If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :12:08

ઊંચાઈ અને અંતરનો વ્યવહારિક પ્રશ્ન: બે ઇમારત વચ્ચેનું અંતર

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

બહુમાળીય બિલ્ડિંગની ટોચ પરથી, તો અહીં આ એક બહુમાળીય બિલ્ડિંગ છે જે કંઈકે આ પ્રમાણે છે,8 મીટર ઊંચી બિલ્ડીંગની ટોચ અને તળિયાનો અવસેધકોણ આપણને એક બીજી બિલ્ડીંગ પણ આપવામાં આવી છે જે કંઈક આ પ્રમાણે છે આપણે તે બિલ્ડીંગ વિશે શું જાણીએ છીએ? આપણે જાણીએ છીએ કે તે 8 મીટર ઊંચી છે તે બિલ્ડિંગની ટોચ અને તળિયાનો અવસેધકોણ,હવે આ બિલ્ડીંગ ઊંચી કઈ રીતે હોઈ શકે? આપણને કહેવામાં આવ્યું છે કે 8 મીટર ઊંચી બિલ્ડીંગની ટોચ અને તેના તળિયાં બંને પાસે અવસેધકોણ છે હવે જો આ બિલ્ડિંગ આના કરતા ઊંચી હોય તો આ બિલ્ડિંગની ટોચ પરથી એક બિંદુ આગળ ઉત્સેધકોણ બનશે અને એક બિંદુ આગળ અવષેદ્ધકોણ બનશે તો એક બિંદુ આગળ ઉત્સેધકોણ બનશે અને એક બિંદુ આગળ અવષેદ્ધકોણ બનશે પરંતુ આ બંને બિંદુ પાસે અવષેદ્ધકોણ છે તેથી સ્પષ્ટ રીતે કહી શકાય કે આ બિલ્ડીંગ ઊંચી છે તેથી સ્પષ્ટ રીતે કહી શકાય કે આ બિલ્ડિંગ આના કરતા ઊંચી છે અહીં આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે તે બહુમાળીય બિલ્ડીંગ છે તમને કદાચ તેના પરથી પણ મદદ મળી શકે પરંતુ હવે ટોચ અને તળિયાનો અવષેદ્ધકોણ અનુક્રમે 30 અને 45 અંશ છે તો હવે આપણે આ ભાગને દોરવાનો પ્રયત્ન કરીએ, હું આ 30 અંશ અને 45 અંશ ક્યાં દોરી શકું? જો આપણે તે એક વાર યોગ્ય રીતે દોરી લઈએ તો પ્રશ્ન સરળ બની જશે આપણને અહીં કહેવામાં આવ્યું છે કે બહુમાળીય બિલ્ડીંગની ટોચ પરથી 8 મીટર ઊંચી બિલ્ડીંગની ટોચનો અવસેધકોણ 30 અંશ છે બહુમાળીય બિલ્ડીંગની ટોચ આ થશે, હવે આપણે આ બિંદુથી સમક્ષિતિજ દોરીએ તો તે કઈંક આ પ્રમાણે આવે, હવે આપણને અહીં અનુક્રમે એવો શબ્દ આપવામાં આવ્યો છે જેનો અર્થ એ થાય કે ટોચનો અવસેધકોણ 30 અંશ છે અને તળિયાનો અવસેધકોણ 45 અંશ છે માટે અહીં આ બિંદુથી આ ટોચ સુધીની દ્રષ્ટિ રેખા કઈંક આ પ્રમાણે આવશે અને તેનો ઉત્સેધકોણ 30 અંશ છે તેથી આ ખૂણો 30 અંશ થાય અને તેવી જ રીતે આ બિંદુથી તળિયા સુધીની દ્રષ્ટિરેખા આ પ્રમાણે આવશે અને હવે તેનો અવષેદ્ધકોણ 45 અંશ છે માટે અહી આ ખૂણો 45 અંશ થાય આપણને આટલી માહિતી પ્રશ્નમાં આપવામાં આવી છે અને હવે શું શોધવાનું છે? આપણે બહુમાળીય બિલ્ડિંગની ઊંચાઈ શોધવાની છે એટલે કે આપણે અહીં આ ઊંચાઈ શોધવાની છે આપણે તેને h ધારી લઈએ અને આપણે આ બંને બિલ્ડીંગ વચ્ચેનું અંતર પણ શોધવાનું છે અહીં આપણે આ બંને બિલ્ડીંગ વચ્ચેનું અંતર પણ શોધવાનું છે જેને d કહીએ,તમે એકવાર આ પ્રકારની આકૃતિ દોરી લો પછી તમને એ પ્રશ્ન થશે કે અહીં કાટકોણ ત્રિકોણ કઈ જગ્યાએ છે? અહીં આપણને આ ખૂણો આપવામાં આવ્યો છે તે 30 અંશ છે તે આપણા માટે એક કલૂ છે કે આપણે અહીં એક રેખાની કલ્પના કરી શકીએ કારણ કે વાસ્તવમાં આ પ્રકારની રેખા આપવામાં આવી નથી પરંતુ આપણે તે રેખાની કલ્પના કરી શકીએ હવે અહીં આ ખૂણો 30 અંશનો છે તેથી આ ખૂણો પણ 30 અંશનો થાય શું તમે અહીં આ ત્રિકોણ જોઈ શકો અહી આ કાટખૂણો થશે હવે જો તમે આ મોટા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો તો આ બાજુ એ બહુમાળીય બિલ્ડીંગની ઊંચાઈ દર્શાવે છે અને તેનો પાયો બે બિલ્ડીંગ વચ્ચેનું અંતર છે,આપણને આ ખૂણો 45 અંશ આપવામાં આવ્યો છે તેથી આ ખૂણો પણ 45 અંશ થાય પરંતુ શું આ પ્રમાણે હોઈ શકે? કારણ કે અહીં આપણને બહુમાળીય બિલ્ડીંગની ઊંચાઈ જે આ થશે અને બે બિલ્ડીંગ વચ્ચેનું અંતર જે આ છે તે શોધવા કહ્યું છે જો આ ખૂણાનું માપ 45 હોય તો સામેની બાજુ અને પાસેની બાજુ એક સમાન થાય એટલે કે આ બંનેનું માપ એક સમાન થશે અહીં આ કાટખૂણો છે આ 45 અંશ છે તેથી આ પણ 45 અંશ થાય પરિણામે h અને d એક સમાન થશે આમ આપણને અહીં બે વસ્તુ શોધવાનું કીધું છે પરંતુ આપણે ખરેખર એક જ શોધવાનું છે તો આપણે તે કઈ રીતે શોધી શકીએ? મને અહીં ફક્ત એક જ વસ્તુ આપવામાં આવી છે જે આ છે, અહી આ બાજુની લંબાઈ 8 છે તેથી કોઈપણ પ્રશ્ન વિચારતા પહેલા આપણે એ વિચારીએ કે શું આ પ્રશ્નને ખરેખર ઉકેલી શકાય? હવે જો હું આ બિલ્ડિંગની ટોચ પર ઉભી હોવ અને હું આ સમક્ષિતિજની નીચે 30 અંશ જેટલા ખૂણે એક લેઝર છોડું તેમજ સમક્ષિતિજની નીચે 45 અંશના ખૂણે બીજું લેઝર છોડું તો આ બંને લેઝર હંમેશા આગળ ને આગળ વધ્યા કરશે, તેઓ એકબીજાને મળશે નહીં પરંતુ કોઈ એક બિંદુ એવું હશે કે જ્યાં તેમની વચ્ચેનું અંતર 8 મીટર હશે તે પહેલાંના બધા જ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 8 કરતાં ઓછું હશે અને તે પછીના બધા જ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 8 મીટર કરતા વધારે હશે તો હવે આપણે આ 8 મીટરથી શરૂઆત કરીને પાછળની તરફ જઈ શકીએ અને અહીં આ બિંદુ શોધી શકીએ,આ બિંદુ શોધવાનો અર્થ એ થાય કે આપણે અંતર અને ઊંચાઇ શોધી લીધી છે આમ ફક્ત એક જ માહિતી સાથે પણ આપણે આ પ્રશ્નને ઉકેલી શકીએ તો હવે હું તે કઈ રીતે કરી શકું? અહી આ બાજુની લંબાઈ 8 છે માટે કહી શકાય કે આ બાજુની લંબાઈ પણ 8 થશે,અહીં આ બાજુ એ ત્રિકોણની કોઈ બાજુ નથી પરંતુ તે બાજુનો ઉપયોગ કરીને આપણે જે બાબત જાણીએ છીએ અને જે બાબત શોધવાની છે તેમની વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકાય, હવે અહીં આ અંતર d છે માટે આ અંતર પણ d થશે,અહીં આ અંતર પણ d થાય, આપણે આ ઊંચાઈ શું છે? તે જાણતા નથી પરંતુ આ આખી ઊંચાઈ h છે જેમાંથી 8 ને બાદ કરીએ, h -  8 મળે, હવે આપણી પાસે અહીં બે ચલ છે h અને d અહીં આ ખૂણો 45 અંશ છે તેથી આપણે તે બંનેને એક સમાન લઈ શકીએ આપણે અહીં તે બંનેની જગ્યાએ એક જ ચલ લઈ શકીએ પરંતુ જો આ ખૂણો 45 અંશ સિવાયનો બીજો કોઇ ખુણો હોય તો આપણી પાસે બે ચલ હોવાને કારણે આપણને બે સમીકરણ મળે આપણે આ ત્રિકોણ માટે tan નો ઉપયોગ કરીને આ બાજુ અને આ બાજુને સંબંધિત કરી શકીએ જેનાથી એક સમીકરણ મળશે તેવી જ રીતે આપણે આ ત્રિકોણમાં આ ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને આ બાજુ અને આ બાજુને સંબંધિત કરી શકીએ જેનાથી આપણને બીજું સમીકરણ મળશે તો સૌ પ્રથમ આપણે અહીં આ મોટા ત્રિકોણને લઈએ આ ખૂણાનો ઉપયોગ કરીએ તેથી h ભાગ્યા d બરાબર tan 45 થશે tan બરાબર સામેની બાજુ છેદમાં પાસેની બાજુ અને tan 45 બરાબર 1 થાય છે તમારે તેને યાદ રાખવાની જરૂર નથી તમે આ પ્રમાણે ઝડપથી કાટકોણ ત્રિકોણ દોરી શકો, જ્યાં આ 45 અંશ થશે અને આ પાયાની લંબાઈ 1 થાય તેથી આ પણ 1 થશે કારણ કે આ સમદ્વીબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે પાયથાગોરસના પ્રમેય પ્રમાણે અહીં આ વર્ગમૂળમાં 2 થાય આમ tan 45 બરાબર 1 ના છેદમાં 1 એટલે કે 1 જ થશે તેના પરથી કહી શકાય કે h = d જે આપણા પ્રશ્નને ખૂબ સરળ બનાવે છે હવે તમે આ બધા h ને ભૂલી શકો તેની જગ્યાએ d લખી શકો ,આપણે અહીં d લખીશું,હવે આપણે આ નાનો ત્રિકોણ જોઈએ, h -  8 ભાગ્યા d બરાબર tan 30 થશે સામેની બાજુ ના છેદમાં પાસેની બાજુ બરાબર tan 30 થાય, h -  8 ભાગ્યા d બરાબર , ભાગ્યા d બરાબર tan 30 ડિગ્રી થશે હવે આ મૂલ્ય શું થાય? તે શોધવા હું 60 અંશના ત્રિકોણને દોરી શકું,તો હવે હું 60 અંશનો ત્રિકોણ અહીં દોરીશ જે કંઈક આ પ્રમાણે આવશે,અહીં આ 60 અંશ છે પાયાની લંબાઈ 1 થાય કર્ણનું માપ 2 થાય માટે આ બાજુની લંબાઈ વર્ગમૂળમાં 2 નો વર્ગ - 1 નો વર્ગ થાય એટલે કે તે વર્ગમૂળમાં 3 થશે અહીં આ ખૂણો 30 અંશનો થશે માટે tan 30 બરાબર એકના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 3 થાય તેથી h -  8 ભાગ્યા d બરાબર એક ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 3 થાય હવે આપણે આ સમીકરણ પરથી અહીં h બરાબર d લખી શકીએ h બરાબર d તો હવે આપણી પાસે એક અજ્ઞાત અને એક સમીકરણ છે d - 8 ભાગ્યા d બરાબર 1 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 3 હવે આપણે આ d માટે ઉકેલી શકીએ હવે આપણે અહીં ક્રોસ ગુણાકાર કરી શકીએ તેથી d ગુણ્યાંં root 3 ,d ગુણ્યાંં root 3 -  8 ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં 3 , 8 ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં 3 તેના બરાબર d થાય હવે આપણે d ધરાવતા પદને સમીકરણની એક બાજુ લાવી શકીએ તેના માટે સમીકરણની બંને બાજુથી d ને બાદ કરી શકાય તેથી આપણને સમીકરણની ડાબી બાજુ d ગુણ્યાં, d ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં 3 - 1 મળે અને સમીકરણની જમણી બાજુ 8 ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં 3 બાકી રહે તમે અહીં નોંધી શકો કે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને આ બંને સમીકરણ મેળવી શકાય છે અંતર અને ઊંચાઇના પ્રશ્નમાં આપણે સૌ પ્રથમ આકૃતિ દોરીએ છીએ પ્રશ્ન પ્રમાણે આકૃતિ દોરીએ છીએ અને પછી કાટકોણ ત્રિકોણ ક્યાં આવેલા છે? તે શોધીએ છીએ પરંતુ હવે આપણે આ ભાગમાં ફક્ત બીજગણિતનો ઉપયોગ કરવાનો છે માટે અહીં આપણને d બરાબર 8 વર્ગમૂળમા 3 ભાગ્યા વર્ગમૂળમાં 3 -  1 મળશે d બરાબર 8 વર્ગમૂળમાં 3 , 8 વર્ગમૂળમાં 3 ભાગ્યા વર્ગમૂળમાં 3 -  1 તમે જવાબને આ જ પ્રમાણે રાખી શકો અથવા તમે અહીં છેદનું સંમેયકરણ પણ કરી શકો તેના માટે તમે આને a - b ધારી શકો અને પછી અંશ અને છેદને a + b વડે ગુણી શકો તેથી વર્ગમૂળમાં 3 + 1 ભાગ્યા વર્ગમૂળમાં 3 + 1 તે કરવાનું કારણ એ છે કે હવે તમારી પાસે છે a -  b ગુણ્યાં a + b છે જેને તમે a નો વર્ગ - b ના વર્ગ તરીકે લઇ શકો તેના કારણે આ વર્ગમૂળને છેદમાંથી દૂર કરી શકાય તેથી હવે તમને છેદમાં વર્ગમૂળમાં 3 નો વર્ગ -  1 નો વર્ગ મળે જેના બરાબર 2 થાય અને તમને અંશમાં 8 ગુણ્યાં 3 + વર્ગમૂળમાં 3 મળશે મેં અહીં આ વર્ગમૂળમાં 3 નું વિભાજન કર્યું, 8 ભાગ્યા 2 , 4 થાય તેથી આના બરાબર 4 ગુણ્યાં 3 + વર્ગમૂળમાં 3 આમ આપણને d ની કિંમત આ મળે છે આમ અહીં અંતર બરાબર , અંતર બરાબર 4 ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં 3 + 3 થશે અને ઊંચાઈ પણ 4 ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં 3 +  3 થાય આમ આપણે પ્રશ્નને ઉકેલ્યો.