ત્રિજ્યા, વ્યાસ, પરિઘ અને π

વર્તુળ એ ભ્રહ્માંડના આકારોમાં મૂળભૂત આકાર છે જેમ કે કક્ષાઓનો આકાર ગ્રહો પૈડાંઓનો આકાર અથવા પરમાણુનો આકાર આમ વર્તુળનો આકાર આપણે બધે જ જોઈ શકીએ છીએ જે વર્તુળના અમુક ગુણધર્મો જાણવા ઉપયોગી છે જયારે પણ લોકો વર્તુળને કે ચંદ્રને જુએ છે તો તે વર્તુળના ગુણધર્મો શું હોય છે વર્તુળ એટલે કેન્દ્રથી સરખા અંતરે આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ આ સપાટી પરના બિંદુઓ વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે સૌ પ્રથમ તમે પૂછો કે કેન્દ્રથી આ સરખા અંતરને શું કહે છે આ અંતર આ અંતરને ત્રિજ્યા કહેવાય ત્રિજ્યા વર્તુળની ત્રિજ્યા કહે છે જે કેન્દ્રથી સપાટી પરના બિંદુ સુધીનું અંતર છે જો આ ત્રિજ્યા 3 સેમી હોય તો આ ત્રિજ્યા પણ 3 સેમી થાય તેવી જ રીતે આ ત્રિજ્યા પણ 3 સેમી થાય જેનું મૂલ્ય બદલાતું નથી વર્તુળની વ્યાખ્યા એ છે કે કેન્દ્રથી સરખા અંતરે આવેલા બિંદુઓ નો સમૂહ અને આ અંતર એટલે ત્રિજ્યા હવે બીજો ગુણધર્મ જોઈએ તમને કોઈ પૂછે કે વર્તુળ કેટલું જાડું છે કે કેટલું પહોળું છે અથવા તમે તેના પરના બંને બિંદુથી કાપો તો તે અંતર કેટલું થાય અથવા આ બંને બિંદુઓ વચ્ચે રહેલું અંતર કેટલું થશે આપણે તેને આ રીતે કાપી શકીએ છીએ અથવા તેને આ રીતે કાપી શકીએ છીએ પરંતુ તેને આ રીતે કાપી શકતા નથી કારણ કે તે બંને બિંદુઓ સૌથી પહોળી બાજુઓના બિંદુઓ નથી ઘણી બધી જગ્યાએથી તેને કાપી શકાય છે આપણે ત્રિજ્યા વિશે જોયું આ પહોળી તરફના બે બિંદુઓ કેન્દ્ર માંથી પસાર થાય છે અને આગળ શરુ રહે છે એટલે કે ખરેખર તે બે ત્રિજ્યાઓ છે આ એક ત્રિજ્યા અને આ બીજી ત્રિજ્યા આ અંતરને વ્યાસ કહે છે વર્તુળનો વ્યાસ કહે છે ત્રિજ્યા અને વ્યાસનો ખુબ જ સરળ સંભંધ છે જે છે વ્યાસ = 2 ગુણ્યાં ત્રિજ્યા હવે બીજી વસ્તુ કે જે ખુબ જ રસપ્રત છે અને તે છે કે વર્તુળની આસપાસ તે અંતર કેટલું છે જો તમારી પાસે મેઝર ટેપ હોય અને તમે વર્તુળની આસપાસ આ અંતર કે જે હું અહીં દોરું છું તે અંતર માપો તો તમને તે અંતર શું મળે છે અને તે અંતરને શું કહે છે તેનો વર્તુળનો પરિઘ કહે છે વર્તુળનો પરિઘ આપણે વર્તુળના વ્યાસ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેના સંભંધ જાણીએ છીએ પરંતુ પરિઘ સાથે તે શું સંભંધ ધરાવે છે તે જાણતા નથી આપણે વ્યાસનો ઉપયોગ વધુ કરતા નથી પરંતુ ત્રિજ્યા સાથે તે શું સંભંધ ધરાવે છે તે શોધવું સરળ છે અમુક વર્ષો પહેલા લોકો મેઝર ટેપની મદદથી પરિઘ અને ત્રિજ્યા શોધતા હતા ખરેખર તો મેઝર ટેપ વડે માપવું સારું નથી મેઝર ટેપ વડે માપીએ તો પરિઘની કિંમત આપણને 3 ની નજીક મળે છે અને વર્તુળના વ્યાસની કિંમત 1 મળે છે આમ વર્તુળના પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર આપણે શોધી શકીએ છીએ કોઈ વ્યક્તિ મેઝર ટેપ વડે આ વર્તુળની આસપાસ આ અંતર શોધે છે જે આશરે 3 મળે છે અને વ્યાસ માટે તો આશરે 1 મળે છે જે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર છે જે 3 મળે છે પરિઘ એ ઘણી વખત વ્યાસનું 3 ગણું મળે છે આ જ બાબત આપણે બીજા વર્તુળ માટે પણ કરી શકીએ છીએ ધારો કે આ એક નાનું વર્તુળ છે આ વર્તુળની આસપાસ રહેલું અંતર એટલે પરિઘ જેને c વડે દર્શાવીશું તે આપણને આશરે 6 સેમી મળે છે અને તેઓ વ્યાસ પણ માપે છે જે આશરે 2 સેમી મળે છે ફરીથી પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર લઈએ તો તે આશરે 3 મળે છે જે વર્તુળનો એક ગુણધર્મ છે વર્તુળના પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર કોઈ પણ વર્તુળ માટે નિચ્છીત હોય છે વધુ આગળ જોઈએ તો તેઓના માપ મુજબ વ્યાસ ખરેખર 1 મળે છે અને પરિઘ હું માપું તો તે આશરે તે 3 ની નજીક મળે છે ધારો કે 3 .1 મળે છે તો ધ્યાનથી જુઓ કે આ ગુણોત્તર પણ આપણને 3 થી નજીક મળે છે આમ આગળને આગળ વધુ સારી રીતે માપતા રહીએ તો ગુણોત્તર આપણને મળે છે 3 .14159 અને આગળ શરુ રહે છે અને આંકડાઓનું પુનરાવર્તન થતું નથી અહીં અદભુત સંખ્યા જોવા મળે છે આ સંખ્યા મૂળભૂત સંખ્યા છે કારણ કે વર્તુળ પણ બ્રમ્હાણ્ડમાં મૂળભૂત આકાર છે જે દરેક વર્તુળ માટે તે જ રહે છે આમ પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર એક જાદુઈ સંખ્યા આપે છે અને તે માટે આપણને એક નામ મળે છે નામ આપ્યું છે જેને પાઇ કહે છે અથવા તેને ગ્રીક અક્ષરમાં તેને તે દર્શાવી શકાય છે પાઇ જે ખુબ જ રસપ્રત સંખ્યા છે જે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર છે અને ગણિતમાં આગળ જતા તેનો ઉપયોગ થશે પરંતુ આનો ઉપયોગ કઈ રીતે થઇ શકે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર લેવાથી આપણને પાઇ મળે છે પાઇ મળે છે પાઇ એ ફક્ત સંખ્યા છે જે 3 .14159 અને આગળ શરુ રહે છે લોકો તેને ગ્રીક અક્ષર વડે દર્શાવે છે અને તેનો સંભંધ જોવા મળે છે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર આપણને એક જાદુઈ સંખ્યા આપે છે તે છે પાઇ પાઇ એ ફક્ત સંખ્યા છે અથવા હું એમાં સંકેતનો જગ્યાએ 3 .14159 આગળ આગળ શરુ રહે તે રીતે પણ લખી શકું છું પરંતુ તેનાથી જગ્યાનો દૂરઉપયોગ થશે તો ચાલો આપણે તેનો સંભંધ જોઈએ બંને બાજુ આપણે વ્યાસ વડે ગુણીએ તો આપણે મળશે પરિઘ c = પાઇ ગુણ્યાં વ્યાસ પરંતુ વ્યાસ બરાબર 2 ગુણ્યાં ત્રિજ્યા છે તેથી c = પાઇ ગુણ્યાં 2r આપણે જરા તેને વ્યવસ્થિત રીતે લખીએ તો પરિઘ બરાબર 2 ગુણ્યાં પાઇ ગુણ્યાં ત્રિજ્યા આપણે તેનો ઉદાહરણમાં ઉપયોગ કરીએ મારી પાસે એક વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા આ છે ત્રિજ્યા બરાબર 3 મીટર આપેલું છે તેથી ત્રિજ્યા બરાબર 3 મીટર તો વર્તુળનો પરિઘ શું થશે આપણે પરિઘ c = 2 ગુણ્યાં પાઇ ગુણ્યાં ત્રિજ્યા થાય તે જાણીએ છીએ તેથી 2 ગુણ્યાં પાઇ ગુણ્યાં ત્રિજ્યા 3 મીટર ગુણ્યાં 3 3 મીટર બરાબર 3 દુ 6 પાઇ મીટર યાદ રાખો કે પાઇ એ ફક્ત સંખ્યા છે પાઇ બરાબર 3 .12159 અને આગળ શરુ રહે છે જો આપણે તેને 6 સાથે ગુણીએ તો આપણને જવાબ કંઈક 18 . કંઈક મળશે જો તમારી પાસે કેલ્ક્યુલેટર હોય તો તમે તેની ગણતરી કરી શકો છો અથવા કોઈક વખત આજ જવાબ રાખવામાં આવે છે 6 ગુણ્યાં પાઇ આમ જવાબ 18. કંઈક લખવાની જગ્યાએ 6 પાઇ લખવામાં આવે છે હવે તમને બીજો સવાલ થશે કે વર્તુળનો વ્યાસ શું થશે વ્યાસ બરાબર શું મળે જો ત્રિજ્યા 3 હોય તો વ્યાસ તેનો બમણો થાય જે 3 ગુણ્યાં 2 થશે તેથી વ્યાસ બરાબર 3 ગુણ્યાં 2 અથવા 2 ગુણ્યાં 3=6 મીટર આમ પરિઘ થશે 6 પાઇ અને વ્યાસ થશે 6 મીટર વધુ એક ઉદાહરણ જોઈએ ફરીથી મારી પાસે એક વર્તુળ છે આ એક વર્તુળ છે અને આપણને કહ્યું છે કે આ વર્તુળનો પરિઘ એટલે કે c = 10 મીટર છે જો તમે મેઝર ટેપ લઇને તેની આસપાસનું અંતર માપશો તો તમને કોઈ પૂછે છે કે આ વર્તુળનું વ્યાસ શું થાય આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યાસ ગુણ્યાં પાઇ અથવા પાઇ ગુણ્યાં વ્યાસ બરાબર પરિઘ થાય બરાબર 10 મીટર આ ઉકેલવા માટે આપણે બંને બાજુ પાઇ વડે ભાગીએ તો વ્યાસ બરાબર 10 મીટર ભાગ્યા પાઇ મીટર તે એક સંખ્યા છે જો તમારી પાસે કેલ્ક્યુલેટર હોય તો તમે 10 ભાગ્યા 3 .14159 કરો તો તમને જવાબ 3 . કંઈક મીટર મળશે પરંતુ આ ફક્ત સંખ્યા છે અને સરળતા માટે તેને આમ પણ રાખી શકાય છે તો હવે ત્રિજ્યા શું થશે ત્રિજ્યા બરાબર 1 /2 ગુણ્યાં વ્યાસ આ અંતર 10 / પાઇ મીટર છે તો તેનું અડધું કરીએ તો તેને 1 /2 વડે ગુણવું પડે તેથી તેને 1 /2 વડે ગુણીએ તો ત્રિજ્યા = 1 /2 ગુણ્યાં 10 /પાઇ 1 /2 ગુણ્યાં 10 અથવા 2 નો છેદ ઉડાડીએ તો 2 પંચા 10 એટલે જવાબ મળે છે 5 /પાઇ ત્રિજ્યા બરાબર 5/પાઇ આમ ત્રિજ્યા આપણને 5 /પાઇ મળે છે આગળ જણાવ્યું તે મુજબ પાઇ એ ફક્ત સંખ્યા છે જેની કિંમત 3 .14159 અને તે સંખ્યા આગળ શરુ રહે છે આમ તે ફક્ત એક સંખ્યા છે ઘણી વખત લોકો પાઇની કિંમત મુકવાની જગ્યાએ પાઇના પદમાં જ તે જવાબ લખે છે પરંતુ જેને પાઇની કિંમત મુકવી હોય તો તે પાઇની કિંમત મૂકીને ગુણાકાર કરીને પણ જવાબ લખી શકાય છે પરંતુ ઘણી વખત લોકો આ રીતે જ પાઇના પદમાં જ જવાબ લખે છે આમ પાઇ એ ફક્ત એક સંખ્યા છે હવે આગળના વિડિઓમાં આપણે વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વિશે જોઈશું.