મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેન વિતરણ

આપણે મેક્સવેલ બોલ્ટઝમેન વિતરણ વિશે વાત કરીશું અને અહીં આ જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેનું ચિત્ર છે તેમની સાથે તેમના પત્ની છે અને આ કદાચ તેમનો કૂતરો છે જેમ્સ ક્લાર્ક ખુબ જ પ્રખ્યાત ભૌતિક શાસ્ત્રી હતા તેઓ મેક્સવેલના સમીકરણ માટે જાણીતા છે તેમને કલર ફોટોગ્રાફી માટે પણ મહત્વનું કાર્ય કર્યું અને હવાના કણોની અથવા આદર્શ વાયુના કણોની ઝડપનું વિતરણ શું છે તેઓ એ વિચારમાં પણ સામેલ હતા અને અહીં આ લુડવિંગ બોલ્ટઝમેન છે તેમને આંકડાકીય યંત્ર વિજ્ઞાનના જનકો માના એક ગણાવામાં આવૅ છે હવે અહીં મેક્સવેલ બોલ્ટઝમેન વિતરણ માટે તેઓ એ એક સાથે કામ કર્યું નહિ પરંતુ તેઓ સ્વતંત્ર રીતે કામ કર્યું અને એક સમાન વિતરણ મેળવ્યું તેઓએ દર્શાવ્યું કે હવાના કણની ઝડપનું વિતરણ શું છે એક નાનો પ્રયોગ કરીએ ધારો કે મારી પાસે એક કન્ટેનર છે આ પ્રમાણે ધારો કે મારી પાસે એક પાત્ર છે અને તેમાં હવા ભરેલી છે હવા મૉટે ભાગે નાઇટ્રોજનની બનેલી હોય છે માટે સરતલા ખાતર હું ફક્ત અહીં નાઇટ્રોજન દર્શાવીશું આપણે અહીં કેટલાક નાઇટ્રોજનના અણુઓ લઈએ ત્યાર બાદ આપણે તેમાં એક થર્મોમીટર મુકીશું આ પ્રમાણે અને આ થર્મોમીટર 300 કેલ્વિનનો માપન કરે છે તે 300 કેલ્વિન દર્શાવે છે હવે આ 300 કેલ્વિન તાપમાનનો અર્થ શું થાય રોજિંદા જીવનમાં આપણે તાપમાનનો અનુભવ કરીએ છીએ જો આપણે કોઈ ગરમ વસ્તુને અડકીએ તો કદાચ આપણી ચામડી બાલી જશે અને આપણે કોઈ ઠંડી વસ્તુને અડકીએ તો તે તમને ઠંડી લાગશે આમ આપણું મગજ આ રીતે તાપમાનનો અનુભવ કરે છે પરંતુ જો આપણે આણ્વીય સ્તરે વિચારીએ તો અહીં શું થઇ રહ્યું છે તાપમાન વિશે વિચારવાની એક રીત આ પ્રમાણે છે તાપમાન એ તંત્રમા રહેલા અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે તાપમાન એ સરેરાશ ગતિ ઉર્જાના સમ પ્રમાણમાં હોય છે તે તંત્રની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે તેને થોડું વધુ સારી રીતે સમજીએ ધારો કે મારી પાસે બે કન્ટેનર છે ધારો કે મારી પાસે બે પાત્ર છે આ એક કન્ટેનર અને આ બીજું કન્ટેનર મારી પાસે બે પાત્ર છે અને હું તે બંને પાત્રમાં નાઇટ્રોજનના અણુઓની સંખ્યા સમાન લઈશ આપણે નાઇટ્રોજનના દસ અણુઓ લઈશું વાસ્તવમાં ત્યાં ઘણા અણુઓ હશે પરંતુ સરળતા ખાતર આપણે 10 અણુઓ લઈએ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 તેવી જ રીતે અહીં 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 આમ નાઇટ્રોજનના 10 અણુઓ ધારો કે આ તંત્રનું તાપમાન 300 કેલ્વિન છે અને આ તંત્રનું તાપમાન 200 કેલ્વિન છે હવે અહીં આ અણુઓ શું કરી રહ્યા છે જો તેના વિશે વિચારીએ તો આ બધા જ અણુઓ ગતિ કરશે તેઓ એક બીજાની સાથે અથડામણ અનુભવશે બધા જ અણુઓ એક સાથે ગતિ કરશે નહિ બધા જ અણુઓ એક બીજાની સાથે મળીને ગતિ કરશે નહિ આ તંત્રની શરેરાશ ગતિ ઉર્જા વધારે હશે ધારો કે આ અણુ આ દિશામાં ગતિ કરે છે તેનો વેગ આ થશે ત્યાર બાદ આનો વેગ આ છે આનો વેગ આ થશે અહીં આ એટલી બધી ગતિ કરતો નથી આ ઝડપથી ગતિ કરે છે ત્યાર બાદ આ આ દિશામાં ગતિ કરશે આ ખુબ જ ઝડપથી ગતિ કરે છે તે આ પ્રમાણે ગતિ કરશે અને આનો વેગ આ થશે હવેઆ તંત્રની સરખામણી આ તંત્ર સાથે કરીએ ધારો કે અહીં આ અણુ આ તંત્રના બધા જ અણુઓ કરતા ખુબ જ ઝડપથી જાય છે પરંતુ આ આખા તંત્રની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા આ તંત્ર કરતા ઓછી હશે આ અણુ કદાચ આ દિશામાં ગતિ કરે આ અણુનો વેગ આ પ્રમાણે હશે આનો વેગ આ પ્રમાણે હશે આ અણુ આ દિશામાં ગતિ કરે આબધા જ અણુઓ ની ગતિ આ બધા અણુઓની સરખામણીમાં ધીમી હશે એવું નથી અથવા આ બધા જ અણુઓની ગતિ ઉર્જા આ બધા અણુઓની સરખામણીમાં ઓછી હશે એવું પણ નથી પરંતુ આ તંત્રની શરેરાશ ગતિ ઉર્જા આ તંત્ર કરતા ઓછી હશે અને આપણે આ વિતરણને દોરી પણ શકીએ અને તે મેકવેલ બોલ્ટઝમેન વિતરણ છે એટલે કે મેક્સવેલ બોલ્ટઝમેન ડીટીબ્યુશન હવે તેના માટે હું યામ સમતલ દોરીશ અહીં આ યામ સમતલ છે આ પ્રમાણે હું આ અક્ષ પર ઝડપ લઈશ અને y અક્ષ પર અણુઓની સંખ્યા લઈશ y અક્ષ પર અણુઓની સંખ્યા હવે અહીં આ 300 કેલ્વિનના તાપમાન માટે વિતરણ કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે અહીં વિતરણ કંઈક આ પ્રકારનું દેખાશે આપણે અહીં બધા જ અણુઓ માટે દોરી રહયા છીએ તે કંઈક આ પ્રકારનું દેખાય અને તે આ તંત્ર માટે મેક્સવેલ બોલનટઝમેન વિતરણ છે આપણે આ તંત્રને A કહીશું અહીં તંત્ર A માટે ત્યાર બાદ અહીં આ તંત્ર માટે આપણે વિતરણ દર્શાવીએ જેનું તાપમાન ઓછું છે જેનો અર્થ એવો થાય કે તેની શરેરાશ ગતિ ઉર્જા પણ ઓછી છે આપણે આ તંત્રને B કહીએ ઓછી ઝડપે તેની પાસે અણુઓની સંખ્યા મહત્તમ હશે ધારો કે તેની ઝડપ અહીં લઈએ માટે આ વિતરણ આ ડિસ્ટિબ્યુશન કંઈક આ પ્રકારનું દેખાય આપણે અહીં તંત્ર B માટે દોરી રહયા છીએ તે કંઈક આ પ્રકારનું દેખાશે અહીં આ તંત્ર B માટે છે હવે તંર B માટે હું જે ઝડપે મહત્તમ અણુઓ મેળવું છું તે ઝડપ તંત્ર Aની ઝડપ કરતા ઓછી હશે તંત્ર A માટે હું અહીં મહત્તમ અણુઓ મેળવું છું કારણ કે જો સરેરાશ લઈએ તો તંત્ર B પાસે ઓછી ગતિ ઉર્જા છે માટે તેની પાસે ઓછી ઝડપ હશે પરંતુ આ ઊંચું શા માટે છે જો તમને યાદ હોય તો આપણે અહીં અણુઓની સંખ્યા સમાન લઇ રહ્યા છીએ હવે જો અણુઓની સંખ્યા સમાન હોયતો વર્કની નીચેનો વિસ્તાર બંને તંત્ર માટે સમાન થવો જોઈએ માટે જો આ સાંકળુ હોય તો તે ઊંચું થવું જોઈએ હવે જો હું કોઈક રીતે આ તંત્રનું તાપમાન વધારું હું કોઈ ત્રીજું તંત્ર બનવું અથવા આ તત્રનું તાપમાન 400 કેલ્વિન જેટલું વધારું તો તેનું વિતરણ કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે તે તંત્રનું વિતરણ કંઈક આ પ્રમાણે જોવા મળશે અહીં મેં તાપમાન વધાર્યું છે મેં તેનું તાપમાન 400 કેલ્વિન કર્યું છે અને આ મેક્સવેલ બોલ્ટઝ મેન વિતરણ છે હું તમને તેનું સમીકરણ આપીશ નહિ પરંતુ તે શું છે તેનું ફક્ત વિચાર આપીશ હવે જો તમે તમારી આસપાસ હવા હોવા છતાં આમાંના કેટલાક અણુઓની સાચી ઝડપ વિશે વિચારો તમે કહેશો કે મારી આજુ બાજુની હવા મને સ્થિર લાગી રહી છે હવે મૉટે ભાગે નાઇટ્રોજન અણુઓની બનેલી હોય છે આપણે અત્યારે કોઈ પણ એક યાદૃચ્છિક નાઇટ્રોજનનો અણુ લઈએ અને તેની સાચી ઝડપ વિશે વિચારીએ ઓરડાના તાપમાને નાઇટ્રોજનની શક્ય ઝડપ નાઇટ્રોજનની સૌથી શક્ય ઝડપ આપણે અહીં ધારીએ કે આપણે આ જે મેક્સવેલ બોટ્સમેનનું વિતરણ કર્યું છે તે ઓરડાના તાપમાને છે અહીં આ વિતરણ ઓરડાના તાપમાને છે અને ઓરડાનું તાપમાન 300 કેલ્વિન છે હવે તેની સૌથી શક્ય ઝડપ જ્યાં આપણને અણુઓની સંખ્યા મહત્તમ મળે છે હું ઇચ્છુ છું કે હું તમને તે ઝડપ કહું તે પહેલા તમે તેનું અનુમાન લગાવો ઓરડાના તાપમાને તેની અંદાજિત ઝડપ 422 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ હોય છે અંદાજિત ઝડપ 422 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ હોય છે કંઈક એવીવસ્તુનું અનુમાન કરો જે એક સેકન્ડમાં 422 મીટર જેટલું અંતર કાપતી હોય અને જો તમે તેને માઇલ્સ પ્રતિ કલાકમાં વિચારો તો તે લગભગ 944 માઇલ્સ પ્રતિ કલાક થશે તમે વિચારો કે તમારી આસપાસ રહેલા નાઇટ્રોજના મહત્તમ અણુઓની ઝડપ આટલી હશે તે તમારી સાથે અથડાઈ રહ્યા હશે અને તેથી જ તમને હવાનું દબાણ મળશે ખરેખર તો ટાઇટ્રોજનના અણુઓ આના કરતા વધારે ઝડપથી ગતિ કરે છે તેઓ તમારી આસપાસ 422 મીટર પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપ કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે તેઓ લગભગ આ બધા કણો તમારી આસપાસ 1 હાજર માઇલ્સ પ્રતિ કલાક કરતા પણ વધારે ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યા છે અને આપણે કહ્યું તે પ્રમાણે તેનો તમારી સાથે અથડાઈ રહ્યા છે હવે તમને એવું થશે કે તેનાથી તમને નુકશાન શા માટે થતું નથી આ નાઇટ્રોજન અણુઓ અણુ દળ ખુબ જ નાનું હોય છે તેઓ તમારી સાથે 1 હાજર માઇલ્સ પ્રતિ કલાક કરતા વધુ ઝડપથી અથડાય છે તો પણ તમે તેનો અનુભવ કરતા નથી તમને ફક્ત તમારી આસપાસ હવા ના દબાણ જેવું લાગે છે હવે જયારે તમે આ સંખ્યાને પ્રથમવાર જોશો ત્યારે તમને થશે કે 422 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ તે ઘ્વનિની ઝડપ કરતા પણ વધારે છે ધ્વનિની ઝડપ 340 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ હોય છે તેઓ કઈ રીતે બની શકે તમે તેના વિશે વિચારો હવામાં કણોની અથડામણને કારણે ઘ્વનિનું પ્રસરણ થાય છે માટે હવાના કણોની ઝડપ ઘ્વનિની ઝડપ કરતા વધારે હોવી જોઈએ માટે બધા જ કણો આટલી ઝડપે ગતિ કરતા હશે એવું જરૂરી નથી અને કણો જુદી જુદી દિશામાં ગતિ કરે છે તેમાંના કેટલાક કદાચ કોઈ પણ ગતિ ન પણ કરતા હોય પરંતુ કેટલાક અણુઓ ખુબ જ ઝડપથી ગતિ કરે છે.