પ્રથમ-ક્રમની પ્રક્રિયાનું અર્ધ-આયુ

અહીં આપણી પાસે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દરના નિયમનો આ એક સ્વરૂપ છે હવે આપણે અર્ધ વાયુ એટલે કે હાફ લાઈફ વિશે વાત કરીશું અહીં સમીકરણની ડાબી બાજુ આપણી પાસે કોઈ પણ t સમય આ ની સાંદ્રતાનો નેચરલ લોગ છે ઓછા A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતાનો નેચરલ લોગ તેને આ પ્રમાણે પણ લખી શકાય નેચરલ લોગ ઓફ કોઈ પણ સમયે A ની સાંદ્રતા ભાગ્યા A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા મેં અહીં લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો જેના બરાબર -kt અહીં k એ દળ અચળાંક છે હવે આપણે આ નેચરલ લોગને દૂર કરવા માંગીએ છીએ તેથી બંને બાજુ e ની ઘાત લઈશું જેનાથી આ નેચરલ લોગ કેન્સલ થઇ જશે માટે આપણી પાસે સમીકરણની ડાબી બાજુ કોઈ પણ t સમયે A ની સાંદ્રતા ભાગ્યા A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા બાકી રહે બરાબર e ની -kt ઘાત હવે આપણે A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા વડે સમીકરણની બંને બાજુ ગુણાકાર કરીએ માટે કોઈ પણ t સમયે A ની સાંદ્રતા બરાબર A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા ગુણ્યાં e ની -kt ઘાત હવે તેના આલેખ વિશે વિચારવું થોડું સરળ છે આપણે A ની સાંદ્રતાને y અક્ષ પર મુકીશું અને આ સમય t ને x અક્ષ પર અને અહીં આ જે સ્વરૂપ છે તે ચાર ઘાતાંકીય ક્ષય એટલે કે એક્સપોનેન્શીઅલ ડીકેયનું છે માટે મેં અહીં નીચે ચાર ઘાતંકી ક્ષયનો આલેખ દોર્યો છે જે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાય છે હવે આપણે આલેખ પર આ બિંદુ વિશે વિચારીએ જ્યાં સમય t = 0 છે ચર ઘાતંકી ક્ષય કેવો દેખાય તે બતાવવા મેં અહીં તેનો આલેખ દોર્યો છે કંઈક આ પ્રમાણે હવે આપણે આલેખ પર આ બિંદુ વિશે વિચારીશું જયારે સમય t = 0 છે તેની સાંદ્રતા શું થાય આપણે અહીં આ સમીકરણમાં t = 0 મૂકી શકીએ માટે આપણે અહીં t = 0 મૂકીએ અને તેનાથી આપણને A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા ગુણ્યાં e ની 0 ઘાત મળશે e ની 0 ઘાત 1 થાય માટે આના બરાબર A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા આમ અહીં આ બિંદુ A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા થશે હવે તમે અહીં આલેખમાં જોઈ શકો કે જેમ જેમ સમય ઇન્ફિનિટી સુધી પહોંચે છે જેમ જેમ t ની કિંમત અનંત સુધીની કિંમતો મેળવે છે તેમ તેમ અહીં A ની સાંદ્રતા 0 થતી જાય છે જેમ જેમ તમે આગળને આગળ જતા જાઓ તેમ તેમ અહીં A ની સાંદ્રતા શૂન્યની નજીક પહોંચે અને આ ચર ઘાતંકી ક્ષયના આલેખ પાછળનો ખ્યાલ છે હવે આપણે હાફ લાઈફ એટલે કે અર્ધ આયુ વિશે વિચારીએ અહીં અર્ધ આયુની વ્યાખ્યા છે અર્ધ આયુ એટલે પ્રક્રિયકની સાંદ્રતાને તેની પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી અર્ધી થવા માટે લાગતો સમય તેથી પ્રારંભિક સાંદ્રતા હવે અર્ધી પ્રક્રિયા થઇ ગયા પછી પ્રક્રિયાકની સાંદ્રતા શું થશે આપણે અહીં પ્રારંભિક સાંદ્રતાને 2 વડે ભાગીશુ અને પછી આ સાંદ્રતાની કિંમત અહીં આપણા સમીકરણમાં મુકીશું સમીકરણ અહીં છે અને અર્ધ આયુ માટેની સંજ્ઞા કંઈક આ પ્રમાણે છે તેથી આપણે સમીકરણમાં t = આ કિંમત મુકીશું આમ જયારે t અર્ધ આયુ જેટલું હોય ત્યારે સાંદ્રતા પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી અડધી થાય તો આપણે હવે આ બંને કિંમતો મૂકીએ અને અર્ધ આયુ માટે ઉકેલીએ માટે સમીકરણની ડાબી બાજુ અહીં આપણી પાસે A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા ભાગ્યા 2 આવશે જેના બરાબર A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા ગુણ્યાં e ની -k ગુણ્યાં હવે અહીં t ની જગ્યાએ અર્ધ આયુ લખીશું કંઈક આ પ્રમાણે અહીં આપણે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ આયુ શોધવા જઇ રહ્યા છીએ અહીં સમીકરણની બંને બાજુએથી પ્રારંભિક સાંદ્રતા કેન્સલ થઇ જશે અને આપણી પાસે 1 /2 = e ની -k ગુણ્યાં t વનહાફ ઘાત બાકી રહે હવે આપણે આ e ને દૂર કરવા માંગીએ છીએ માટે સમીકરણની બંને બાજુએ નેચરલ લોગ લઇએ જેથી અહીં આ e કેન્સલ થઇ જશે અને આપણી પાસે નેચરલ લોગ ઓફ 1 /2 = -k ગુણ્યાં t વનહાફ બાકી રહે હવે આપણે અર્ધ આયુ માટે ઉકેલીશું જેને આ રીતે લખી શકાય t વનહાફ બરાબર માઇનસ નેચરલ લોગ ઓફ 1 /2 ભાગ્યા k હવે આપણે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ અને આ નેચરલ લોગ ઓફ 1 /2 શું છે તે શોધીએ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ નેચરલ log ઓફ 0 .5 અને તેના બરાબર આપણને -0 .693 મળે આપણી પાસે અહીં ઋણની નિશાની પહેલેથી જ છે માટે t વનહાફ બરાબર 0 .993 ભાગ્યા k જ્યાં k એ દર અચળાંક છે આમ આ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ આયુ છે હવે આપણે તેના વિશે વિચારીએ અહીં k અચળાંક છે અને 0 .693 એ પણ અચલ સંખ્યા જ છે માટે અર્ધ આયુ પણ અચલ થાય તમે કહી શકો કે આ અર્ધ આયુ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે તે તેના પર આધાર રાખતો નથી અર્ધ આયુની કિંમત સમાન જ રહે છે હવે આપણે એક ઉદાહરણ લઈને વિચારીએ તેના માટે આપણે આલેખને ફરીથી જોઈએ ધારો કે આપણે કોઈક પ્રારંભિક સાંદ્રતા વડે શરૂઆત કરી રહ્યા છીએ હું અહીં પ્રારંભિક સાંદ્રતાને ટપક વડે દર્શાવીશું ધારો કે મારી પાસે 8 ટપકા છે ધારો કે મારી પાસે પ્રારંભમાં 8 કણ છે હવે આપણે અહીં ત્યાં સુધી રાહ જોઈશું જ્યાં સુધી આમાંના અર્ધ પ્રક્રિયકો દૂર ન થઇ જાય ધારો કે 4 પ્રક્રિયકો દૂર થઇ ગયા છે અને હવે આપણી પાસે ફક્ત 4 કણો જ બાકી રહ્યા છે તે 4 કણ આ પ્રમાણે છે પરંતુ તે આપણા આલેખ પર ક્યાં આવશે આપણી પ્રારંભિક સાંદ્રતા અહીં છે અને આપણે ત્યાંથી અડધું જઈએ માટે તેનું અડધું અહીં આવશે હવે આપણે તેને આ આલેખ સુધી લંબાવીએ જેનાથી આપણને આ બિંદુ મળે છે ત્યાર બાદ આપણે અહીં આને x અક્ષ સુધી લંબાવીએ જેનાથી આપણને સમય મળશે ધારો કે આ 10 સેકેન્ડ આ 20 સેકેન્ડ આ 30 સેકેન્ડ આ 40 સેકેન્ડ છે આપણે આગળ જઈ શકીએ આમ આપણે અહીં જોઈ શકીએ કે પ્રક્રિયાકની સાંદ્રતા અડધી થવા માટે લાગતો સમય 10 સેકેન્ડ છે માટે પ્રથમ અર્ધ આયુ 10 સેકેન્ડ છે હું તેને અહીં લખીશ આના બરાબર 10 સેકેન્ડ આપણે હજુ તેના વિશે વિચારીએ આપણી પાસે અહીં 4 કણ છે માટે તેમના અડધાને પ્રક્રિયા કરવા કેટલો સમય લાગે જો અર્ધ પ્રક્રિયકો પ્રક્રિયા કરે તો આપણી પાસે ફક્ત બે જ કણ બાકી રહે અહીં આનું અડધું આ બિંદુ થશે ફરીથી તેને આલેખ સુધી લંબાવીએ કંઈક આ પ્રમાણે અને હવે તેને નીચે t સુધી લંબાવીએ આમ આ પ્રક્રિયાકની સાંદ્રતાને અડધી થવા માટે કેટલો સમય લાગે છે ફરીથી તેને 10 સેકેન્ડ લાગે છે અહીં આ જે સમય છે તે 10 સેકેન્ડ છે માટે અર્ધ આયુ 10 સેકેન્ડ થાય આપણે હજુ આગળ વધી શકીએ હવે આ પ્રક્રિયકોને અડધો થવા માટે કેટલો સમય લાગે છે બે કણ માંથી એક કણ પર જવા તે કેટલો સમય લેય છે તે અહીં ફરીથી 10 સેકેન્ડ લેય છે માટે અર્ધ આયુ 10 સેકેન્ડ છે આમ અહીં તમારું અર્ધ આયુ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે આપણે 8 પ્રક્રિયકોથી ચાલુ કરીએ ચાર પ્રક્રિયકોથી શરુ કરીએ કે બે પ્રક્રિયકોથી તે મહત્વનું નથી તમારું અર્ધ આયુ હંમેશા 10 સેકેન્ડ જ રહે છે અને આ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટેનું અર્ધ આયુ છે