યામ સમતલનો પરિચય

દુનિયાના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ફિલોસોફરમાંથી એક એવા રેને ડે કારતેનું આ એક ચિત્ર છે અને તેવું ઘણી વખત જોવા મળ્યું છે કેજે મહાન ફિલોસોફર છે તે મહાન ગણિતશાસ્ત્રી પણ હતા તેમને ગેલેલિઓના સમકાલીન પણ કહી શકાય,તેઓ તેમના કરતાં ૩૨ વર્ષ નાના હતા તેમ છતાં ગેલેલિઓના મૃત્યુ પછી તરત જ તેમનું મૃત્યુ થયું હતું, ખૂબ નાની ઉંમરમાં તેમનું મૃત્યુ થયું હતું, ગેલેલિઓ જ્યારે મૃત્યુ પામ્યા ત્યારે તેમની ઉંમર લગભગ ૭૦ વર્ષ હતી જ્યારે રેને ડે કારતે તે ફક્ત ૫૪ વર્ષના હતા ત્યારે તેઓ અવસાન પામ્યા,તેઓ તેમના આ પ્રખ્યાત કથન વિશે જાણીતા છે તેઓ કહી ગયા છે કે આઈ થિંક ધેર ફોર આઈ એમ એટલે કે હું વિચારું છું માટે હું છું અહીં તેમનું બીજુ એક કથન પણ દર્શાવેલ છે જે ખૂબ ઓછું જાણીતું છે જેને બીજ ગણિત સાથે કોઈ સંબંધ નથી પણ આ કથન ખૂબ વ્યવહારિક લાગે છે અને તે જ સાબિત કરે છે કે આટલા મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કે ફિલોસોફર હોવા છતાં દિવસના અંતે તો તેઓ એક સામાન્ય મનુષ્ય જ હતા તેઓ કહી ગયા કે યુજસ્ટ કિપ પુશિંગ,યુ જસ્ટ કિપ પુશિંગ, તમે પ્રયત્ન કરતા રહો, તમારા પ્રયત્નો શરૂ રાખો, આઈ મેડએવરી મિસ્ટેક ધેટ ફૂડ બી મેડ, શક્ય હોય તેટલી ભૂલો મેં કરી, બટ આઈ જસ્ટ કેપ્ત પુશિંગ, મેં મારા પ્રયત્નો શરૂ રાખ્યા અને આ જે વાત છે તે જીવનની સાચી સમજ આપે છે દરેકના જીવન માટે ઉપયોગી સલાહ છે તેમણે ગણિત અને ફિલોસોફીમાં ઘણું બધું યોગદાન આપ્યું છે પણ અહીં આ વિડીયોમાં જે આપણે વાત કરવાના છીએ તે બીજગણિત અને ભૂમિતિના જોડાણ માટે તેમણે જે યોગદાન કર્યું તેની વાત કરવાની છે અહીં ડાબી તરફ માની લો કે બીજગણિતનું વિશ્વ્ છે જેમાં સમીકરણો છે સંકેતો કે ચલ છે જેની આપણે અમુક કિંમત પણ લઇ શકીએ દાખલા તરીકે એક સમીકરણ છે y = ૨x - ૧ આ સમીકરણ x ની અને y ની અમુક કિંમતો વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે, તે અહી આપણે કોષ્ટક બનાવીએ જેમાં x અને y ની અમુક કિંમતો લઈએ અને તેના દ્વારા જોઈએ કે આસમીકરણમાં x ની કોઈ એક કિંમત મુકતા y ની કઈ કિંમત મળે છે? x ની પહેલી કિંમત લઈએ - ૨ અને તેને આ સમીકરણમાં મુકતા y ની કિંમત મળશે ૨ ગુણ્યાં - ૨ - ૧ = ૨ ગુણ્યાં - ૨ કરવાથી આપણને - ૪ મળે અને - ૪ - ૧ = - ૫, x પછીની કિંમત લઈએ - ૧ અને તેના આધારે y ની કિંમત મળશે ૨ ગુણ્યાં -૧ -૧ = ૨ ગુણ્યાં - ૧ જે થશે - ૨ - ૧ = - ૩ ત્યાર પછી ની કિંમત લઈએ ઝીરો માટે ૨ ગુણ્યાં ઝીરો - ૧ = ૨ ગુણ્યાં ઝીરો = ઝીરો અને ઝીરો - ૧ = - ૧ જ થાય, આગળ વધુ કિંમતો લઇએ ધારો કે x = ૧ છે આપણે x ની કોઈપણ કિંમતો લઈ શકીએ અહીં આપણે વર્ગમૂળ બે લઇ શકીએ ઓછા પાંચ ના છેદમાં બે લઈ શકીએ + ૬ ના છેદમા ૭ લઈ શકીએ આમ x ની કોઈપણ કિંમત માટે y ની કોઈ અનન્ય કિંમત મળે હવે x ની કિંમત એક લેતા તે થશે બે ગુણ્યાં એક ઓછા એક બરાબર બે - એક અને આપણને મળે એક,વધુ એક કિંમત લઈએ તો ધારો કે x = ૨ છે તો તે થશે બે ગુણ્યાં બે ઓછા એક બરાબર ચાર ઓછા એક જે બરાબર થશે ત્રણ, અહીં y અને x ચલનો એક સામાન્ય સંબંધ દર્શાવેલ છે જેને આપણે અહીં થોડુંક વધુ સારી રીતે દર્શાવેલ છે અહીં x ની કોઈ કિંમત માટે y ની અનન્ય કિંમત મળે છે અને ડે કારતે એ વિચાર્યું કે તેને આપણે આકૃતિ દ્વારા પણ દર્શાવી શકીએ જો આમાંથી દરેકને આપણે આકૃતિ દ્વારા દર્શાવી એ તો આખા સમીકરણની એક આકૃતિ મળશે તો આ આખા સમીકરણની એક આકૃતિ મળશે,તેના આ જ વિચારને લઈને તેણે બીજગણિત નું ભૂમિતિ સાથે જોડાણ કર્યું જેમાં આપણે આકારો કદ અને ખૂણાઓની વાત કરતા હોઈએ છીએ આમ અહીં આપણુ ધારો કે ભૂમિતિનું વિશ્વ છે રેને ડે કારતે પહેલા જે ભૂમિતિ લોકોના ધ્યાનમાં હતું તેને યુક્લિડીયન ભૂમિતિ કહેવાય છે જેમાં ત્રિકોણના સંબંધ વિશેની વાત હતી તેમના ખૂણા વચ્ચેના સંબંધની વાત હતી આ પ્રકારની ભૂમિતિ ૮, ૯, ૧૦, ધોરણમાં જે આપણે પાઠ્યપુસ્તકમાં ભણીએ છીએ તેની વાત છે જેમાં આપણે વર્તુળ તેની ત્રિજ્યા વર્તુળમાં અંતર્ગત ત્રિકોણ વગેરે વિશે જાણકારી મળે છે પણ રેને ડે કારતે એ કહ્યું કે જે રીતે ભૂમિતિમાં ત્રિકોણ વર્તુળ વગેરે જેવા આકારો દર્શાવાય છે તેમ આ બાબતને પણ માટે કોઈ ચોક્કસ આકૃતિ વડે દર્શાવી શકાય તે માટે તેણે એક કાગળ વિશેની કલ્પના કરી જે દ્વિપરિમાણીય હોય છે એટલે કે ટૂ ડાઈમેન્સનલ હોય છે કે તેમાં બે પરિમાણ હોય છે એક ઉપર નીચે જતું પરિમાણ અને બીજું છે ડાબી જમણી તરફ જતું પરિમાણ, જો કોઈ ત્રિપરિમાણની વાત કરીએ તો તે થશે અંદરથી બહાર જતો પરિમાણ અહીં સ્ક્રીન પર દ્વિપરિમાણીય આકૃતિ દર્શાવવી ખૂબ સહેલો છે કારણ કે સ્ક્રીન પોતે પણ બે પરિમાણમાં છે તેને આગળ વિચાર્યું કે અહીં આપણી પાસે બે અલગ અલગ ચલ છે જેમની વચ્ચે કંઈક ચોક્કસ સંબંધ છે તો શા માટે આ ચલના સંબંધને અહીં ન દર્શાવી એ તો આ બે ચલને આ બે પરિમાણ સાથે સરખાવી શકાય કે નહીં તેના પર તેણે વિચાર કર્યો આથી તેણે જે આશ્રિત ચલ છે એટલે કે y જે x ઉપર આધારિત છે x ની કોઈ પણ સ્વતંત્ર કિંમત માટે y ની કોઈ કિંમત મળે છે જે આ ઉભું પરિમાણ છે તેને તેણે y તરીકે દર્શાવ્યો અને આ જે આડું પરિમાણ છે તેને તેણે x તરીકે દર્શાવ્યો અને ખરેખર રેને ડ કારતે એ જ x y અને આગળ જતા અને આપણે ત્રીજું પરિમાણ પણ જોઇશું z વગેરે ચલનો ઉપયોગ વધારે કર્યો હવે તેણે વિચાર્યું કે આ x દિશા છે તેને કોઈ સંખ્યાઓ વડે દર્શાવીએ તેણે અહીં ૦ દર્શાવ્યું અહીં તેણે - ૧ આગળ જતાં - ૨ - ૩ વગેરે દર્શાવ્યા અને આ બાજુ ધન એક, ધન બે, ધન ત્રણ, ધન ચાર તે રીતે સંખ્યાઓ દર્શાવી તે જ રીતે y દિશામાં તેણે દર્શાવ્યું કે એક છે આ બે આ ત્રણ અને નીચે તરફ - ૧ - ૨ - ૩ - ૪ અને - ૫ અહીં આપણે આ બધી બાબતોને કોઈપણ રીતે દર્શાવી શકીએ અહીં y અહીં x દર્શાવી શકીએ આ તરફ ધન અને આ તરફ ઋણ સંખ્યાઓ દર્શાવી શકીએ પણ રેને ડે કારતે એ આ રીતે કર્યું અને લોકોએ તેને સ્વીકારી લીધું હવે આગળ તેણે આ બધા બિંદુઓને એટલે કે આ દરેક જોડ ને અહીં એક બિંદુ સ્વરૂપે દર્શવવા વિશે વિચાર્યું દાખલા તરીકે આ જે - ૨ છે તે x દિશામાં છે માટે આ x દિશામાં - ૨ માટે અહીં x દિશામાં બે એકમ ડાબી બાજુ જતા આપણને -૨ મળે છે તો તેને સંગત y દિશામાં -૫ મળે છે જે આ બિંદુ છે આમ x દિશામાં -૨ એકમ આમ જો,આમ જો ૨ એકમ ડાબી બાજુ જઈએ અને પાંચ એકમ નીચે તરફ જઈએ આપણને આ બિંદુ મળે છે આમ તેણે આ બે કિંમત એક બિંદુ સ્વરૂપે સમતલમાં દર્શાવ્યું જેને આ રીતે પણ દર્શાવી શકાય - ૨ , - ૫ જે આગળ જતાં કાર્ટેઝીયન યામ બિંદુઓ તરીકે ઓળખાયા રેને ડે કારતે ના નામ પરથી તેણે કાર્ટેઝીયન નામ એવું નામ આપવામાં આવ્યું તે જ રીતે દરેક કિંમતોને દર્શાવીએ તો x ની કિંમત છે - ૧ તેને અનુરૂપ y ની કિંમત છે - ૩, x - ૧, y - ૩ જે અહીં મળે છે જેને યામબિંદુઓ તરીકે પહેલા x ની કિંમત ત્યારબાદ y ની કિંમત દર્શાવાય છે ત્રીજી જોડ છે xની કિંમત શૂન્ય અને y ની કિંમત - ૧, xની કિંમત શૂન્ય તેનો અર્થ છે કે આપણે ડાબી કે જમણી તરફ આગળ વધવાનું નથી પણ y ની કિંમત - ૧ છે માટે નીચેની તરફ એક એકમ આગળ વધવાનું છે આમ આ બિંદુના યામ થશે ઝીરો અને - ૧, ત્યારપછીની કિંમતો છે, x = ૧ અને y = પણ ૧ આમ આ x ની કિંમત પણ એક અને અહીં y ની કિંમત પણ એક માટે તેના યામ છે એક,એક જ્યારે x = ૨ ત્યારે y = ૩, x = ૨ અને y = ૩ માટે અહીં લખીએ ૨,૩. અહીં આપણે ફક્ત x ની અમુક કિંમતો દર્શાવી પણ તેણે વિચાર્યું કે જો આ બધા બિંદુઓને જોડી દઈએ અને એક રેખા બનાવીએ તો તેમાં અસંખ્ય બીન્દુઓ એવા મળે જેમાં x ની કોઈ ચોક્કસ કિંમત માટે yની કોઈ અનન્ય કિંમત મળે આમ,આ જો દરેક બિંદુઓને જોડી દઈએ તો આપણને આવી એક રેખા મળે છે અને x ની કોઇપણ કિંમત માટે y ની જે કિંમત મળે તે દરેક બિંદુ આ રેખા પર જોવા મળે અથવા એમ કહીએ કે આ રેખા પરથી કોઈ બિંદુ લઈએ અથવા બીજી રીતે કહીએ તો આ રેખા પરનું કોઇ પણ બિંદુ આ સમીકરણનો ઉકેલ થશે ધારો કે આ બિંદુ લઈએ જે લગભગ x ની કિંમત ૧.૫ અને y ની કિંમત ૨ દર્શાવે છે તેઆ સમીકરણનું સમાધાન કરે, જો x = ૧.૫ અહીં મૂકીએ તો ૧.૫ ગુણ્યાં ૨ = ૩ અને ૩ - ૧ = ૨ મળે જે અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે y બરાબર ૨ છે આ રીતે તેણે બીજગણિત અને ભૂમિતિ વચ્ચે એક સેતુ બનાવ્યો જેના આધારે x અને y ની કિંમતો આપણે આ રીતે આકૃતિ સ્વરૂપે દર્શાવી શકીએ જે દરેક આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ હોય આ રીતે તેણે બીજગણિત અને ભૂમિતિ નું જોડાણ કર્યું અને આ જે બિંદુઓની જોડ છે તેને કાર્ટેઝીયન યામ બિંદુઓ કહેવાય છે આ જે સમીકરણ છે તેને કહેવાય સુરેખ સમીકરણ હવે આપણે એ તો જાણીએ છીએ કે તે સમીકરણ છે પણ તેને સુરેખ શા માટે કહેવાય? અને જે રીતે રેને ડે કારતે એ દર્શાવ્યું કે આ બિંદુઓને યુક્લિડીયન યામ સમતલમાં યુક્લિડીયન સમતલમાં દર્શાવતાં આપણને એકરેખા મળે છે માટે તેને સુરેખ સમીકરણ કહેવાય છે પણ આગળ જતાં આપણે એવા પણ સમીકરણ જોઈશું કે જેનો આલેખ કે જેને આ રીતે રેખા સ્વરૂપે ન દર્શાવતા કોઈ વક્ર સ્વરૂપે અથવા કોઈ વિચિત્ર આકૃતિ સ્વરૂપે દર્શાવી શકો