સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને લગતી સાબિતી

આપણે ત્રિકોણ (એ, બી,સી) થી શરૂવાત કરીએ છે આકૃતિ પરથી જણાય છે કે (એ,બી)લંબાઈ અને (એ,સી)ની લંબાઈ સમાન છે રેખાખન્ડ (એ,બી) અને રેખાખન્ડ (એ,સી) એકરૂપ છે આ ત્રિકોણ છે જેની બે બાજુઓ ના માપ એકરૂપ છે અથવા લંબાઈ સમાન છે માટે આપણે કહી શકીએ કે આ આ સ્મદ્વિ બાજુ ત્રિકોણ છે સ્મદ્વિ બાજુ ત્રિકોણ છે જેનો અર્થ એ થાય કે તેની બે બાજુઓ ના માપ સમાન છે હવે આ વિડિઓ માં આપણે એ સાબિત કરવા માંગીએ છીએ કે ત્રિકોણ ના બે ખૂણા બે પાયા અને ખૂણા એટલે કે એક સમાન બાજુ અને આ પાયા ની બાજુ વચ્ચે ની બાજુ વચ્ચે બનતો બીઓ ખૂણો બન્ને સમાન એટલે કે એક રૂપ હોય છે આમ આપણે સાબિત કરવા માંગીએ છીએ તે આપણું સાધ્ય થશે તે છે ખૂણો (એ,બી,સી) ખૂણો (એ,બી,સી) એકરૂપ છે ખૂણા (એ,સી,બી ) સાથે ખૂણા (એ,સી,બી ) સાથેઆમ સમદ્રબાજુ ત્રિકોણ ના આ બે પાયા ના ખૂણા આ બે ખૂણા ને પાયા ના ખૂણા કહે છે તે અને તેઓ એકરૂપ છે તે આપણે સાબિત કરવા માંગીએ છીએ હવે અહીં અહીં આ ખૂણો શિરો બિંદુ પાસે નો ખૂણો છે અને આ બે બાજુઓ પાયા સિવાય ની બાજુઓ છે આનું માપ આ બન્ને બાજુઓ ના મેપ સમાન છે પરંતુ આ ત્રીજી બાજુ નો માપ બન્ને બાજુ ના માપ ના સમાન હોય તેવું જરૂરી નથી આમ આ બાજુ ને પાયો કહે છે અને આ બન્ને બાજુ ઓ પાયા સિવાય ની સમાન બાજુઓ છે તો ચાલો અપને તે સાબિત કરીએ અહીં આપણ ને વધુ માહિતી આપી નથી ફક્ત એમજ કહું છે કે આ બન્ને બાજુઓ ના માપ સમાન છે આપણે ત્રિકોણ વિશેની એકરૂપતા જાણીએ છીએ આપણે આ પરથી બે ત્રિકોણો બનાવી શકીએ અને તે પરથી તેમની એકરૂપતા લખી શકીએ બે ત્રિકોનો એવા બનવવા ના છે બન્ને ત્રિકોનો એકરૂપ હોય અને તે પરથી આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે આ ખૂણોએ અને આ ખૂણો એકરૂપ છે આમ પ્રથમ સ્ટેપ એ છે કે આપણે આ ત્રિકોણ ને બે એકરૂપ ભાગ માં વિભાજીત કરીએ તે માટે આપણે અહીં એક બિંદુ લઈશું બિંદુ (ડી) આપણે કહીયે છીએ બિંદુ (ડી)એ બિંદુ (બી) અને (સી) ની વચ્ચે આવેલું છે આમ (બી) થી (ડી) નું અંતર અને (ડી) થી (સી) નું અંતર સમાન થશે માટે તેને આપણે આ નિશાની વડે દર્શાવીએ છીએ આમ બે બિંદુઓ વચ્ચે નું બિંદુ જેને મધ્ય બિંદુ કહે છે હવે આપણે રેખાખણ્ડ (એ,ડી) દોરીએ હવે આપણી પાસે બે ત્રિકોણો છે ત્રિકોણ (એ.બી.ડી) અને ત્રિકોણ (એ,સી,ડી) અને આ બન્ને ત્રિકોણો માં આ બાજુઓ એકરૂપ છે આ બન્ને બાજુ ઓ એકરૂપ છે અને બન્ને આ બાજુઓ પણ એકરૂપ છે અને આ બન્ને ત્રિકોણો ની સામાન્ય બાજુ છે આમ આ પરથી આપણે કહી શકીએ છીએ કે ત્રિકોણ (એ,બી,ડી) એકરૂપ ત્રિકોણ (એ,સી,ડી) થશે કારણ કે તે (બા,બા,બા,)એટલે કે બાજુ ,બાજુ ,બાજુ એકરૂપતા ની શરત પરથી સાબિત થાય છે આમ આ આપણે આ સાબિત કર્યું (બા,બા,બા ) એકરૂપતા ની શરત હવે આપણી પાસે બે ત્રિકોણો છે બન્ને ત્રિકોણો ની ત્રોણેય બાજુઓ નો લંબાઈ ત્રોણેય અનુરૂપ બાજુઓ નો લંબાઈ સમાન છે એટલે કે ત્રોણેય અનુરૂપ બાજુઓ એકરૂપ છે આમ બી ત્રિકોણો એકરૂપ થશે હવે જો બે ત્રિકોણો એકરૂપ હોય તો તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ પણ એકરૂપ થાય છે આમ હવે આપણે તેને સાબિત કર્યું કારણ કે ત્રિકોણ (એ,બી,ડી)નો ખૂણો છે (એ,બી,સી)જે અહીં આ ખૂણો છે અને તેને અનુરૂપ ખૂણો ત્રિકોણ એ,સી,ડી) નો ખૂણો છે ખૂણો (એ,સી,ડી)માટે ખૂણો (એ,બી,સી)એકરૂપ થશે ખૂણો (એ,સી,બી)આમ આ બન્ને ખૂણા એકરૂપ છે આમ જો આપણી પાસે સ્મદ્વિ પાસે ત્રિકોણ હોય એટલે કે ત્રિકોણ ની બે બાજુ ઓ ના માપ એકરૂપ હોય તો તેમના પાયા ના ખૂણાઓ પણ એકરૂપ થાય છે ચાલો હવે આપણે આ બાબત ને જ બીજી રીતે વિચારીએ અને આપણે તેને બીજું વિધાન બનાવીએ હવે આપણે એ વિધાન બનાવીએ કે જો પાયા ના ખૂણો સમાન હોય તો તેમની પાયા સિવાય બે બાજુઓ પણ એકરૂપ થશે તો ચાલો તે સમજવા માટે આપણે અહીં એક બીજો ત્રિકોણ બનાવીએ આ એક ત્રિકોણ છે તેને નામ આપી દઈએ આ (એ) અને આ (બી) અને આ (સી )હવે આપણે કહીશું કે ખૂણો (એ,બી,સી) જે અહીં આ ખૂણો છે અને ખૂણો (એ,સી,બી)કે જે અહીં આ ખૂણો છે આ બન્ને ખૂણાઓ એકરૂપ છે આમ આ બન્ને ખૂણાઓ ના માપ સમાન થશે આ સ્થિતિ માં આપણે સાબિત કરીશું કે જો પાયા ના ખૂણા ઓ એકરૂપ હોય તો આ બે પાયા સિવાય ની બે બાજુઓ ના માપ પણ સમાન થશે અહીં આપણે સાબિત કર્યું કે જો બે બાજુઓ ના માપ સમાન હોય તો તેમના પાયા ના ખૂણા ના માપ સમાનથાય છે એટલે કે એકરૂપ થાય છે પરંતુ અહીં આપણે એ સાબિત કરવા માંગીએ છીએ કે જો પાયા ના ખૂણા ઓ ના માપ સમાન હોય તો આ બે બાજુઓ ના માપ પણ સમાન થશે માટે અહીં આપણું સાધ્ય થશે રેખાખન્ડ (એ,બી) એકરૂપ છે રેખાખન્ડ (એ,સી) અથવા એમ પણ કહી શકાય કે (એ,બી) ની લંબાઈ અને (એ,સી) ની લંબાઈ સમાન આ બન્ને વિધાન સમાન છે આપણે ફરીથી એકરૂપતા નો પ્રમેય વિશે જાણીયે છીએ આ સાબિત કરવા માટે ફરી થી આપણ ને બે ત્રિકોણ ની જરૂર પડશે તો ચાલો તે આપણે કરીએ અહીં આપણે મધ્યબિંદુ (બી) લેવાની જગ્યા એ કોઈ એક બિંદુ (ડી) લઈએ કે જે મધ્યબિંદુ નથી પરંતુ (એ થી ડી) સુધી નું અંતર (એ ,બી,સી)સાથે લબ થશે એટલે કે (એ,ડી)એ ઉભી છે અને (બી,કઈ)એ સીધી રેખા છે આમ (એ,ડી)ને વેધ કહે છે અને તે (બી,સી)પાસે કાટખૂણો બનાવે જો આ કાટખૂણો હોય તો તેની બીજી તરફ નો ખૂણો પણ કાટખૂણો થશે એટલે કે ૯૦ અંશ નો ખૂણો થશે આમ આપણે અહીં લખી શકીએ છીએ કે આપણે રેખાખન્ડ )એ,ડી)વેધ એ રીતે દોર્યો કે જેથી (એ,ડી) રેખાંખણડ (એ,ડી) લબ રેખાખન્ડ (બી,સી)થાય આમ તમે આ રીતે વેધ દોરી શકો છો હવે જુઓ કે આપણી પાસે આ એક ખૂણો છે અને આ બીજું ખૂણો છે અને આ બાજુ સામાન્ય છે માટે આ ખૂણો એકરૂપ થશે માટે આ ખૂણા સાથે અને આ ખૂણા એકરૂપ થશે આ ખૂણા સાથે અને આ બાજુ તેમની સામાન્ય બાજુ થશે માટે આ પરથી આપણે કહી શકીએ છીએ કે આ બન્ને ત્રિકોણો ખૂણો અને ખૂણો બાજુ એટલે કે ખૂણો (બા.ખુ) એકરૂપતા ની શરત દ્રારા એકરૂપ થાય છે ખૂણો બાજુ ખૂણો આ આપણે લખી શકીએ કે ત્રિકોણ (એ,બી.,ડી)એક રૂપ છે છે ત્રિકોણ (એ,સી,ડી) સાથે જે ખૂણો ખૂણો બાજુ એટલે કે (ખુ,ખુ,બા)એકરૂપતા ની શરત પરથી શરત પરથી સાબિત થાય છે આ ખૂણો આ ખૂણો આ બાજુ તેજ પ્રમાણે આ ખૂણો આ ખૂણો આ બાજુ (ખુ,ખુ,બા)ખૂણો , ખૂણો,બાજુ જો બે ત્રિકોણો એકરૂપ હોય તો તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ અને અનુરૂપ બાજુઓ પણ એકરૂપ થાય છે આમ આ પરથી આપણે કહી શકીએ છીએ કે રેખાખન્ડ (એ,બી) એકરૂપ છે રેખાખન્ડ (એ,સી) માટે આ બન્ને બાજુઓ એકરૂપ થશે (એ,બી અને એ,સી) એકરૂપ થશે કારણ કેઆ બે એકરુપ ત્રિકોણ છે આમ આપણે અહીં સાબિત કર્યું જો પાયા ના ખૂણાઓ સમાન હોય એટલે કે એકરૂપ હોય તો તેમને પાયા સિવાય ની બે બાજુઓ ની લંબાઈ સમાન થશે એટલે કે એકરૂપ થશે આ ખુબજ અગત્ય નું પરિણામ છે અને તે ફક્ત સમદ્ર્બાજુ ત્રિકોણ માટે લાગુ પડે છે અહીં આપણે ડી ને મધય બિંદુ તરીકે લીધું છે જેયારે આપણે ડી ને એવી રીતે લીધું છે જેથી (એ,ડી) વેધ બને અને તે આ (બી.સી ) સાથે લંબ થાય પરંતુ જુઓ આ બને ત્રિકોણ એકરૂપ હોય તો તેમનું અનુરૂપ બાજુઓ એકરૂપ થશે માટે બન્ને ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી (બી,ડી) બરાબર ( ડી,સી) થશે આ બે બાજુઓ પણ એકરૂપ થશે આમ આપણે કહી શકીયે કે છીએ કે સમદ્ર્બાજુઓ ત્રિકોણ માં ડી એ ફક્ત મધ્યબિંદુ જ નહિ પરન્યું અહીં (એ,ડી) મધ્યગાહ હોવાથી એ (એ,ડી)એ (બી,સી)ને લંબ દ્વિભાજક થશે આમ (એ,ડી) (બી.સી ) નું લંબ દ્વિભાજક છે અને ડી એ આ આખા પાયા નું મધ્ય બિંદુ છે