ઊંચાઈ અને અંતરનો પરિચય

અંતર અને ઊંચાઈનો પરિચય મેળવીએ,ધારો કે તમે એક સુપરમેન છો તમારી સામે એક બિલ્ડીંગ છે ધારો કે આ બિલ્ડિંગના સૌથી ઉપરના માળ પર તમારી જરૂર છે ત્યાં કેટલીક વ્યક્તિઓ ફસાઈ ગઈ છે જો તમે સામાન્ય માણસ હોવ તો તમે અહીં આટલું દોડીને આ બિલ્ડિંગમાં દાખલ થશો અને તમે કદાચ લિફ્ટનો ઉપયોગ કરીને ઉપરના માળ પર જશો પરંતુ તમે સુપરમેન છો,તેથી તમે સીધા જ ઉડીને અહી જવા માંગો છો તમે જાણવા માંગો છો કે જો તમારે અહીં પહોંચવું હોય તો તમારે કેટલું અંતર કાપવું પડે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તમે અહીં આ બાજુની લંબાઈ શોધવા માંગો છો તે કરવા માટેની ઘણી બધી રીત છે પરંતુ તમે સુપરમેન છો તેથી તમે એવો રસ્તો શોધવામાં માંગો છો જેથી ઝડપથી અહીં પહોંચી શકાય જો તમારામાંથી કેટલાક સુપરમેન સાથે ન પરિચિત હોય તો હું તમને કહી દઉં કે આ સુપરમેન પાસે એક પાવર હોય છે તે તેની આંખમાંથી લેસર જેવો પ્રકાશ કાઢી શકે, આ સુપરમેન તેની આંખમાંથી લેસર જેવો પ્રકાશ બહાર કાઢી શકે, જે ક્ષણે તેની આંખ જે કઈ પણ દિશામાં હોય તે દિશામાં લેસર પ્રકાશ ફેંકશે અત્યારે આ સુપરમેન તેના માથાને ઉપર કે નીચે કર્યા વગર સીધો જ સામેની તરફ જુએ છે માટે તેની આંખમાંથી નીકળતું લેસર તદ્દન સમક્ષિતિજ દિશામાં છે હવે તેણે કેટલી દૂર સુધી ઉડવાનું છે તે શોધવા આનો ઉપયોગ કઈ રીતે કરી શકાય? હવે અહીં તે તેના માથાને ઉપર કરવાની શરૂઆત કરે છે અને તે ત્યાં સુધી ઉપર કરશે જ્યાં સુધી આ લેસર બિલ્ડિંગની ટોચ સુધી ન પહોંચી જાય હવે લેસર આ બિલ્ડિંગની ટોચ પર છે અને તે ત્યાં જ છે જ્યાં તમે જવા ઇચ્છો છો હવે તમારે ફક્ત એટલું જ શોધવાનું છે કે તમે તમારા માથાને કેટલું વાંકુ વાળ્યું ,તમારે ત્યાં સુધી જવાની જરૂર નથી તમારે ફક્ત એટલું શોધવાનું છે કે તમે આ લેસરને કેટલું વાંકુ વાળો છો? આપણે અહીં આ સમક્ષિતિજ રેખાથી બિલ્ડિંગની ટોચ સુધી લેસરને કેટલુ ઉપરની તરફ લઈ ગયા તે શોધવા ઈચ્છીએ છીએ તો તમે આ ખૂણાને શોધો છો અને તમને તે ખૂણાનું માપ 45 અંશ મળે છે હવે હું તમને એ પ્રશ્ન પૂછીશ કે તમારાથી આ બિલ્ડીંગ સુધીનું અંતર અહીં આ અંતર અને તમે આ લેસરને કેટલું ઉપરની તરફ લઈ જાવ છો? તેના પરથી તમે આ બાજુની લંબાઈ એટલે કે આ રેખાખંડની લંબાઈ કઈ રીતે શોધી શકો? અહીં સૌથી મુખ્ય ખ્યાલ એ છે કે આ બિલ્ડીંગ સમક્ષિતિજ સાથે કાટખૂણો બનાવે છે માટે અહીં કાટકોણ ત્રિકોણની રચના થઈ રહી છે એવું કહી શકાય તમને આ ત્રિકોણનો એક ખૂણો આપવામાં આવ્યો છે તમને તે ખૂણાની પાસેની બાજુ પણ આપવામાં આવી છે અને તમારે આ કર્ણની લંબાઈ શોધવાની છે તો હવે તમે વિચારી શકો કે એવો કયો ગુણોત્તર છે જે પાસેની બાજુ અને કર્ણને સાંકળી શકે? તે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો ને cos કહેવામાં આવે છે જો તમે cos 45 ડિગ્રીનું મૂલ્ય જાણતા હોવ તો તમે આ કર્ણની લંબાઈ શું થાય? તે શોધી શકો તો આપણે અહીં આ કર્ણની લંબાઈને d કહીએ હું cos 45 નું મૂલ્ય આ પ્રમાણે યાદ રાખું છું તેના માટે હું 45 ના ત્રિકોણની રચના કરીશ તેનો અર્થ એ થાય કે અહી આ કાટકોણ ત્રિકોણમાં મારી પાસે એક ખૂણો 45 અંશનો છે હવે જો આ બાજુની લંબાઈ એક હોય તો આ બાજુની લંબાઈ પણ એક થવી જોઈએ કારણ કે અહીં આ ત્રિકોણ છે જો આ 90 અંશ અને આ 45 અંશનો ખુણો હોય તો અહીં આ ખૂણો પણ 45 અંશનો થવો જોઈએ માટે અહી આ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ થશે અને પછી આપણે પાયથાગોરસના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આ કર્ણનું માપ શોધી શકીએ તે માપ વર્ગમુળમાં 2 આવે,વર્ગમુળમાં એકનો વર્ગ વત્તા એકનો વર્ગ હવે આ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં રાખીને હું બધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર વિશે વિચારી શકું sin 45 બરાબર એક ના છેદમાં વર્ગમુળમાં બે થશે,cos 45 બરાબર એકના છેદમાં વર્ગમુળમાં 2 થાય, 45 ના ખૂણાના સંદર્ભમાં sin અને cos નું મૂલ્ય એક સમાન થાય અને પછી tan 45 ડિગ્રી બરાબર એક થાય અને cot 45 ડિગ્રીનું નું મૂલ્ય પણ એક થશે આ ઉદાહરણમાં આપણા માટે cos 45 ડિગ્રી અગત્યનું છે તેથી હું કહી શકું કે cos 45 ડીગ્રી બરાબર પાસેની બાજુના છેદમાં કર્ણ થવો જોઇએ આપણને કયા કદનો ત્રિકોણ આપવામાં આવ્યો છે તે મહત્વનું નથી પરંતુ બધા જ પ્રકારના કાટકોણ ત્રિકોણ માટે આ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર સમાન થાય તેથી જ તેમને યાદ રાખવું ઘણું ઉપયોગી છે માટે અહી આના બરાબર 100 ના છેદમાં d થાય હવે હું અહીં cos 45 ડિગ્રીનું મૂલ્ય લખી શકું, હું તેની જગ્યાએ એક ના છેદમાં વર્ગમુળમાં બે લખી શકું એકના છેદમાં વર્ગમૂળમાં બે હવે આપણે જવાબ શોધી શકીએ અહીં આપણે ક્રોસ ગુણાકાર કરી શકીએ તેથી આપણને d બરાબર 100 વર્ગમૂળમાં 2 મળશે અહીં d બરાબર 100 વર્ગમૂળમાં 2 થાય અને તેનો એકમ શું આવે? તેનો એકમ મીટર થાય તમે જવાબને આ જ પ્રમાણે રાખી શકો અથવા વર્ગમૂળમાં બે બરાબર લગભગ 1.414 થાય અને જો પછી તેનો ગુણાકાર 100 સાથે કરીએ આપણને 141.4 મીટર મળે હવે આપણે આ સુપરમેન આ લેસર વિશે શા માટે વાત કરી રહ્યા છીએ? આપણે તે વાત કરી કારણ કે તમારે સુપરમેન થવા માટે આંખ માંથી લેસર છોડવાની જરૂર નથી, સુપરમેન આંખમાંથી લેસર છોડે છે પરંતુ જો તમે સુપરમેન ન હોવ તો તમે તે ક્ષણ આગળ તમારી આંખ જે બાજુ જુએ છે તમારી આંખમાંથી નીકળતા લેસરની કલ્પના કરી શકો અને આપણે તે રેખાને નામ આપ્યું છે, આપણે તે રેખાને દ્રષ્ટિ રેખા દ્રષ્ટિ રેખા કહી શકીએ જો તમે તમારા માથાને ઉપર કે નીચે ન કરો તો આ દ્રષ્ટિ રેખા સમક્ષિતિજ દિશામાં જ હશે અને જેમ જેમ તમે તમારા માથાને ઉપરની તરફ કરતા જાવ તેમ તેમ દ્રષ્ટિરેખા તે તરફ જશે, આમ તમે જે દિશામાં જુઓ છો તે દિશામાં તમારી આંખમાંથી નીકળતા લેસરને તમે દ્રષ્ટિરેખા તરીકે વિચારી શકો.ધારો કે તમે ઉપરની તરફ જોવાનું ચાલુ રાખીને આ બિંદુ પર પહોંચો છો તો હવે તમારી દ્રષ્ટિએ રેખા આ થશે હવે તમારે તમારા માથાને સમક્ષિતિજ રેખાથી 45 ડિગ્રી જેટલા ખૂણે ઊંચું કરવું પડયું તો અહીં આપણે આ ખૂણાને આ બિંદુ માટેનો ઉત્સેધકોણ કહી શકીએ,ઉત્સેધકોણ એંગલ ઓફ એલીવેશન અને આ ફક્ત સુપરમેન માટે સાચું નથી,જો કોઈપણ વ્યક્તિ અહીં ઉભી હોય અને જો તેણે આ બિલ્ડિંગની ટોચ પર જોવું હોય તો તેણે તેના માથાને 45 ડિગ્રી જેટલા ખૂણે વાળવું પડશે આપણે આ પ્રકારના ઘણા બધા પ્રશ્નો જોઇશું આ પ્રકારની આકૃતિઓ દોરીશું અને પછી શોધીશું કે તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે તો અહીં આ દ્રષ્ટિ રેખા એ એક નવો શબ્દ છે ઉત્સેધકોણ પણ નવો શબ્દ છે આપણી પાસે બીજો પણ એક નવો શબ્દ છે જેને અવસેધકોણ એટલે કે એંગલ ઓફ ડિપ્રેશન કહી શકાય તે ખૂણો કયો આવશે? તેનો તમે કદાચ અનુમાન લગાવી શકો, હવે આપણે અવષેધકોણ સમજવા નવી પરિસ્થિતિ જોઈએ, ધારો કે હવે આ બીજી પરિસ્થિતિમાં સુપરમેન આ બિલ્ડિંગની ટોચ પર છે તેણે અહીં ફસાયેલી વ્યક્તિઓને બચાવી લીધી છે તે હમણાં આરામ કરી રહ્યો છે પરંતુ તે ઉપરથી જુએ છે કે પોતાના કુતરા ચાલ સાથે ચાલતો એક વ્યક્તિ સાયકલ સાથે અથડાવાની તૈયારીમાં છે સુપરમેન તેને બચાવવા માંગે છે તો હવે આ પરિસ્થિતિમાં સુપરમેન ફક્ત આ વ્યક્તિનો અવષેધકોણ જ જાણે છે સુપરમેનના સંદર્ભબિંદુથી આ વ્યક્તિનો અવસેધકોણ 60 ડિગ્રી છે હવે તમે ઉત્સેધકોણનો અર્થ શું થાય? તે જાણો છો? તો શું તમે આ અવષેધકોણનું અનુમાન લગાવી શકો? અહીંથી જોતાં આ વ્યક્તિનો અવસેધકોણ 60 અંશ છે તેનો અર્થ શું થાય? હવે તેના વિશે વિચારીએ અત્યારે સુપરમેન આરામ કરી રહ્યો છે તેથી તેની દ્રષ્ટિ રેખા આ દિશામાં છે તે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે તે આકાશ તરફ જોઈ રહ્યો છે પરંતુ જો તેણે આ વ્યક્તિને બચાવવી હોય તો તેણે નીચેની તરફ જોવું પડે, તેણે તેનું માથુ નીચુ કરવું પડે માટે તે તેનું માથું હવે નીચે કરે છે અને તે આ બિંદુ સુધી તેનું માથુ નીચુ કરશે હવે તેણે તેનું માથુ કેટલું નીચે કર્યું તેને જ આપણે અવષેધકોણ કહીએ છીએ અહીં સુપરમેન તેનું માથું જેટલું નીચે વાળે છે તેને આપણે અવસેધકોણ એટલે કે એંગલ ઓફ ડિપ્રેશન કહી શકીએ અને આપણને તેનું મૂલ્ય આપવામાં આવ્યું છે તેનું મૂલ્ય 60 ડિગ્રી છે આપણે તેને અવસેધકોણ,અવસેધકોણ કહી શકીએ ફરી તે એક નવો શબ્દ છે તેનો અર્થ એ થાય કે આપણે અહીં જે બિંદુ જોવા માંગીએ છીએ તે જો આપણને જોવો હોય તો આપણે આ સમક્ષિતિજથી 60 અંશ જેટલું નીચે જોવું પડે. જો આ વ્યક્તિનો અવષેદ્ધકોણ 60 અંશ હોય તો તેનો અર્થ એ થાય તમારે તમારું માથું આ બિંદુથી 60 અંશ જેટલું નીચે કરવું પડે આમ અવષેદ્ધકોણ એટલે તમારાં માથાની નીચે વાળવું અને ઉત્સેધકોણ એટલે તમારાં માથાને ઉપરની તરફ વાળવું,યાદ રાખો કે આ બનેંને હંમેશા સમક્ષિતિજથી માપવામાં આવે છે તો અહીં તમે ઉડીને કેટલું અંતર કાપવાનું છે તે કઈ રીતે શોધી શકો? તમે બીજું કઈ જાણતાં નથી,તમે ફક્ત આ ખૂણાનું માપ જ જાણો છો તો ફક્ત આ ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને તમે આ અંતર શોધી શકો? જો તમે સુપરમેન હોવ તો પણ તમે તે કરી શકો નહિ, google map નો ઉપયોગ કરો છો અને આ બિલ્ડીંગ કેટલું ઊંચું છે તે શોધો છો. તમે જુઓ છો કે આ બિલ્ડીંગની ઊંચાઈ 100 મીટર છે હું અહીં ગણતરી સરળ બને તે માટે આ પ્રકારની સંખ્યાઓ લઈ રહી છું આમ અહીં આ 100 મીટર છે અને આ ખૂણો 60 અંશ છે હવે તમે શું કરી શકો? તમે અહીં જોઈ શકો કે આ એક સમક્ષિતિજ છે અહી આ પણ સમક્ષિતિજ છે, અહી આ કાટખૂણો થાય તો તમે આ રેખાને છેદિકા તરીકે જોઈ શકો જે આ બંને સમાંતર રેખાઓને છેદી રહી છે માટે તેનો અર્થ એ થાય કે આ ખૂણો અને આ ખૂણો સમાન માપનો હશે માટે અહીં આ ખૂણાનું માપ પણ 60 અંશ થશે અને હવે તે રસપ્રદ છે તે એટલા માટે રસપ્રદ છે કારણ કે તમારી પાસે આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે તમારી પાસે આ ખૂણો છે તમારી પાસે સામેની બાજુ છે અને તમે આ કર્ણનું માપ શોધવા માંગો છો તો કયા ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને આ સામેની બાજુ તેમજ કર્ણને સાંકળી શકાય? જો તમે sin 60 ડિગ્રી નું મૂલ્ય શું થાય? તે જાણતા હોવ તો તમે આ પ્રશ્નને સરળતાથી ઉકેલી શકો. હું તેને આ પ્રમાણે યાદ રાખું છું તેના માટે હું અહીં 60 ડિગ્રીનો ત્રિકોણ દોરીશ, તેનો અર્થ એ થાય કે આ ખૂણાનું માપ 60 અંશ છે.અહીં આ ખૂણો કાટખૂણો છે અહીં હું એક લઈશ હું હંમેશા પાયાની લંબાઈને એક લઉ છું.હવે તેને આ પ્રમાણે યાદ રાખી શકાય જો આ એક હોય અને આ 60 અંશ હોય તો અહીં આ બે થશે કારણકે cos 60 બરાબર એક ના છેદમાં બે થાય હવે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે આ બાજુની લંબાઈ શોધી શકીએ વર્ગમૂળમાં બે નો વર્ગ ઓછા એકનો વર્ગ જે વર્ગમૂળમાં ત્રણ થશે આમ અહીં આપણને 60 અંશ માટેના બધા જ ગુણોત્તર મળી જશે તેમજ આ ખૂણાનું માપ 30 અંશ થાય તેથી આપણને 30 અંશ માટે પણ બધા જ ગુણોત્તર મળી જશે તો અહીં આ બંને ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને 30 અંશ 45 અંશ અને 60 અંશ માટે sin cos અને tan નું મૂલ્ય શું આવે? તે તમે યાદ રાખી શકો હવે આપણે આ બાજુની લંબાઈ શોધી શકીએ જેને આપણે d કહીશું આમ 100 ભાગ્યા d બરાબર sin 60 ડિગ્રી થાય દેખાય તેથી 100 ભાગ્યા d બરાબર વર્ગમૂળમાં 3 ના છેદમા 2 થાય આમ 100 ભાગ્યા d 100 ભાગ્યા d બરાબર વર્ગમૂળમાં 3 ના છેદમાં 2, d શોધવા તમે અહીં ક્રોસ ગુણાકાર કરી શકો આ d આની સાથે ગુણાય અને 2 આની સાથે ગુણાય માટે d બરાબર 200 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 3 થાય, આમ હવે આપણે જેટલાં પણ પ્રશ્નોની ગણતરી કરીશું તે બધામાં જ 3 નવા શબ્દ હશે એક છે દ્રષ્ટિરેખા જે ફક્ત તમે જે દિશામા જોઈ રહ્યા છો તે દિશામાં તમારી આંખમાંથી નીકળતું લેસર છે જો તમે તમારા માથાને ઉપર કે નીચેની તરફ ન વાળો તો તમારી દ્રષ્ટિરેખા સમક્ષિતિજ દિશામાં હશે હવે કોઈક બિંદુને જોવા માટે તમે તમારા માથાને સમક્ષિતિજથી કેટલું નીચે વાળો છો? કે કેટલું ઉપર વાળો છો? તેને ખૂણો કહેવાય છે તે ખૂણો સમક્ષિતિજની નીચે છે કે ઉપર તેના આધારે આપણી પાસે બે નામ છે જો તે ખૂણો સમક્ષિતિજની ઉપર હોય તો તેને આપણે ઉત્સેધકોણ કહીશું,ઉત્સેધકોણ અને જો તે ખૂણો સમક્ષિતિજની નીચે હોય તો આપણે તેને અવષેદ્ધકોણ કહીશું,આપણે તેને અવષેદ્ધકોણ કહીશું આમ જો તમે આ બે ત્રિકોણ અને આ બધા શબ્દોનો અર્થ જાણતા હોવ તો તમે પ્રશ્નોને સરળતાથી ઉકેલી શકો અહીં તમારે ઘણા બધા સુત્રોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી તમે ફક્ત આ બે ત્રિકોણને યાદ રાખો જેના પરથી તમને મૂળભૂત ગુણોત્તર sin , cos અને tan મળી જશે.