પ્રથમ-ક્રમ પ્રક્રિયા (કલનશાસ્ત્ર સાથે)

ધારોકે આપણી પાસે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે જેમાં A નીપજમાં ફેરવાય છે સમય બરાબર T ની આગળ આપણી પાસે A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે અને પછી અમુક સમય બાદ આપણી પાસે એ સમયની બાદ A ની સાંદ્રતા છે હવે આપણે આ પ્રક્રિયાનો દર લખીયે આપણે અગાઉના પ્રક્રિયામાં જોય ગયા કે પ્રરિયાના દરને આ રીતે લખી શકાય પ્રક્રિયાનો દર બરાબર A ની સાંદ્રતામાં થતો ફેરફાર ભાગ્ય સમયમાં થતો ફેરફાર હવે પછી આપણે એની આગળ ઋણી નિશાની મુકીયે છીએ જેથી આપણે આ સંખ્યા ધન મળી શકે આપણે દરના નિયમન આધારે પણ લખી શકીયે તેના પરથી દર બરાબર દર અચળાંક K ગુણ્યાં A ની સાંદ્રતા અને આ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે તેથી અહીં ઘાટ તરીકે એક આવશે આપણે આના વિશે અગાઉના વિડીઓમાં વાત કરી હતી હવે આપણે આ બંને એક બીજાની બરાબર લખી શકીયે કારણકે આ બંને બરાબર દળ છે તેથી આપણે લખી શકીયે કે માઈનસ A ની સાંદ્રતામાં થતો ફેરફાર ભાગ્ય સમયમાં થતો ફેરફાર બરાબર દળ અચળાંક K ગુણ્યાં A ની સાંદ્રતાની એક ઘાત અહીં આ ડાબી બાજુ પ્રક્રિયાનો સરેરાશ દળ છે હવે જો આપણે તેને તાક્ષણીક પ્રક્રિયાના સંદર્ભમાં લખવા માંગતા હોયીયે તો આપણે કલંક શાસ્ત્ર વિશે વિચારી શકીયે તાક્ષણીક દર આ પ્રમાણે થશે માઈનસ dA ભાગ્ય dT સમયની સાપેક્ષે A ના દાળમાં થતો રન ફેરફાર આના બરાબર K ગુણ્યાં A ની સંદ્રતની એક ઘાત હવે આપણી પાસે વિકલ સમીકરણ છે જયારે તમે વિકલ સમીકરણને ઉકેલો ત્યારે તમને વિધય મળશે અને અહીં આપણે સમયના વિધય તરીકે સાંદ્રતા મળે હવે આપણે વિકલ સમીકરને ઉકેલવા આ ચાલને સ્વતંત્ર કરીયે માટે આ બધાજ A ને સમીકરણોના એક બાજુએ લાવીએ અને બધાજ T ને સમીકરણોની બીજી બાજુએ લાવીએ સમીકરણોની બંને બાજુએ આવડે ભાગ્યે માટે અહીં ડાબી બાજુ dA ના છેદમાં A મળે તેમજ સમીકરણોના બંને બાજુ dt વડે ગુણયે K ગુણ્યાં dt હું અહીં આ માઈનસના નિસાનીને જમણી બાજુ મુકીશ આમ મેં વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવ્યું હવે આપણે તેનો સંકલન કરી શકીયે સમીકરણોની બંને બાજુ સંકલન કરીયે ડાબી બાજુ સંકલન કરીયે અને અહીં આ K અચળાંક છે માટે હું તેને સંકલનની બહાર લખી શકું હવે આપણે ક્યાંથી ક્યાં શુદ્ધિ સંકલન કરી રહ્યા છે તે જોયીયે જો આપણે અહીં સમયને જોયીયે T બરાબર ૦ થી T બરાબર T સુધી સમય માટે સંકલન કરી રહ્યા છે અને તેવીજ રીતે જો આપણે સાંદ્રતાની વાત કરીયે તો આપણે આ પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી કોઈક T સમયના આગળની સાંદ્રતા સુધી સંકલન કરી રહ્યા છે તો હવે આપણે સંકલનની સીમાઓ લખીયે જમણી બાજુ સંકળાની સીમા T બરાબર ૦ થી T બરાબર એક આવશે અને ડાબી બાજુ સંકલનની સીમા A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી A ની અંતિમ સંદ્રત સુધી આવશે હવે બંને બાજુ પ્રતિવિકલીત ળયીયે એક ના છેદમાં A નું પ્રતિવિકલીત નેચરલ લોગ ઓફ A થશે અને પછી આપણે તેને સીમાઓ આગળ ઉકેલીશું A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી A ની અંતિમ સાંદ્રતા સુધી બરાબર dt નું સંકલિત શું થાય? તેનું સંકલિત T થશે અને પછી આપણે તેન T બરાબર ૦ થી T બરાબર એક માટે ઉકેલીશું હવે આપણે કલંક શાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીયે સમીકરની ડાબી બાજુ આપણે નેચરલ લોગ ઓફ કોઈક T સમયની આગળની સાંદ્રતા ઓછા નેચરલ લોગ ઓફપ્રારંભિક સાંદ્રતા મળે બરાબર જમણી બાજુ માઈનસ KT મળે આમ સંકલિત દાળને લખાવની એક રીત આ પ્રમાણે થશે પ્રથમ ક્રમ પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ આ થશે આ સંકલિત દરનો નિયમ છે સંકલિત દરનો નિયમ તેને દર્શાવવાની આ એક રીત છે તમે જુદી જદુઈ રીતે પણ કરી શકો જે આપણે પછીના વિડીઓમાં જોઇશુ કેટલાક પ્રાશ ઉકેલવા તમે આ સમીકરણનો પયોગ કરી શકો હવે આપણે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીને લખીયે પ્રારંભિક સાંદ્રતાના નેચરલ લોગને બંને બાજુ ઉમેરીએ માટે નેચરલ લોગ ઓફ કોઈક સમય T આગળની સાંદ્રતા બરાબર માઈનસ KT વત્તા પ્રારંભિક સાંદ્રતાનો નેચરલ લોગ હવે તેને આ પ્રમાણે લખવાનું કારણ એ છે કે તમે અહીં જોય શકો કે તે અહીં સીધી રેખા દર્શાવી રહ્યું છે તમે તેન Y બરાબર MX વત્તા B તરીકે વિચારો આપણે જાણીયે છીએ કે Y બરાબર MX વત્તા B એ સીધી રેખાનો આલેખ છે હવે જો તમે એ વિચારતા હોવ કે તેનો આલેખ દોરવા કઈ બાબત જરૂરી છે તો તમે આ નેચરલ લોગ ઓફ a ને Y અક્ષ પાર મુકો અને સમયને X અક્ષ પાર મુકો અને પછી તમે જોય શકશો કે ઢાલ બરાબર માઈનસ K છે અને તેવીજ રીતે B જે Y અંતહખંડ છે તેના બરાબર A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતાનું નેચરલ લોગ છે હવે આપણે ઝડપથી તેનો આલેખ દોરીએ તેના માટે હું અક્ષ દોરીશ આ Y અક્ષ છે અને આ X અક્ષ આપણે અહીં Y અક્ષ પર આ મુકીશુ નેચરલ લોગ ઓફ A જે કોઈક સમય T આગળ છે અને X અક્ષ પર સમય મુકીશું અને હવે આનો આલેખ સીધી રેખા મળશે આપણે તેનો આલેખ દોરીએ તો તે કૅઇક આ પ્રમાણે દેખાય અહીં આ આપનો Y અંતહખંડ છે માટે અહીં Y અંતહખંડ બરાબર A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતાનું નેવહરલ લોગ અને આ રેખાનો ઢાલ માઈનસ K થશે અહીં આ ઢાલ બરાબર માઈનસ K માટે આ રેખાનો ઢાલ બરાબર માઈનસ K તમે આ રેખાના ઢાલ પરથી દર અચળાંક શોધી શકો આમ નેચરલ લોગ ઓફ A વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ માઈનસ k સાથેની સીધી ઢાલ આપે છે