If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

ક્રોસ ગુણાકાર 1

ક્રોસ ગુણાકારનો પરિચય. સલ ખાન દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આપણે આ વિડીઓમાં ક્રોસ ગુણાકાર એટલકે ક્રોસ પ્રોડક્ટ વિશે સાંજ મેળવીશું આપણે સદિશોના સરવાળા અને સદિશોના બાદબાકી વિશે જાણીયાએ છીએ પરન્ત જો સદિશોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે તો શું થાય તેમને ગુળવની બે રીતો છે ક્રોશ ગુણાકાર અને ડોટ ગુણકારી હવે ક્રોશ ગુણાકાર વિશે વાત કરીયે હવે ધારોકે મારી પાસે બે સાડીશ છે સાડીશ A ક્રોસ સાડીશ B અને અહીં આ નિશાની સાથે પરિચિત જ છો ગુણાકાર કરવું માટે વપરાય છે એલજેબ્રા સિખાતા પહેલા તમે આ નિશાની વિશે શિકખી ગયા છો તે અંગ્રેજી લેટર X જેવી છે સાડીશ A અને B નો ક્રોશ ગુણાકાર બરાબર સાડીશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સાડીશ B નું મૂલ્ય ગુણ્યાં તે બંને વચ્ચેના ખૂણાનું સાઈન તે બંને વચ્ચેના સૌથી નાના ખૂણાનું સાઈન હવે અહીં આ રસી ફક્ત અડીશ રસી થશે નહિ તેની પાસે ફક્ત મૂલ્ય જ નથી તેની પાસે દિશા પણ છે અને તેની દિશા સાડીશ N વડે દર્શાવવામા આવે છે એકમ સાડીશ N તેથી હું અહીં તેના ઉપર એક હેત મુકીશ અહીં આ એકમ, સદિશ છે હવે આ સદિશ N વડે દર્શાવતી દિશા માટે અમુક બાબતો ખાસ છે કે એ છે કે આ સદિશ N એ આ બંને સદિશોને લંબ હોય છે તેનો અર્થ શું થાય તે આપણે થોડીક વર્મા આકૃતિની મદતથી સમજીશું અને બીજી બાબત એ છે કે આ સદિશની દિશાને જમાના હાથના નિયમ વડે દર્શાવામાં આવે આપણે તે પણ જોયાંશુ હવે આપણે આકૃતિની મદતથી સમજીયે પરંતુ અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે જયારે તમે ત્રિ પરિમાણમાં કામ કરતા હોવ ત્યારે જ તમે ક્રોશ ગુણાકાર લઈ શકો કદાચ બીજા પરિમાણમાં તમે તેને વખ્યાયિત કરી શકો પરંતુ આપણે જયારે ત્રિ પરિમાનામ કામ કરતા હોયીયે ત્યારે તે ઉપયોગી છે અને તે ઉપયોગી છે કારણકે આપણે ત્રિ પરિમાણ્વીય દુનિયામાં રહીયે છીએ હવે આપણે ક્રોસ ગુણાકાર માટેના કેટલાક ઉદાહરણ જોઈએ અને જયારે તમે તેને આકૃતિની મદતથી સમજશો ત્યારે તમને વધુ કહ્યા આવશે ખાસ કરીને તમે જમાના હાથના નિયમ વડે પરિચિત થાવ ત્યારે ધારોકે આ સદિશ B છે અહીં આ સદિશ B છે અને આ સદિશ A છે અહીં આ સદિશ A છે અને આપણે તેમની વચ્ચેનો ક્રોશ ગુણાકાર શોધવા માંગીયે છીએ અને તે બંનેના વચ્ચેનો ખૂણો થિટા છે ધારોકે અહીં સદિશ A નું મૂલ્ય ૫ છે અને સદિશ B નું મૂલ્ય ૧૦ છે તો હાઈ તેનો ક્રોશ ગુણાકાર શું થશે અહીં મૂલ્ય વાળો ભાગ સરળ છે ધારોકે હું તેમના વચ્ચેના ખુંણાઉં માપ ૩૦ ડિગ્રી છે આપણે તેને રેડિયમમાં પણ લખી શકીયે ડિગ્રી સાથે કામ કરવું ખુબજ સરળ છે પરંતુ જો તમે રેડિયમના સંદર્ભમાં વિચારો તો તે પૅઈના છેદમાં ૬ રેડિયમ થશે પૅઈના બાય ૬ રેડિયમ માટે હવે આ બંને સાડીશનો ક્રોસ ગુણાકાર સદિશ A ક્રોસ સદિશ B શું થાય તેના બરાબર સદિશ A નું મૂલ્ય અથવા સદિશ A ની લંબાઈ જે ૫ છે ગુણ્યાં સદિશ B ની લમબેઈ જે ૧૦ છે ગુણ્યાં તે બંને વચ્ચેના ખૂણાનું સાઈન તમે આ બંને વચ્ચેનો સૌથી મોટો ખૂણો પણ લઈ શકો જે અહીં આ કિસ્સામાં ગુરુકોણ થશે પરંતુ મેં તમને પહેલા કહ્યું તે પ્રમાણે આપણે તે બંને વચ્ચેનો સૌથી નનનો ખૂણો લઈશું એટલકે લખું કોણ લઈશું જેનું મૂલ્ય ૯૦ ડિગ્રી જેટલું હોય છે તેથી ગુણ્યાં સાઈન ઓફ ૩૦ ડિગ્રી ગુણ્યાં એકમાં સદિશ N આપણે ડોકી જ વારં આ એકમ સદિશ N ની દિશા જોયાસુ પરંતુ તે પહેલા આ બધાં મૂલ્ય સોધયીયે હવે સાઈન ઓફ ૩૦ ડિગ્રી શું થાય તેના બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ થશે જો તમને તે યાદ ન હોય તો તમે કેલ્કુલીટરનો ઉપયોગ કરી શકો માટે આ બરાબર ૫ ગુણ્યાં ૧૦ ગનુન્ય ૧ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં એકમસાડીશ N માટે તેના બરાબર ૨૫ ગુણ્યાં એકમ સદિશ N થશે હવે આ એકમ સદિશ કઈ દિશા દર્શાવે મેં અગાઉ કહ્યું તે પ્રમે એકમ સદિશ આ બંને સદિશોને લંબ હોય છે તેથી આ બંને સદિશોને લંબ કેવી રીતે હોય શકે હું અહીં આ પ્રમાણે લંબ દોરી શકું નહિ મારી પાસે અહીં ફક્ત A અને B છે તેથી હું B પરિમાનામ કામ કરી રહી છું પરંતુ જો મારી પાસે ત્રિ પરિમાણ હોય કંઈક એવું જે તમારા રાઈટિંગ પેડની અંદર થતા બહાર જાય શકે અથવા તમારા સંદર્ભે તામર કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીની અંદર થતા બહાર જાય શકે તો પછી તમારી પાસે એવો સદિશ હશે જે બંને સદિશોને લંબ હશે માટે હી આ બિંદુ આગળ કે એવો સદિશ ધારો જે સીધો જ આ બિંદુની અંદર જાય છે અથવા આ બિંદીમાથી બહાર આવે છે જો હું એક વર્તુળ દોરું અને તેની અંદર ક્રોસ દોરું તો તેનો અર્થ એ થાય કે મરી પાસે કે એવો સદિશ છે જે તમારા પગેની અંદર અથવા તે તમારા કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીની અંદર જાય છે અને જો હું આ પ્રમાણે દોરું મારી પાસે કે વર્તુળ હોય અને તેની અંદર એક નાનું બિંદુ હોય તો અહીં આ સદિશ તમારી સ્ક્રીનમાંથી બહાર આવે છે તો આ નિશાનીઓ ક્યાંથી આવી આ નિશાનીઓ એરોની ટોચ પરથી આવે છે એરૂ આવાજ દેખય છે એર્રો જે સદિશ સાડીશને દર્શાવવા માટે વપરાય છે ધારોકે અહીં આ એરૂ આ પ્રમાણે દેખાશે આ વર્તુળાકાર ભાગ છે અને આ પછી તે આની ટોચ પર જો તમે અહીં આ વર્તુળ પરના બિંદુના ટોચ પર જુવો તો તે તમને આ પ્રમાણેનું દેખાશે પછી એરોની નીચેનું ભાગ કેવો દેખાશે તે કંઈક આ ર્તીનો દેખાશે કંઈક આ પ્રમાણે અને તેથી જો તમેકોઈ એરૂ લો તેને પાનની અંદર લઈ જવો તો તેની પાછળનો ભાગ કંઈક આ પ્રમાણેનો દેખાશે માટે આ સદિશ પાનની અંદર જશે અને આ સદિશ પાનામાંથી બહાર આવશે અને હવે આપણે જાણીયે છીએ કે આ એકમ સદિશ N એ સદિશ A અને સદિશ B બંન્ને લંબ છે હવે આ બંને સાડીશને લંબ હોય એવો સદિશ એક જ રીતે મેળવી શકાય જો તે સદિશ તમારા કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીન સમતાલને લંબ હોય તો પરંતુ અહીં આ એકમ સદિશ N સ્ક્રીનની અંદર જાય છે કે સ્ક્રીનમાંથી બહાર આવે છે તે આપણે કઈ રીતે નક્કી કરી શકીયે છીએ અને તેના માટેજ જેમાં હાથના નિયમ માટે ઉપયોગ થાય છે હું જાણું છું કે તમે કદાચ ગુંચવાય ગયા હોશો પરન્ત આપણે આના પર આધારિત ઘણા બધા મહાવરા કરીશું તમે તમારા જમાનો હાથ લો અને તેથી જ તેને જમાના હાથના નિયમ કહે છે અને પછી ક્રોશ ગુણાકારમાંના પ્રાતઃમ સાડીશન દિશામાં માટે હવે તમે તમારી તર્જની લો અને તેને પ્રથમ એર્રોની દિશામા મુકો જે સદિશ A છે અને પછી તમારી વચલી આંગળીને તમારી માધ્યમને સદિશ B ની દુષમ દર્શાવો અહીં આ પરિસ્થિતિમાં તમારો હાથ કંઈક આ પ્રમાણેનો દેખાશે આ મારો જમાનો હાથ છે અહીં અંગુઠો કંઈક આ પ્રમાણે આવશે આ મારી તર્જની છે જે સદિશ A ની દિશામા છે તેની દિશા લગભગ આ પ્રમાણેની આવશે અને પછી મારી વચલી આગની માધ્યમ સદિશ B નિંદિશં છે મેં અહીં L આકાર બનાવ્યો છે અને પછી તમારો અંગુઠો જે દિશામાં આવશે તે એકમ સદિશ N ની દિશા થાય અહીં આ ઉદાહરણમાં તમારો અંગુઠો કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીની અંદર જતો હોય એમ લાગે છે અહીં તમારો અંગુઠો પગેની અંદર જાય છે તેથી આ ઉદાહરણમાં એકમ સદિશ N પગેની અંદર જશે આમ અહીં આ ઉઅદહરણમાં એકમ સદિશ N નું મૂલ્ય ૨૫ છે અને તેની દિશા પેગની અંદરની તરફ અય છે માટે આપણે અહીં આ પ્રમાણે દર્શાવી શકીયે હવે જો હું તેને ત્રિ પરિમાણમાં દોરું તો તે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે જો અહીં એકમ સદિશ સીધોજ નીચેની દિશામા જતો હોય આ પ્રમાણે જો આ એકમ સદિશ N N ની દિશા હોય તો અહીં સદિશ આતો અહીં સદિશ A કંઈક આ પ્રમાણેનું આવશે આ સદિશ A છે અને સદિશ B કંઈક આ પ્રમાણે આવશે હું અહીં દ્વિ પરિમાનામ ત્રિ પરિમાણને દોરવાનો પ્રયત્ન કરી રહી છું તેથી તે ધોડુંક અલગ દેખાશે મેં અહીં A અને B ને એક જ સામાટલાં લીધા અને પછી સદિશ N નીચેની તરફ જાય છે આમ આ ક્રોસ ગુણાકારની વ્યાખ્યા છે હવે પછીના વિડીઓમાં આપણે ક્રોસ ગુણાકારના વધારે દાખલ ગણીશું જેથી તમને તેની વધુ સમાજ પડે