આલેખ પરથી ઢાળના અંત:ખડનું સમીકરણ

કદાચ તમે જાણતા હશો કોઈ પણ સુરેખ સમીકરણને વાય બરાબર એમએક્સ પ્લસ બી સ્વરૂપે લખી શકાય જ્યાં એમ એ રેખાનો ઢાળ દર્શાવે છે ઢાળ વિષે આપણે પાછળના અમુક વિડિઓ માં આપણે સમજ્યા છીએ રેખાનો લંબ કે ઉભી દિશામાં ફેરફાર છેદમાં સમક્ષિતિજ કે આડી દિશામાં ફેરફાર એટલેકે રેખા કેટલા પ્રમાણમાં ઢળતી છે તે જોયું અહીં આ બી એ વાય અંતઃખંડ છે બી એ વાય અંતઃખંડ છે એ સમજવું ખૂબ સરળ છે તે માટે એક્સની કિંમત શૂન્ય મુકીયે એક્સની કિંમત શૂન્ય લેવાનો અર્થ છે કે રેખા વાય અક્ષને છેદે છે આમ એક્સ બરાબર શૂન્ય હોય ત્યારે આ સમીકરણમાં આ પદનું મૂલ્ય શૂન્ય થઇ જાય માટે વાય બરાબર એમ ગુણ્યાં શૂન્ય વતા બી અહીં શૂન્ય માટે વાય બરાબર બી મળે આમ બિંદુ જીરો કોમા બી આ રેખા પર હોય માટે વાય બરાબર બી બિંદુએ રેખા વાય અક્ષ ને છેદે પછીના વીડિયોમાં આપણે તે કિંમતો લઈને પણ સમજીશું આપણે જાણીયે છીએ કે બિંદુ જીરો કોમા બી એ રેખા પર હોય હવે જો એક્સ બરાબર એક હોય તો શું થાય તે મળે વાય બરાબર એમ ગુણ્યાં એક એટલે એમ વતા બી માટે કહી શકાય કે બિંદુ એક કોમા એમ વતા બી પણ રેખા પર હોય આ વયની કિંમત છે તો હવે આ બિંદુ અને આ બિંદુ વચ્ચેના ઢાળ માટે શું કહી શકાય આ બિંદુને અંત્ય બિંદુ લઈને ગણીએ તો વાયમાં થતો ફેરફાર બરાબર એમ વતા બી ઓછા બી છેદમાં એક્સમાં થતો ફેરફાર બરાબર એક ઓછા શૂન્ય અહીં લખીયે વાયમાં થતો ફેરફાર છેદમાં એક્સમાં થતો ફેરફાર આપણે બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કર્યો આ બિંદુને અંત્ય બિંદુ અને આ બિંદુને પ્રારંભિક બિંદુ ગણી ને ગણતરી કરી હવે જો સાદુંરૂપ આપીયે તો બી ઓછા બી બરાબર શૂન્ય થઇ જાય એક ઓછા શૂન્ય બરાબર એક આમ આપણને મળે એમના છેદમાં એક અથવા ફક્ત એમ મળે આશા રાખીયે કે તમને સમજાયું હશે આમ આ એમ એ ઢાળ દર્શાવે છે અને બી એ વાય અંતઃખંડ છે તેમ કહી શકાય હવે આપણે આ આલેખનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ મેળવવાના છે આમ આ આલેખ પરથી ઢાળ મેળવીયે વાય અંતઃખંડ મેળવીયે અને પછી સમીકરણ શોધીયે ચાલો પહેલા રેખા એ માટે જોઈએ હવે કહો કે એનો ઢાળ શું છે રેખા એ પરનું કોઈ બિંદુ લઈને શરુ કરીયે અહીં થી શરુ કરીયે આપણને પૂર્ણ સંખ્યા જોઈએ છે આપણે જો ત્રણ એકમ આગળ જઇયે તો એક બે અને ત્રણ એકમ આમ જો ડેલ્ટા એક્સ બરાબર ત્રણ હોય એક બે ત્રણ આપનો ડેલ્ટા વાય બે એકમ નીચે બરાબર માઇનસ બે ડેલ્ટા વાય બરાબર માઇનસ બે આમ બિંદુ એ માટે વાયમાં થતો ફેરફાર છેદમાં એક્સમાં થતો ફેરફાર બરાબર એક્સમાં જયારે ત્રણ જેટલો ફેરફાર થાય ત્યારે વાયમાં થતો ફેરફાર માઇનસ બે છે આમ તેનો ઢાળ મળે માઇનસ બે ના છેદમાં ત્રણ જયારે ત્રણ એકમ આગળ જઇયે બે એકમ નીચે જવું પડે જો એક એકમ આગળ જઇયે તો બે તૃત્યાંશ એકમ નીચે જવું પડે પણ તે બરાબર જોઈ શકાય નહિ પણ જો ત્રણ એકમ આગળ જઇયે ત્યારે બરાબર જોઈ શકાય આમ આપણને આ રેખાનો ઢાળ મળી ગયો હવે તેનો વાય અંતઃખંડ મેળવીયે આ મળ્યો આપણો એમ હવે બી માટે શું આપણો વાય અંતઃખંડ જુઓ કે રેખા એ વાય અક્ષ ને ક્યાં છેદે છે આપણે જોયું કે ઢાળ માઇનસ બે તૃત્યાંશ છે માટે આ બિંદુએ વાય બરાબર બે છે હવે જયારે એક એકમ જમણી બાજુ ખસીએ તો બે તૃત્યાંશ એકમ નીચે જવું પડે માટે આ બિંદુ છે એક પૂર્ણાંક એક તૃત્યાંશ બીજી રીતે કહીયે તો તે મળે ચાર તૃત્યાંશ આમ આ બિંદુ છે વાય બરાબર ચાર તૃત્યાંશ એક કરતા સહેજ વધારે લગભગ એક પૂર્ણાંક એક તૃત્યાંશ માટે કહી શકાય કે બી બરાબર ચાર તૃત્યાંશ આમ તે સમીકરણ મળે વાય બરાબર માઇનસ બેનાં છેદમાં ત્રણ એક્સ વતા બી બરાબર ચાર તૃત્યાંશ આ મળ્યું સમીકરણ એ હવે સમીકરણ બી માટે જોઈએ આશા રાખીયે કે આમાં અપૂર્ણાંક ન હોય સમીકરણ બી ચાલો તો પહેલા તેનો ઢાળ શોધીયે કોઈ વ્યવસ્થિત બિંદુથી શરુ કરીયે આ બિંદુથી શરુ કરી શકાય તે અહીં દર્શાવીએ સમીકરણ બી માટે જયારે આપણો ડેલ્ટા એક્સ બરાબર એક હોય જમણી બાજુ એક એકમ આગળ વધીયે તો ડેલ્ટા વાય શું મળે આપણે ત્રણ એકમ ઉપર જઇયે ડેલ્ટા એક્સ ડેલ્ટા વાય વાયમાં થતો ફેરફાર બરાબર ત્રણ માટે ડેલ્ટા વાય ભાગ્યા ડેલ્ટા એક્સ જયારે જમણી બાજુ જઇયે ત્યારે એક્સમાં થતો ફેરફાર એક અને વાયમાં થતો ફેરફાર ત્રણ માટે આપણો ઢાળ મળે ત્રણ હવે વાય અંતઃખંડ માટે શું કહી શકાય જુઓ કે એક્સ બરાબર શૂન્ય ત્યારે વાય બરાબર એક માટે બી ની કિંમત મળે એક આમ તે ઘણું સહેલુ હતું અહીં સમીકરણ મળે વાય બરાબર ત્રણ એક્સ વતા એક હવે છેલ્લી રેખા માટે જોઈએ રેખા સી ચાલો પહેલા વાય અંતઃખંડ મેળવીયે તે તરતજ ખબર પડી જાય તેવું છે જો એક્સ બરાબર શૂન્ય હોય તો વાય બરાબર માઇનસ બે મળે છે આમ રેખા સી માટે બી બરાબર માઇનસ બે હવે ઢાળ માટે શું કહી શકાય એમ બરાબર વાયમાં થતો ફેરફાર છેદમાં એક્સમાં થતો ફેરફાર વાય અંતઃખંડ થી શરુ કરીયે જો જમણી બાજુ એક બે ત્રણ ચાર એકમ આગળ વધીયે તો આમ આપણા એક્સમાં થતો ફેરફાર બરાબર ચાર ત્યારે વાયમાં થતો ફેરફાર શું મળે વાયમાં થતો ફેરફાર મળે ધન બે આમ વાયમાં થતો ફેરફાર બે અને એક્સમાં થતો ફેરફાર ચાર માટે આપણો ઢાળ મળે એકના છેદમાં બે તેથી તેનું સમીકરણ થાય વાય બરાબર એકના છેદમાં બે એક્સ આ આપણો ઢાળ છે માઇનસ બે આમ તે થઇ ગયું ચાલો થોડા બીજા ઉદાહરણ જોઈએ અહીં થોડા સમીકરણ આપેલ છે જેમ આપણે જાણીયે છીએ કે આ વાય અંતઃખંડ છે અને આ ઢાળ છે આ એમની કિંમત અને આ બી ની કિંમત હવે તેનું આલેખન કરીયે આ પહેલી રેખા માટેજ જોઈએ અહીં વાય અંતઃખંડ પાંચ છે જયારે એક્સ બરાબર શૂન્ય ત્યારે વાય બરાબર પાંચ તમે તે સમીકરણ દ્વારા પણ ચકાસી શકો આમ જયારે એક્સ બરાબર શૂન્ય હોય ત્યારે વાય બરાબર એક બે ત્રણ ચાર પાંચ આમ આ વાય અંતઃખંડ છે અને તેનો ઢાળ બે છે એટલેકે જયારે એક્સ દિશામાં એક એકમ આગળ જઇયે ત્યારે વાય દિશામાં બે એકમ ઉપર તરફ જવું પડે એક્સ દિશામાં એક એકમ જમણી તરફ ત્યારે વાય દિશામાં બે એકમ ઉપર તરફ ફરીથી તે પ્રમાણેજ કરીયે એક્સ દિશામાં એક એકમ જમણી તરફ વાય દિશામાં બે એકમ ઉપર તરફ જો એક્સ દિશામાં એક એકમ પાછળ તરફ જઇયે તો વાય દિશામાં બે એકમ નીચે તરફ જવું પડે ફરીથી એક્સ દિશામાં એક એકમ પાછળ તરફ અને વાય દિશામાં બે એકમ નીચે તરફ આમ તેની રેખા કઈંક આ પ્રકારની મળે તેને બંને બાજુ લંબાવી શકાય આ મળી આપણી પહેલી રેખા હવે બીજી રેખા મેળવીયે વાય બરાબર માઇનસ જીરો પોઇન્ટ બે એક્સ વતા સાત અહીં લખીયે વાય બરાબર માઇનસ જીરો પોઇન્ટ બે એક્સ વતા સાત દશાંશ અપૂર્ણાંક માટે વિચારવું સરળ થઇ જાય જીરો પોઇન્ટ બે એ એક પંચમાંઉન્સ જેટલા છે આમ આપણે અહીં લખીયે વાય બરાબર માઇનસ એક પંચમાંઉન્સ એક્સ વતા સાત આપણે જાણીયે છીએ કે તેનો વાય અંતઃખંડ સાત છે માટે અહીં એક બે ત્રણ ચાર પાંચ છ સાત આમ જયારે એક્સ બરાબર શૂન્ય ત્યારે આપણો વાય અંતઃખંડ સાત થાય તેનો અર્થ છે કે એક્સની દિશામાં પાંચ એકમ જમણી તરફ જતા એક એકમ નીચે તરફ વાયની દિશામાં જવું પડે તેને માઇનસ એક પંચમાંઉન્સ તરીકે પણ જોઈ શકાય ડેલ્ટા વાય છેદમાં ડેલ્ટા એક્સ બરાબર માઇનસ એક ના છેદમાં પાંચ જમણી તરફ દર પાંચ એકમે એક એકમ નીચે તરફ જવું માટે એક બે ત્રણ ચાર પાંચ એકમ જમણી તરફ અને એક એકમ નીચે તરફ ફરીથી પાંચ એકમ જમણી તરફ એક બે ત્રણ ચાર પાંચ અને એક એકમ નીચે તરફ જો પાછળ તરફ પાંચ એકમ જઇયે તો આ કિંમતને આ રીતે પણ લખી શકાય એકના છેદમાં માઇનસ પાંચ આ બંને સમાન છે તમે પાંચ એકમ પાછળ તરફ જાઓ એટલેકે માઇનસ પાંચ એક બે ત્રણ ચાર પાંચ તો એક એકમ ઉપર તરફ ફરી પાંચ એકમ ડાબી તરફ એક બે ત્રણ ચાર પાંચ અને એક એકમ ઉપર તરફ માટે તેની રેખા કઈંક આવી મળે આને પણ બંને બાજુ લંબાવી શકાય હવે ત્રીજા સમીકરણ માટે જોઈએ વાય બરાબર માઇનસ એક્સ વાય બરાબર માઇનસ એક્સ આમાં બી વાળું પદ ક્યાં છે અહીં કોઈ બી વાળું પદ દેખાતું નથી આપણે જાણીયે છીએ કે તેનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે વાય બરાબર એમ એક્સ પ્લસ બી તમે કહો કે આમાં બી ક્યાં છે જુઓ કે બી બરાબર લખી શકાય જીરો અહીં વતા જીરો તરીકે બતાવી શકાય આમ બી બરાબર જીરો એટલેકે એક્સ બરાબર પણ જીરો વાય બરાબર પણ જીરો માટે આ આપણો વાય અંતઃખંડ થયો તે ઉગમબિંદુ પર મળે હવે ઢાળની વાત કરીયે અહીં ઋણની નિશાની છે તેને માઇનસ એક એક્સ વતા જીરો તરીકે પણ જોઈ શકાય માટે તેનો ઢાળ મળે માઇનસ એક એટલેકે જયારે એક્સમાં થતો ફેરફાર એક વાયમાં થતો ફેરફાર માઇનસ એક એક્સમાં એક એકમ જમણી તરફ વાયમાં એક એકમ નીચે તરફ ફરી તે રીતેજ કરીયે એક્સમાં એક એકમ જમણી તરફ વાયમાં એક એકમ નીચે તરફ અથવા એક્સમાં જો એક એકમ ડાબી તરફ જઇયે તો વાયમાં એક એકમ ઉપર તરફ જવું પડે એક્સ અને વાયની વિરુદ્ધ નિશાની છે તે બંને વિરુદ્ધ દિશામાં જાય છે માટે તેની રેખા કઈંક આવી દેખાય બીજા અને ચોથા ચરણને વિભાજિત કરતી રેખા વધુ એક સમીકરણ વાય બરાબર ત્રણ પોઇન્ટ પંચોતેર ફરીથી પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતાં એક્સ વાળું પદ ક્યાં છે તે અહીં છેજ નહિ માટે આ સમીકરણને આ રીતે પણ લખી શકાય વાય બરાબર જીરો એક્સ વતા ત્રણ પોઇન્ટ પંચોતેર હવે કહી શકાય કે ઢાળ શૂન્ય છે એક્સમાં ગમે તેટલો ફેરફાર કરીયે તો પણ વાયમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહિ એક્સમાં ગમે તેટલો ફેરફાર કરીયે તો પણ વાયમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહિ ડેલ્ટા વાય છેદમાં ડેલ્ટા એક્સ બરાબર જીરો અહીં વાય અંતઃખંડ ત્રણ પોઇન્ટ પંચોતેર છે જે અહીં મળે એ બે ત્રણ પોઇન્ટ પંચોતેર ત્રણ પૂર્ણાંક ત્રણ ચતુર્થાંસ એક્સમાં ફેરફાર કરવા છતાં વાયમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહિ વાયની કિંમત હંમેશા ત્રણ પોઇન્ટ પંચોતેરજ રહશે તે એક સમક્ષિતિજ રેખા સ્વરૂપે મળે જે વાય બરાબર ત્રણ પોઇન્ટ પંચોતેર માંથી પસાર થાય આશા રાખીયે કે આ સમજૂતી તમને ઉપયોગી થશે