If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :5:55

સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓનો પરિચય

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

ચાલો સંમેય સંખ્યાઓ વિશે થોડી વાત કરીયે . સંમેય સંખ્યાઓ સરળ ભાષા માં કહીયે તો જે સંખ્યા ને બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાય તેને કહેવાય સંમેય સંખ્યા દા.ત ,કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે 1 ને આ રીતે પણ લખી શકાય 1/1 અથવા ઋણ 2 ના છેદમાં ઋણ ૨ અથવા 10,000 /10,000 આ દરેક પદ એ જુદી જુદી રીતે 1 ને દર્શાવે છે જે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તર સ્વરૂપે છે આ રીતે હું અસંખ્ય સંખ્યાઓને અહીં દર્શાવી શકું . કોઈપણ સંખ્યા ના છેદમાં તે જ સંખ્યા ઋણ 7 ને આ રીતે પણ લખાય ઋણ 7/1 અથવા 7 ના છેદમાં ઋણ 1 અથવા ઋણ 14 ના છેદમાં 2 આ રીતે આગળ પણ દર્શાવી શકાય આમ ,ઋણ 7 એ ચોક્કસ એક સંમેય સંખ્યા છે તેને બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ના ગુણોત્તર સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય . પણ જે સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક ન હોય તેનું શુ ? ધારો કે એક સંખ્યા લઈએ... ૩.75 હવે આ સંખ્યા ને બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તર સ્વરૂપે કઈ રીતે દર્શાવી શકાય ? ૩.75 ને તમે આ રીતે પણ લખી શકો 375/100 જેને 750/200 એમ પણ લખી શકાય . એમ પણ લખી શકાય ૩.75 એ આ રીતે પણ લખી શકાય 3 પૂર્ણાંક 3/4 જેને 15/4 તરીકે પણ દર્શાવી શકાય 4 તરી ૧૨ અને 12 વત્તા 3 બરાબર 15 માટે તેને લખાય બરાબર 15/4 અથવા ઋણ 30 ના છેદમાં ઋણ 8 અહીં આપને અંશ અને છેદ ને ઋણ 2 સાથે ગુણાકાર કર્યો જુઓ , આ સંખ્યા સ્પષ્ટ રૂપે સંમેય જ છે જેને જુદી જુદી રીતે આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ના ગુણોત્તર સ્વરૂપે અહીં લખ્યું છે હવે જોઈએ કે અનંત આવૃત્તિ દશાંશ સંખ્યા હોય તો તેને કઈ રીતે લખાય . ધારો કે આપણી પાસે છે 0.333 ... અનંત સુધી જેને 3 પર લીટી મૂકીને પણ દર્શાવી શકાય . જે દર્શાવે છે કે અહીં 3 નું પુનરાવર્તન થાય છે . આગળ આપણે એ પણ શીખીશું કે કોઈપણ અનંત આવૃત્તિ દશાંશ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ના ગુણોત્તર સ્વરૂપે કઈ રીતે દર્શાવી શકાય જેને લખી શકાય 1/3 અથવા 0.6 અનંત સુધી ,જે 2/3 જેટલું થશે આવા ઘણા ઉદાહરણ આપી શકાય ફક્ત એકજ સંખ્યાનું પુનરાવર્તન થતું હોય તેનેજ નહિ પણ એક સાથે ઘણી બધી સંખ્યાઓનું અનંત સુધી પુનરાવર્તન થતું હોય તો તેને પણ બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તર સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય હવે તમે કદાચ વિચારતા હશો. કે આપણે અહીં ઘણી બધી સંખ્યાઓના ઉદાહરણ જોયા આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ જોઈ આપણે દશાંશ સંખ્યાઓ પણ લીધી તેમજ આપણે અનંત સુધી પુનરાવર્તન પામતી દશાંશ સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ કર્યો . હવે શું બાકી રહ્યું ? એવી કોઈ સંખ્યા છે જે સંમેય ન હોય ? હા , એવી પણ સંખ્યાઓ છે જે સંમેય નથી . નહીંતર આ સંખ્યાઓને સામેય સંખ્યાઓ એવું નામ આપીને અલગ કઈ રીતે બતાવી શકાય. જુઓ અહીં તેનો જવાબ છે ગણિતમાં ઘણી એવી જાણીતી સંખ્યાઓ છે જે સંમેય નથી . અને આવી સંખ્યાઓ ને કહેવાય અસંમેય સંખ્યાઓ અહીં મેં અમુક પ્રખ્યાત ઉદાહરણ લખ્યા છે પાઇ...વર્તુળ ના પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર એ એક અસંમેય સંખ્યા છે દશાંશ ચિહન પછી તે અનંત સુધી આગળ વધે છે અને તેનું પુનરાવર્તન પણ થતું નથી . તેજ રીતે e , એ પણ અનંત સુધી આગળ વધતી રહે તેવી અસંમેય સંખ્યા છે સતત વધતું રહેતું ચક્રવૃદ્વિ વ્યાજ દર્શાવા તે વપરાય છે તે દરેક સ્થાને જોવા મળે છે વર્ગમૂળ માં 2 , અસંમેય સંખ્યા ફાઈ , જે એક સુવર્ણ ગુણોત્તર છે એ પણ એક અસંમેય સંખ્યા છે . આમ , ઘણી એવી સંખ્યાઓ છે જે અસંમેય છે તેમાંથી આ અમુક વિશિષ્ટ સંખ્યાઓ અહીં દર્શાવી છે કદાચ મોટા ભાગ ની સંખ્યાઓ સંમેય હોય છે અને અહીં જે અમુક વિશિષ્ટ સંખ્યાઓ છે તે અલગ પ્રકારની છે પણ અસામાન્ય નથી . પણ એવું જોવા મળ્યું છે કે કોઈપણ બે સંમેય સંખ્યાઓ ની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા રહેલી હોય છે આ સંખ્યાઓ સતત આગળ વધતી રહે છે અનંત સુધી પણ આપણે એવું કહી શકીયે નહિ કે સંમેય સંખ્યાઓ કરતા અસંમેય સંખ્યા ઓછી હોય છે આપણે પછી ના કોઈ વિડિઓ માં સાબિત પણ કરીશું . કે જો આપણી પાસે કોઈ બે સંમેય સંખ્યા હોય ધારો કે એક સંમેય સંખ્યા અને બીજી સંમેય સંખ્યા તો તે બંનેની વચ્ચે કોઈ એક અસંમેય સંખ્યા તો હોયજ જે એક સ્પષ્ટ બાબત છે કારણ કે અસંમેય સંખ્યા એ અલગ પ્રકાર ની કે વિચિત્ર કહી શકાય તેવી સંખ્યા હોય છે બીજી રીતે વિચારીએ હું વર્ગમૂળ માં 2 લઉં છું પણ જો તમે કોઈપણ સંખ્યા , જે પૂર્ણવર્ગ નથી તેનું વર્ગમૂળ કરો તો તે તમને અસંમેય સંખ્યાજ મળે જો કોઈ સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓ નો સરવાળો કરો જે પણ આપણે આગળ જતા શીખીશું તો તે અસંમેય જ મળે કોઈ સંમેય સંખ્યા નો અસંમેય સંખ્યા સાથે ગુણાકાર કરો . તો પણ અસંમેય સંખ્યાજ મળે આમ ઘણી બધી સંખ્યાઓ અસંમેય હોય છે .