If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :14:16

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

હું આ વીડીઓમાં ભૂમિતિનું વધુ એક પરિણામ સાબિત કરવા મંગુ છું અંતર્ગત ખૂણો ઈંસ્ક્રેટ એંગલ કે જે ખૂણાના શિરોબિંદુઓ વર્તુળના પરિઘ પાર આવેલા હોય તોઆ અંતર્ગત ખૂણો છે આપણે તેને સાઈ વડે દર્શાવીએ હું આ વીડીઓમાં અંતર્ગત ખૂણા માટે સાઈનો ઉપયોગ કરીશ આ અંતર્ગત ખૂણો સાઈ એ તે સમાન ચાંપે કેન્દ્ર પાસે આતરેલા ખૂણાના અડધા બરાબર થશે આ સાઈ છે અને આ અંતર્ગત ખૂણો છે તેના શિરોબિંદુઓ પરિઘ પાર આવેલા છે જો તમે આ ખૂણા માંથી નીકળતા બે કિરણો અથવા બે જીવો દોરો તો તે આ ખૂણાને વ્યાખ્યાયિત કરશે અને બીજા છેદે તે વર્તુળને છેદશે જો તમે વર્તુળના પરિઘને જુઓ તો તેની અંદરના ભાગમાં છે જે સાઈએ આતરેલો ચાપ છે આ ચાપ એ અંતર્ગત ખૂણાએ આત્રેલો છે સાઈએ આત્રેલો ચાપ આર્ક જ્યાં સાઈ એ અંતર્ગત ખૂણો છે અને શિરોબિંદુઓ પરિઘ પર આવેલા છે હવે કેન્દ્રીય ખૂણો જેમાં શિરોબિંદુ વર્તુળના કેન્દ્ર પર હોય તો આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે તો સમાન ચાંપે કેન્દ્ર પાસે આત્રેલો ખૂણો દોરીએ જે કંઈક આવો દેખાશે અને આપણે તેને થિટા કહીએ તો આ સાઈ છે અને આ થિટા છે હું આ વિડિઓમાં એ સાબિત કરવા મંગુ છું કે સાઈ એ હંમેશા થિટાના અડધા જેટલો થશે જો સાઈ બરાબર 25 ડિગ્રી હોય તો થિટા બરાબર 50 ડિગ્રી થાય અથવા જો હું તમને કહું કે થિટા બરાબર 80 ડિગ્રી તો તમે કહેશો કે સાઈ બરાબર 40 ડિગ્રી થાય તો હવે આપણે તે સાબિત કરીએ તે માટે હું આ બધું ભૂંસી નાખીશ હવે આપણે એ સાબિત કરવા જઈએ છીએ કે સાઈ એ હંમેશા થિટાના અડધા બરાબર થશે અને આપણે તે કરવા જઈ રહ્યા છીએ તે માટે હું આ બધું છેકું છું અંતર્ગત ખૂણો દોરીએ જેમાં એક જીવા એ વર્તુળનો વ્યાસ હોય તો આ સામાન્ય કિસ્સો નથી આ ખાસ કિસ્સો થશે આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે કેન્દ્ર કંઈક એવું દેખાશે હવે આપણે તેમાંથી વ્યાસ દોરીએ તો તે કંઈક આવો દેખાશે અને અંતર્ગત ખૂણો વ્યાખ્યાયિત કરીએ આ વ્યાસ એ તેની એક બાજુ છે તો બીજી બાજુ આવી દેખાશે અને આપણે આ ખૂણાને સાઈ કહીએ જો આ સાઈ હોય તો આ લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા રેડિયસ થશે અને આ લંબાઈ પણ વર્તુળની ત્રિજ્યા થશે જે વર્તુળના કેન્દ્રથી પરિઘ સુધીજાય છે પરિઘ એ કેન્દ્રથી ત્રિજ્યા જેટલા અંતરે આવેલા બિંદુઓ છે આ પણ ત્રિજ્યા છે અને આ સમદ્વિ બાજુ ત્રિકોણ થશે તેની બે બાજુઓ સમાન છે જો બે બાજુઓ સમાન હોય તો પાયાના ખૂણાઓ પણ સમાન થાય તો અહીં આ આ ખૂણો પણ સાઈ થશે તમે કદાચ તે ઓળખી ન શકો કારણ કે તે થોડું વળેલું છે પરંતુ જો આપણે આ પ્રમાણે ત્રિકોણ દોરીએ જો આ r હોય અને આ પણ r હોય તો આ બે બાજુઓ સમાન થશે તો આ ખૂણો સાઈ થશે અને આ ખૂણો પણ સાઈ થશે સમદ્વિ બાજુ ત્રિકોણમાં પાયાના ખૂણા સમાન હોય છે તેથી આ સાઈ છે અને આ પણ સાઈ છે હવે આપણે કેન્દ્રીય ખૂણો જોઈએ આ સમાન ચાપે અંતરેલો કેન્દ્રીય ખૂણો છે આ બંને જે ચાપને આંતરે છે તેને દર્શાવીએ આ તે ચાપ છે જે બંનેને આંતરે છે આ તે ચાપ છે તો આ ખૂણાને થિટા કહીએ જો આ ખૂણો થિટા હોય તો આ ખૂણો કેટલો થાય આ ખૂણો એ થિટાનો પૂરક છે એટલે કે તે 180 ડિગ્રી -થિટા જેટલો થશે જોતમે આ બંનેને એડ કરો તો તમે 180 ડિગ્રી સુધી જશો અથવા તે રેખા બનાવશે તો આ બંને એક બીજાના પૂરક એટલે સપ્લીમેન્ટ છે હવે આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે આ ત્રોણેય ખૂણાઓ એક જ ત્રિકોણની અંદર આવેલા છે તો તેમનો સરવાળો 180 ડિગ્રી થવો જોઈએ આમ આ સાઈ સાઈ + આ સાઈ + 180 - થિટા આ ત્રોણેયનો સરવાળો 180 ડિગ્રી થવો જોઈએ તો બંને બાજુથી 180 ડિગ્રી સપટ્રેક કરતા સાઈ + સાઈ 2 સાઈ - થિટા = 0 મળે બંને બાજુ થિટા એડ કરતા તમને 2 સાઈ બરાબર થિટા મળશે હવે બંને બાજુ 1 હાફથી મલ્ટીપ્લાય કરો અથવા 2 થી ડિવાઇડ કરો તો તમને સાઈ બરાબર થિટા બાય 2 મળશે આપણે જે ખાસ કિસ્સા માટે સાબિત કરવાનું હતું તે કરી દીધું જ્યાં અંતર્ગત ખૂણો એ એક બાજુ એટલે કે તમે તેને કિરણ અથવા રેખા તરીકે પણ જોઈ શકો બીજી બાજુને વ્યાસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી છે વ્યાસ એ કિરણનો જ ભાગ છે આ ખાસ કિસ્સો છે જેમાં એક બાજુ વ્યાસ છે આપણે તેને સામાન્ય બનાવી શકીએ જો આ 50 ડિગ્રી હોય તો આ 100 ડિગ્રી થશે બરાબરને સાઈ કે થિટા જે પણ હોય સાઈ એ હંમેશા થિટાનું અડધું થશે અથવા સાઈ જે પણ હોય થિટા હંમેશા તેનાથી બાણમો જ થશે અને આ ગમે ત્યારે લાગુ પડી શકાય આ પરિમાણનો ઉયોગ કરીને તેને વધુ સામાન્ય બનાવીએ પરંતુ આ બધા અંતર્ગત ખૂણાને લાગુ પડતું નથી તો હવે આપણે એક બીજો કિસ્સો જોઈએ જે આપણે આબધું ફરીથી ભૂંસી નાખીએ આપણે એક બીજો કિસ્સો જોવા જઈ રહ્યા છીએ તે માટે હું આ બધું ભૂંસી નાખીશ આપણે ફરીથી એજ સાબિત કરવા જઈરહ્યા છીએ કે સાઈ એ હંમેશા થિટા કરતા અડધો હશે હવે કંઈક આ પ્રમાણે અંતર્ગત ખૂણો લઈએ જેમાં તમે વર્તુળના કેન્દ્રને અંતર્ગત ખૂણાની અંદર જોઈ શકો છો આ પ્રમાણે તો આ અંતર્ગત ખૂણો સાઈ છે માટે અંતર્ગત ખૂણો અને સમાન ચાપે આતરેલો કેન્દ્રીય ખૂણો વચ્ચેનો સંભંધ આપણે શોધવા માંગીએ છીએ તો હવે આ ચાપે કેન્દ્ર પાસે આતરેલો કેન્દ્રીય ખૂણો થશે જેને આપણે થિટા કહીએ તો આમની કોઈપણ જીવા કે કોઈપણ વ્યાસ તેને વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી પણ આપણે અહીં વ્યાસ દોરીએ જો કેન્દ્ર એ આ બે જીવાઓની વચ્ચે હોય તો આપણે આ પ્રમાણે વ્યાસ દોરી શકીએ તે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે જો આપણે આ રીતે વ્યાસ દોરીએ તો આ બે ખૂણાઓ સાઈ 1 અને આ ખૂણો સાઈ 2 થશે તો સ્પષ્ટ રીતે સાઈ એ આ બે ખૂણાઓને સરવાળો છે અને આપણે તે જ રીતે આ ખૂણાને થિટા 1 અને આ ખૂણાને થિટા 2 કહીએ આપણે મેળવેલા પરિણામનું ઉપયોગ કરીને બંન કિસ્સામાં ખૂણાની એક બાજુ વ્યાસ જ છે તો સાઈ 1 એ 1 હાફ થિટા 1 થશે અને સાઈ 2 એ 1 હાફ થિટા 2 થશે આમ સાઈ 1 + સાઈ 2 એ આ બંને બાબતોને બરાબર જ થશે 1 હાફ થિટા 1 + 1 હાફ થિટા 2 હવે આ સાઈ 1 + સાઈ 2 એ પ્રથમ અંતર્ગત ખૂણો સાઈ જ છે આ બરાબર સાઈ થશે અને આ બરાબર 1 /2 ઇન્ટુ થિટા 1 + થિટા 2 પણ થિટા 1+ થિટા 2 શું છે તે આપણો ઓરીજનલ થિટા જ થશે આ બરાબર થિટા તો હવે આપેણે જોઈએ કે સાઈ બરાબર 1 /2 થિટા આપણે તે વધુ સામાન્ય કિસ્સા માટે સાબિત કર્યું જેમાં કેન્દ્ર એ બે કિરણોની વચ્ચે છે જે ખૂણો વ્યાખ્યાયિત કરે છે આપણે હજુ વધારે અઘરી સ્થતિ જોઈ નથી જેમાં વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે જીવાઓની વચ્ચે નથી આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને આ શિરોબિંદુ છે આ પ્રથમ જીવા છે અને આ બીજી જીવા છે જે આ અંતર્ગત ખૂણાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તો આપણે તે સંભંધ કેવી રીતે શોધી શકીએ આપણે આ ખૂણાને સાઈ 1 કહીએ તો આ સાઈ 1 અને સમાન ચાપે કેન્દ્રપાસે આતરેલો ખૂણા વચ્ચેનો સંભંધ શું થાય તે સમાન ચાપ અહીંછે આ સમાન ચાપ છે તો સમાન ચાપે કેન્દ્ર પાસે આતરેલો ખૂણો કંઈક આવો દેખાશે આપણે આ ખૂણાને થિટા 1 કહીએ તો અંતર્ગત ખૂણાની એક બાજુ જયારે વ્યાસ હોય ત્યારે આપણે જે શીખ્યા તેનો ઉપયોગ કરી શકીએ તો આપણે અહીં વ્યાસ દોરીએ આ વ્યાસ એટલે ડાયામીટર થશે આપણે હજુ પણ આ બરાબર 1/2 ઓફ આ થવું જોઈએ તે જ પરિમાણ જોઈએ છીએ અને આપણે આ ખૂણાને સાઈ 2 કહીએ અને તે ચાપ અહીં છે તે સમાન ચાપ આ છે અને સમાન ચાપે કેન્દ્ર પાસે આતરેલો ખૂણો થિટા 2 થશે આ વિડિઓના આગળના ભાગ પરથી આપણે કહી શકીએ કે સાઈ 2 બરાબર 1 /2 ઓફ થિટા 2 જ થાય બરાબરને તેઓમાં આ વ્યાસ સામાન્ય છે વ્યાસ એ આમાની એક જીવા છે જે ખૂણો બનાવે છે તો સાઈ 2 બરાબર 1 /2 થિટા 2 જેટલું જ થશે આ સમાન બાબત જ આપણે છેલ્લા વિડિઓમાં કરી રહ્યા હતા આ અંતર્ગત ખૂણો છે અને તેમાંની એક જીવા એ વ્યાસ છે તો તે બરાબર આ ખૂણાનું કેન્દ્રીય ખૂણાનું અડધું થશે હવે આપણે આ મોટા ખૂણા વિશે વિચારીએ તો મોટો ખૂણો એ સાઈ 1 + સાઈ 2 જેટલો થશે તે આ આખો ચાપ આંતરે છે આ આખો ચાપ અને તેની એક જીવા વ્યાસ છે જે આ મોટા ખૂણાને આંતરે છે તો તે બરાબર સમાન ચાપે કેન્દ્ર પાસે આતરેલા ખૂણાનું અડધું થશે આપણે જે આ વિડિઓમાં જોઈ ગયા તેનો જ ઉપયોગ આપણે કરી શકીએ તો આ બરાબર 1 /2 ઇન્ટુ મોટો કેન્દ્રીય ખૂણો થિટા 1 + થિટા 2 થશે આપણે જે આગળ શીખ્યા તે બધાનો ઉપયોગ કર્યો હવે આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈ 2 = 1 /2 થિટા 2 તો આપણે તેની કિંમત અહીં મૂકીએ તો સાઈ 1 + સાઈ 2 ના બદલે 1 /2 થિટા 2 = 1 /2 થિટા 1 + 1/2 થિટા 2 બંને બાજુથી 1 /2 થિટા 2 સપટ્રેકટ કરતા આપણને આ પરિમાણ મળશે સાઈ 1 = 1 /2 થિટા 1 અને આપણે આ પૂરું કર્યું આપણે સાબિત કર્યું કે અંતર્ગત ખૂણો હંમેશા સમાન ચાપે કેન્દ્ર પાસે આતરેલા ખૂણા કરતા અડધો હોય છે પછી વર્તુળનું કેન્દ્ર ખૂણાની અંદર હોય બહાર હોય અથવા એક બાજુ વ્યાસ હોય કોઈ પણ ખૂણો રચી શકાય જે કોઈ પણ અથવા આ બધાના સરવાળા બરાબર હોય જે આપણે કરી ગયા અને આ ઉપયોગી છે અને આપણે તેના આધારે ભૂમિતિના વધુ રસપ્રત સાબિતીઓ કરીશું.