આપીશું નહિ પણ તેનો સાહજિક ખ્યાલ મેળવીશું તમે કેટલીક સંખ્યાઓ લઇ જાતે ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરી શકો આપણે કેટલીક કિંમત ધારી લઈએ અહી આ એક અસંમેય સંખ્યા છે આથી a ઇસ ઇકવલ ટુ -પાઈ જેની અંદાજીત કિંમત -3.14159 છે અને આગળ શુધી મળે છે પરંતુ રીપીટ થશે નહિ હવે આ -24 + a કરીએ તો -24 + a = -24 -પાઈ અને તેની અંદાજીત કિંમત -27.14159 અનંત શુધી મળે આથી આ આપણને અસંમેય સંખ્યા મળે હવે જો આપણે a ઇસ ઇકવલ ટુ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 લઈએ તો -24 + સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 અહી આપણે સાબિતી આપવાના નથી પરંતુ સહાજીક ખ્યાલ દ્વારા સમજીએ તો આ ડેસીમલ એટલે કે દશાંશ મળે જે અનંત શુધી મળે અને રીપીટ થશે નહિ તે આ ડાબી બાજુના ડેસીમલ ને બદલશે પરંતુ જમણી બાજુના ડેસીમલ ને બદલશે નહિ કારણ કે આ માઈનસ છે હવે જો આપને આ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 ની જગ્યાએ માઈનસ સ્ક્વેર રૂટ ઓફ 2 લઈએ તો આ જમણી બાજુ કોઈ ફરક પડશે નહિ પરંતુ આ ડાબી બાજુએ -24 ના બદલે -25 મળશે અને આના બરાબર -25 પોઈન્ટ કિંમત મળશે જયારે સંમેય સંખ્યા ને અસંમેય સંખ્યા માં ઉમેરીએ તો અગાઉ વિડીઓ માં જોયું એ પ્રમાણે સંમેય વત્તા અસંમેય બરાબર અસંમેય મળે.