દ્વિતીય-ક્રમ પ્રક્રિયા (કલનશાસ્ત્ર સાથે)

ધારો કે A માં આપણી પ્રક્રિયા બીજા ક્રમની છે અને પછી A નિપજમાં રૂપાંતરિત થાય છે જયારે સમય t = ૦ હોય ત્યારે આપણે A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને પછી સમય t = t આગળ આપણી પાસે તે સમય આગળની સાંદ્રતા છે જો આપણે આપણી પ્રક્રિયાનો દર દર્શાવવા માંગતા હોઈએ તો આપણે જાણીએ છીએ કે તે ઘણી બધી રીતે કરી શકાય આપણે કહી શકીએ કે દર બરાબર A ની સાંદ્રતામાં થતો ઋણ ફેરફાર ભાગ્યા સમયમાં થતો ફેરફાર આપણે આ અગાઉના વિડિઓમાં કરી ગયા છીએ અથવા જો તેને બીજી રીતે વિચારવું હોય એટલે કે તેને દરના નિયમના સંધર્ભમાં વિચારવું હોય તો R = k ગુણ્યાં A ની સાંદ્રતા અને મેં કહ્યું તે પ્રમાણે અહીં આ દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા છે માટે આ સાંદ્રતાનો વર્ગ આવશે હવે આપણે આ બંને દરને એક સમાન કરી શકીએ આપણે આ દર બરાબર આ દર લઈએ તેથી આપણી પાસે A ની સાંદ્રતામાં થતો ઋણ ફેરફાર ભાગ્યા સમયમાં થતો ફેરફાર બરાબર K ગુણ્યાં A ની સાંદ્રતાનો વર્ગ છે હવે આપણે કલન શાસ્ત્ર વિશે વિચારવાની જરૂર છે માટે હવે આને એટલે કે A માં થતો ફેરફાર ભાગ્યા t માં થતા ફેરફારને સરેરાશ દર તરીકે દર્શાવવાને બદલે આપણે તેને તત્ક્ષણિક દર તરીકે વિચારી શકીએ માટે સમયની સાપેક્ષમાં A ની સાંદ્રતામાં થતો ફેરફારનો દર જેને આ પ્રમાણે લખી શકાય -dA - d A ની સાંદ્રતા ભાગ્યા dt સમયની સાપેક્ષમાં A ની સાંદ્રતામાં થતો ફેરફાર દર અને આના બરાબર K ગુણ્યાં A ની સાંદ્રતાનો વર્ગ હવે આપણી પાસે વિકલ સમીકરણ છે હવે આપણે આ વિકલ સમીકરણને ઉકેલી શકીએ અને વિધેય મેળવી શકીએ પરંતુ આ વિકલ સમીકરણને ઉકેલવા માટે આપણે સૌ પ્રથમ આ ચલને જુદા પાડવા પડશે આપણે બધા જ A ને સમીકરણની એક બાજુએ અને બધા t ને સમીકરણની બીજી બાજુએ મુકવા પડશે તેથી આપણે સમીકરણની બંને બાજુ આ 1 ના વર્ગ વડે ભાગીએ -d A ભાગ્યા A ની સાંદ્રતાનો વર્ગ અને પછી સમીકરણની બંને બાજુ dt વડે ગુણીએ બરાબર kdt હવે આપણે સંકલન લેવા તૈયાર છે પરંતુ તે પહેલા આને થોડું ગોઠવીને લખીએ માઇનસ A ની સાંદ્રતાની -2 ઘાત જેથી સંકલન લેવું સરળ થઇ જાય d A બરાબર આપણી પાસે હજુ પણ જાણી બાજુ kdt છે હવે આપણે સંકલન લેવા તૈયાર છીએ સમીકરણની બંને બાજુએ સંકલન લઈએ અહીં આ k અચળાંક છે માટે તેને સંકલનની બહાર લખી શકાય હવે આપણે ક્યાંથી ક્યાં સુધી સંકલન કરી રહ્યા છીએ તે યાદ કરી લઈએ આપણે t = 0 થી t = t સુધી સંકલન લઇ રહ્યા છીએ અને જો આપણે સાંદ્રતાની વાત કરીએ તો આપણે પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સમય t આગળની સાંદ્રતા જઈએ છીએ તો હવે આ બધી કિંમત અહીં મૂકીએ t = 0 થી t = t સુધી અને અહીં પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સમય t આગળની સાંદ્રતા સુધી હવે આપણી પાસે અહીં ડાબી બાજુએ શું છે આપણે તેને x ની -2 ઘાત dx તરીકે વિચારી શકીએ માટે આપણે સંકલિતમાં x ની -2 ઘાત dx છે તેથી જો આપણે A ની -2 ઘાતનું પ્રતિ વીકલીત લઈએ તો આપણને અહીં A ની સાંદ્રતાની -1 ઘાત મળે અને પછી છેદમાં -1 ઘાત આપણી પાસે હજુ પણ આ માઇનસની નિશાની છે માટે આપણે તેને અહીં આગળ લખી શકીએ ત્યાર બાદ આપણે આને ઉકેલ્યું પરંતુ સૌ પ્રથમ હું આને ફરીથી લખીશ 1 ની -1 ઘાતને 1 ના છેદમાં આ રીતે પણ લખી શકાય અને આ માઇનસ માઇનસ + થઇ જશે A ની -1 ઘાત બરાબર 1 ના છેદમાં A ની સાંદ્રતા હવે આપણે તેને બંને સીમા આગળ ઉકેલી શકીએ સૌ પ્રથમ તેને t પાસેની સાંદ્રતા આગળ ઉકેલીએ અને પછી તેમાંથી પ્રારંભિક સાંદ્રતા આગળ ઉકેલીને બાદ કરીએ અને પછી સમીકરણની જમણી બાજુ આપણી પાસે ફક્ત સંકલિતમાં dt છે જેના બરાબર t થાય માટે kt અને પછી આપણે તેને t બરાબર t આગળ અને 0 આગળ ઉકેલીશું હવે આપણે કલન શાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું અને આપણી પાસે અહીં જે છે તેની કિંમત મુકીશું સૌ પ્રથમ સમીકરણની ડાબી બાજુ જોઈએ તો આપણી પાસે 1 ના છેદમાં સમય t આગળની A ની સાંદ્રતા ઓછા 1 /A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે અને પછી સમીકરણની જમણી બાજુ ફક્ત kt આવશે આમ અહીં આપણી પાસે બીજા ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત દરનો નિયમ છે અહીં આ સંકલિત દરનો નિયમ છે કેટલાક લોકો તેને સંકલિત દરનો સમીકરણ પણ કહે છે તમે તેને કઈ રીતે વિચારો છો તે મહત્વનું નથી મહત્વનું એ છે કે આ ખુબ જ ઉપયોગી છે કારણ કે આપણે તેને ફરીથી ગોઠવી શકીએ આપણે અહીં 1 ના છેદમાં પ્રારંભિક સાંદ્રતાને જમણી બાજુ લઇ શકીએ તેથી આપણને 1 ના છેદમાં સમય t આગળની A ની સાંદ્રતા = kt + 1 ના છેદમાં A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા મળે અને હવે તમને આ ખુબ જ પરિચિત હોય એવું લાગશે કારણ કે અહીં આ સીધી રેખાનું સમીકરણ છે આપણે જોઈ શકીએ કે તે y = mx + b સ્વરૂપનું છે તેથી જો હવે તમે x અક્ષ પર સમય વિરુદ્ધ y અક્ષ પર 1 ના છેદમાં સમય t આગળ A ની સાંદ્રતાનો આલેખ દોરું તો તમને સીધી રેખા મળશે અને પછી તે રેખાનો ઢાળ જે m છે તેના બરાબર દર અચળાંક k થાય અને y અંતઃ ખંડ જે b છે અને 1 ના છેદમાં A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા થાય તો ઝડપથી આપણે આ આલેખ દોરીએ હું અહીં ઝડપથી મારા અક્ષ દોરીશ મારી પાસે આ પ્રમાણેના અક્ષ છે x અક્ષ પર t લખીએ અને y અક્ષ પર 1 ના છેદમાં A ની સાંદ્રતા લખીએ યાદ રાખો કે આ પ્રક્રિયા દ્વિતીય ક્રમની છે અને તેનો આલેખ આપણને સીધી રેખા મેળવી જોઈએ તેનો આલેખ કંઈક આ પ્રમાણે આવશે અહીં આ રેખાનો ઢાળ k આવશે જે દર અચળાંક છે તે આપણે અહીં જોઈ ગયા રેખાનો ઢાળ બરાબર દર અચળાંક અને આ આલેખનો y અંતઃ ખંડ અહીં આવશે જે આ છે 1 / A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા માટે અહીં આ 1 ના છેદમાં A ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે આમ અહીં આ દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ અથવા દરનું સમીકરણ છે