If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

વક્ર સપાટી વક્રીભવન સૂત્ર

વક્ર સપાટી આગળ થતા વક્રીભવન માટે વસ્તુ અંતર (u) અને પ્રતિબિંબ અંતર (v) ને જોડતા સૂત્રને તારવીએ. Mahesh Shenoy દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

અત્યાર સુધી આપણે સમતલ સપાટી વડે થતા વક્રીભવન વિશે વાત કરી. હવે આપણે ગોળીય સપાટી વડે થતા વક્રીભવન વિશે વાત કરીશું. તે આપણને લેન્સના ગુણધર્મને સમજવામાં મદદ કરશે કારણ કે લેન્સની સપાટી પણ વક્ર હોય છે.ધારો કે આપણી પાસે અહીં કોઈક પ્રકારનું માધ્યમ છે ધારો કે આ મધ્યમનો વક્રીભવનાંક n2 છે અને અહીં આ સીમા એ તેની વક્રસપાટી છે તે ગોળીય સપાટી છે તે ગોળામાંથી બનાવવામાં આવી છે તે ગોળાને જ એક ભાગ છે. તે ગોળાનું વક્રતાકેન્દ્ર અહીં છે આ વક્રતાકેન્દ્રમાંથી મુખ્ય અક્ષ દોરવામાં આવ્યું છે અને આ ગોળીય સપાટી જે બિંદુ આગળ મુખ્ય અક્ષને છેદે છે તે બિંદુને આપણે ધ્રુવ કહીશું.આપણે અહીં એ ધારી લઈએ કે આ બહારનું માધ્યમ જુદું છે તેથી તેનું વક્રીભવનાંક જુદો હશે ધારો કે તેનો વક્રીભવનાક n1 છે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે જો હું અહીં કોઈક જગ્યાએ વસ્તુ મૂકું તો વક્રીભવન થયા બાદ તે વસ્તુનું પ્રતિબિંબ ક્યા મળે? આપણે આ વીડિયોમાં તે જ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીશું ધારોકે મેં પદાર્થને અહીં મૂક્યો છે.object હવે તેનો પ્રતિબિંબ ક્યાં મળશે તે શોધવા આપણે કિરણ આકૃતિ દોરીશું માટે આ સપાટી તરફ આ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કેટલાક કિરણો દોરીએ.પ્રકાશનું એક કિરણ મુખ્ય અક્ષ પર જ પસાર થશે.આ પ્રમાણે અને તેનું વક્રીભવન થશે નહિ કારણકે તે આ ગોળિય સપાટીને લંબ છે અહીં આપાતકોણનું મૂલ્ય 0 છે તેથી તેનું વક્રીભવન થશે નહીં અને આ,આ જ પ્રમાણે આવે એવું આપણે કઈ રીતે જાણી શકીએ? યાદ રાખો કે વક્રતાકેન્દ્રમાંથી પસાર થતુ પ્રકાશનું કોઈપણ કિરણ હંમેશા સપાટીને લંબ હોય છે અહીં જુઓ કે આ કિરણ વક્રતાકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે માટે તેનું વક્રીભવન થશે નહિ કારણ કે તે આ ગોળિય સપાટીને લંબ છે હવે આ વસ્તુનું પ્રતિબિંબ ક્યાં રચાય તે જોવા આપણે પ્રકાશનું બીજું કિરણ દોરવું પડશે આપણે પ્રકાશનું બીજું કિરણ કંઈક આ પ્રમાણે લઈએ આ રીતે હવે અહીં આ સપાટી આગળ આ પ્રકાશના કિરણનું વક્રીભવન થશે તે વાંકુ વળશે તે પ્રકાશનું કિરણ કેટલું વાંકુ વળે છે તે શોધવા આપણે અહીં આ બિંદુ આગળ લંબ દોરવું પડશે અને ફરીથી તે બિંદુ આગળ દોરેલો લંબ વક્રતાકેન્દ્રમાંથી પસાર થવો જોઈએ.માટે તે કઈંક આ પ્રમાણે આવશે. આપણે અહીં ધારી લઈએ કે આ મધ્યમ આ માધ્યમની સરખામણીમાં વધારે ઘટ્ટ છે તેથી પ્રકાશનું કિરણ લંબ તરફ વાંકુ વળશે અને તે કેટલું વાંકુ વળે છે તે આ માધ્યમ આ માધ્યમ કરતા કેટલું ઘટ્ટ છે તેના પર આધાર રાખે આપણે એવું ધારી લઇએ કે આ માધ્યમ એટલું ઘટ છે જેથી પ્રકાશના આ બંને કિરણો આ જગ્યાએ ભેગા થાય છે અહીં આ જગ્યાએ પ્રકાશનું કિરણ વાંકુ વળે છે આ રીતે અને તે લંબની નજીક જાય છે.તેથી આપણે અહીં ધારી લઈએ કે n2 એ n1 કરતા મોટો છે અને તે એટલો મોટો છે જેથી પ્રકાશનું કિરણ આટલું વળી શકે અને આ બંને પ્રકાશના કિરણો આ બિંદુ આગળ ભેગા થાય જેથી આપણને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મળે આપણને અહીં આ બિંદુ આગળ પ્રતિબિંબ મળશે હવે પછીનો મારો પ્રશ્ન એ છે કે જો આપણે વસ્તુ અંતર જાણતા હોઈએ તો શું આપણે પ્રતિબિંબ અંતર શોધી શકીએ તે કોના ઉપર આધાર રાખશે? તો આપણે તે શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ પરંતુ આપણે તે કઈ રીતે કરી શકીએ?આપણે ક્યાંથી શરૂઆત કરવી જોઈએ? જયારે વક્રીભવન એટલે કે રિફરેક્શનની વાત આવે ત્યારે આપણે ફક્ત એક જ બાબત જાણીએ છીએ અને તે સ્નેલનો નિયમ છે તો આપણે સ્નેલના નિયમથી શરૂઆત કરીશું.સ્નેલનો નિયમ આપાતકોણ અને વક્રીભવનકોણને એકબીજા સાથે સંબંધિત કરે છે આપણે અહીં આ બિંદુ આગળ સ્નેલના નિયમોનો ઉપયોગ કરીશું. તે બિંદુને m કહીએ અહીં આ આપાતકિરણ છે અને આ લંબ છે તેથી તેમની વચ્ચે રચાતા ખૂણાને આપાતકોણ i કહીએ અહીં આ વક્રીભૂત કિરણ છે અને આ લંબ છે માટે તેમની વચ્ચે રચાતા ખૂણાને વક્રીભવન કોણ r કહીએ હવે સ્નેલના નિયમ પ્રમાણે n1 ગુણ્યા sin of i બરાબર n2 ગુણ્યાં sin of r હવે આપણે અહીં એક ધારણા કરીશું આપણે એ ધારણ કરીશું કે આ બિંદુ m એ ધ્રુવની ખૂબ જ નજીક છે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો આ બંને વચ્ચેનું અંતર જેને આપણે mp કહીશું તે અંતર વક્રતા ત્રિજીયાની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું છે અહીં pc એ વક્રતા ત્રિજ્યા થશે માટે mp એ pc ની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું છે એ કરવાનું કારણ શું છે જો આ બિંદુ mp ની ખુબ જ નજીક આવી જાય ધારો કે તે અહીં હોય તો આપાતકિરણ અહીં આવશે અને તેના કારણે આપાતકોણનું મૂલ્ય ઘણું નાનું થશે અને તેનો અર્થ એ થાય કે આ ખૂણામાં r નું મૂલ્ય પણ ખૂબ જ નાનું થશે તેથી આપણે અહીં આપણે નાના ખૂણા માટેના અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકીએ અને આ બધું જ કરવાનું કારણ એ છે કે તેનાથી આપણી ગણતરી સરળ બનશે અને જો આપણે નાના ખૂણાના અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ તો sin theta બરાબર લગભગ theta લઇ શકીએ માટે n1 ગુણ્યા sin i એ ફક્ત i થશે બરાબર n2 ગુણ્યા sin r એ ફક્ત r થશે. અહીં આ આ ધારણા પરથી આવે છે હવે આપણે શું કરી શકીએ? યાદ રાખો કે આપણે અહીં વસ્તુ અંતર અને પ્રતિબિંબ અંતરને સંબંધિત કરવાની જરૂર છે માટે આપણે તે બંનેને આ સમીકરણમા લાવવા પડશે તો હવે પછીનો પ્રશ્ન એ થશે કે i r અને આ બંને અંતર વચ્ચેનો સંબંધ શું છે? આપણે તેમની વચ્ચે કોઇ સીધો સંબંધ જોઈ શકતા નથી પરંતુ જો આપણે અહીં કેટલાક નવા ખૂણાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.અહીં આ ખૂણાને a કહીએ,અહીં આ ખૂણાને b કહીએ અનેઅહીં આ ખૂણાને c કહીએ મેં આ ખૂણાઓ કેમ લીધા તે તમને થોડીવારમાં સમજાઈ જશે પરંતુ જો આપણે આ ત્રણ નવા ખૂણાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો આપણે આ સમીકરણમાં વસ્તુ અંતર અને પ્રતિબિંબ અંતરને લાવી શકીએ.કઈ રીતે? તે જોઈએ. સૌપ્રથમ આપણે i અને r ને a b અને c સાથે સાંકળી શકીએ તેના માટે આપણે ત્રિકોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ જેથી આપણે a b અને c ને આ સમીકરણમાં લાવી શકીશું અને જો આપણે એમ કરી લીધું તો પછી આપણે આ ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરીને આ લંબાઈને આ સમીકરણમાં લાવી શકીએ. શું તમે ખૂણો i અને ખૂણો a અને ખૂણો b વચ્ચેનો સંબંધ જોઈ શકો? વિડીયો અટકાવો અને તેના વિશે વિચારો તમે અહીં આ જે મોટો ત્રિકોણ દેખાય છે તેને જુઓ.ખૂણો i એ બહિષ્કોણ છે તેમજ ખૂણો a અને b એ અંતઃકોણ છે અને તમે શીખી ગયા છો કે અંતઃકોણનો સરવાળો એ બહિષ્કોણના સરવાળાને સમાન થાય તેથી i બરાબર a + b થશે.n1 ગુણ્યાં આપણે અહીં i ની જગ્યાએ a + b લખી શકીએ આ પ્રમાણે તેના બરાબર n2 ગુણ્યા r હવે હું ઇચ્છું છું કે તમે વિડિયો અટકાવો અને r તેમજ b અને c વચ્ચેના સંબંધ વિશે વિચારો હવે તમે અહીં આ ત્રિકોણને જુઓ.r અને c અંતઃકોણ છે માટે r + c r + c = b થવું જોઈએ. તેથી r = b - c આને આપણે તે અહીં લખીએ.n2 ગુણ્યાં b - c હવે આપણે અહીં ધાર્યુ છે કે આ mp ઘણું નાનું છે તેથી આપણે તેને આ વક્ર પર સમતલ સપાટી તરીકે લઇ શકીએ હવે આપણે આ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીશું અને આ નેનો ખૂણો એ શું થાય એ શોધીશું માટે n1 ગુણ્યાં હવે આ ખૂણો a શું થાય? જો તમે અહીં આ ત્રિકોણને જોશો તો આપણે તેને tangent of a તરીકે લઇ શકીએ અને tan બરાબર શું થાય? તેના બરાબર સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુ અહીં સામેની બાજુ mp છે માટે mp અને પાસેની બાજુ op છે. અને ભાગ્યાં પાસેની બાજુ op + હવે આ ખૂણો b બરાબર શું થાય? તમે અહીં કયો ત્રિકોણ લેશો?હું ઈચ્છું છું કે તમે વિડિયો અટકાવો b અને c નું મૂલ્ય શું થાય? તે શોધો. ફરીથી આપણે અહીં આ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લઇશું અને tangent of b બરાબર સામેની બાજુ જે mp છે છેદમાં પાસેની બાજુ અહીં પાસેની બાજુ pc થાય છે જે વક્રતા ત્રિજ્યા છે બરાબર n2 ગુણ્યા b જે ફરીથી mpના છેદમાં pc થશે ઓછા હવે આ ખૂણો c શું થાય? હવે આપણે આ મોટા ત્રિકોણને જોઈશું અને tangent of c બરાબર સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુ mp ના છેદમાં અહીં પાસેની બાજુ છે પાસેની બાજુ એ પ્રતિબિંબ અંતર થશે pi હવે જો તમે આ સમીકરણને ધ્યાનથી જુઓ તો આપણી પાસે વસ્તુ અંતર અને પ્રતિબિંબ અંતર વચ્ચેનો સંબંધ છે આપણે ફક્ત તેને સાદું રૂપ આપવાની જરૂર છે સૌપ્રથમ આ બાજુથી mp ને સામાન્ય લઈએ તેવી જ રીતે આ બાજુથી પણ mp ને સામાન્ય લઈ અને પછી બંને બાજુ mp વડે ભાગીએ તો આ બધા જ mp કેન્સલ થઈ જશે હવે આપણને અહીં વ્યાપક સૂત્ર નથી જોઈતું આપણને આ પરિસ્થિતિ માટે સૂત્ર જોઈએ છે. આપણે અહીં ધાયું છે કે આપાતકિરણ કેટલું વાંકુ વળે છે જેથી તે કિરણ આ બિંદુ આગળ ભેગું થઇ શકે.કારણકે જો આપાતકિરણ આટલા પ્રમાણમાં વાંકુ વળશે તો હવે આ કિરણ અહીં પાછળથી આવતા હોય એવું લાગે અને તેના માટે બીજું સૂત્ર આવશે જો આપણે એવું ધારીએ કે આ વક્ર અરીસો આ પ્રમાણે મૂક્યો છે તો પણ તે જુદી પરિસ્થિતિ થશે અને તેના માટે પણ જુદું સૂત્ર આવે પરંતુ આપણે તેના વિશે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી કારણકે આપણે સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કઈ રીતે કરી શકાય તે જાણીએ છીએ આપણે અરીસામાં સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી ગયા હતા જો આપણે અહીં યોગ્ય સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ અને પછી તેની કિંમત અહીં મૂકીએ તો આપણને વ્યાપક સૂત્ર મળશે આપણે અગાઉ જે સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો અહીં પણ તે જ રીતે કરીશું. આપણે આ ધ્રુવને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈશું અને આપાતકિરણની દિશાને ધન લઈશું માટે ધ્રુવની જમણી બાજુના સ્થાન ધન થશે અને ધ્રુવની ડાબીબાજુના સ્થાન ઋણ થશે તો આપણે હવે આ બધાની કિંમત મૂકીએ n1 n1 ગુણ્યાં 1 ના છેદમાં op op એ વસ્તુઅંતર છે અને તમે અહીં જોઈ શકો કે વસ્તુ અંતર ડાબીબાજુએ છે અને તે minus આવશે.- u +1 ના છેદમાં pc pc એ વક્રતા ત્રિજીયા છે c એ ધ્રુવની જમણી બાજુએ છે માટે વક્રતા ત્રિજ્યા ધન આવે.આપણે તેને r વળે દર્શાવીશું બરાબર n2 ગુણ્યા n2 ગુણ્યા 1 ના છેદમાં pc જે ફરીથી 1 ના છેદમાં r થશે ઓછા 1 ના છેદમાં pi અહીં pi એ ધ્રુવની જમણી બાજુએ છે તેથી તે ધન આવશે અને pi ને આપણે પ્રતિબિંબ અંતર કહીએ છીએ માટે 1 ના છેદમાં v હવે આપણે આ સમીકરણને સાદુંરૂપ આપીએ આપણે અહીં તે નીચે કરીશું અહીં n1 નું વિભાજન કરીએ - n1 ના છેદમાં u + n1 ના છેદમાં r બરાબર n2 ના છેદમાં r. n2 નું વિભાજન કરીએ - n2 ના છેદમાં v હવે આપણે u અને v વાળા પદને સમીકરણની એકબાજુએ લાવીશું અને r વાળા પદને સમીકરણની બીજી બાજુએ લાવીશું સમીકરણની બંને બાજુએ n2 ભાગ્યાં v ઉમેરીએ તેથી n2 ના છેદમાં v ઓછા n1 ના છેદમાં u બરાબર બંને બાજુથી n1 ના છેદમાં r ને બાદ કરીએ n2 - n1 આંખના છેદમાં r અને આ સૂત્ર ગોળીય સપાટી આગળ થતાં વક્રીભવન માટે કોઈ પણ પરિસ્થિતિમાં કામ કરશે અને તેના આધારે પ્રશ્નને ઉકેલવા તમે આ સૂત્રને યાદ રાખી શકો હવે હું આ સૂત્રને કઈ રીતે યાદ રાખો છું તે બતાવીશ હવે અહીં n2 n2 એ એવા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે જે વક્રીભૂત કિરણનો સમાવેશ કરે છે અહીં આ વક્રીભૂત કિરણ છે અને પછી તેનો ભાગાકાર આપણે v સાથે કરીએ છે તેથી આપણે તેને વક્રીભૂત માધ્યમ તરીકે યાદ રાખીશું માટે વક્રીભૂત માધ્યમ ભાગ્યાં પ્રતિબિંબ અંતર - n1 અહીં n1 એ એવાં માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે જે આપતાકિરણનો સમાવેશ કરે છે માટે આપણે તેને આપાત માધ્યમ તરીકે યાદ રાખીશું અને આપાત માધ્યમ ક્યાંથી આવે છે? તે વસ્તુ અંતર પરથી આવે છે માટે આપાતમાધ્યમના છેદમાં વસ્તુઅંતર.હું તેને આ પ્રમાણે યાદ રાખું છું.વક્રીભૂત માધ્યમના છેદમાં પ્રતિબિંબ અંતર ઓછા આપાતમાધ્યમના છેદમાં વસ્તુ અંતર બરાબર આ બંનેની બાદબાકી.n2 - n1 અહીં ક્રમ ઘણો જ મહત્વનો છે અને પછી તેનો ભાગાકાર વક્રતાત્રિજીયા સાથે.