ચરઘાતાંકીય ક્ષય સૂત્રની સાબિતી (કલનશાસ્ત્રનો સમાવેશ, સ્કિપ કરી શકો)

જયારે આપણે સમયમાં થતા વધારા સાથે કામ કરી રહ્યં હોયીયે જે અર્ધ આયુના ગુણિત છે ત્યારે અર્ધ આયુ એટલેકે હાલ્ફ લાઈફ ખુબજ જરૂરી છે ઉદાહરણ તરીકે જયારે T બરાબર ૦ હોય ત્યારે આપણી પાસે પદાર્થ ૧૦૦ ટકા છે જયારે T બરાબર ૧ અર્ધ આવ્યું હોય ત્યારે આપણી પાસે પદાર્થ ૫૦ ટકા છે જયારે સમય T બરાબર ૨ અર્ધ આયુનો હોય ત્યારે આપણી પાસે પદાર્થ ૨૫ ટકા છે આપણે આ પ્રમાણે આગળ ને આગળ વધી શ્કીયે જો આપણે કાર્બનની વાત કરીયે તો તેનું અર્થ આવ્યું ૧૫૦ ૦ વર્ષ છે માટે ૩ અર્ધ આવ્યું પછી આપણી પાસે હજુ પણ કાર્બનનો કેટલા ટકા જથ્થો બાકી રહશે તે હું તમને જણાવી શકું જો આપણે કાર્બન ૧૪ ની વાત કરીયે તો ૩ અર્ધ આવ્યું પછી આપણ પાસે કાર્બન ૧૪ કેટલા ટકા જથ્થો બાકી રહે તે હું તમને જણાવી શકું એવો જથ્થો જે નાઈટ્રોજન ૧૪માં ફેરવાયો નથી પરંતુ હું એમ જવાના માંગુ કે અધદ વર્ષ પછી અથવા અધદ અર્થ આવ્યું પછી અથવ ૩ મિનિટ પછી અથવ ૩ બિલિયન વર્ષ પછી મારી પાસે કેટલું કાર્બન બાકી રહે તો જો મને અહીં સામાન્ય વિધાય જોયતું હોય તો જે અહીં સમાન્યન વિધાય તરીકે છે હે મને અહીં આ વિધાય ક્ષય પામી રહેલા સમયનો જથ્થો આપશે આપણે આ વિડીઓમાં તેજ જોયાંશુ આપણે તેના માટે કલામ સત્રનો ઉપયોગ કરીશું હવે સરેરાશ દર અથવ સંભાવના અથવા આપેલા કોઈ પણ સમેયે આપેલા કણોની બદલાતી સંખ્યા વિશે વિચારીયે કણીની સનાખ્યમાં થતો ફેફરા ભાગ્ય સમય થતો ફેરફાર અને આ કોનપર આધાર રાખે અહીં આપેલા કોઈ પણ સમેયે કણની સંખ્યા છે અને આ ફેફરનો દર છે આપણે એક બાબત જાણીયે છીએ કે અહીં આ ફેરફારનો દર ઘટી રહ્યો છે માટે આ સંખ્યા ઋણ થશે અહીં જે તત્વનો ક્ષય થાય રહ્યો છે તેનો જથ્થો આપણી પાસે જે મુભૂત ટાટાવા છે તેના સમપ્રમાણમાં છે પરંતુ આ સમપ્રમાણ ઋણ થશે હું તમને એક ઉદાહરણ આપીને સમજવું જે તત્વમાં ક્ષય પામી રહ્યો છે તેનો જથ્થો આપણે જે તત્વ સાથે કામ કરી રહ્યં હેચીયે તેના સમ્પ્રમાણાં છે તમે આ પરિસ્થહિતી વિશે વિચારો જેં તમારી પાસે એક ગુણ્યાં ૧૦ ની ૯ ઘાત જેટલા કાર્બન પરમાણુઓ છે અને અહીં તમારી પાસે ૧ ગુણ્યાં ૧૦ ની ૬ ઘાત જેટલા કાર્બનના પરમાણુઓ છે હવે તમે આ બંને પરિસ્થિતિને ખુબજ ઓછા સમય માટે જોય રહ્યં છો ધારોકે તે સમય એક સેકન્ડ છે તેના બરાબર DT થાય અહીં DT એ અતિ કશૂક્ષ્મ સમય છે પરંતુ તે સમયમાં થતો ફેરફાર છે જેને આપણે ડેલ્ટા T કહીયે છીએ ધારોકે તમે આ નમૂનાઓ એક સેકનડ માટે નિરીક્ષકરો છો તો તમે અહીં કરબનં ૧૦૦૦ પરમાણુઓ જુવો છો વાસ્તવમાં કાર્બન ૧૪ સાથે આવું થશે નહિ પરંતુ તમને સમાજ પડી જશે તમે પ્રતિ સેકન્ડ અહીં કરબનં ૧૦૦૦ કાં જુવો છો અને અહીં આ નમુનામાં કણોની સંખ્યામાં ૧૦૦૦ હજારમાઓ ભાગ છે આમ અહીં તમે જે દરેક ૧૦૦૦ કાને ક્ષય જોય રહ્યાં છો તમે અહીં પ્રતિ સેકન્ડ ફક્ત એક કાર્બનનો પરમાણુ જોશો કારણકે અહીં કાર્બનની સનાખ્ય ઓછી છે આપણે જે તત્વ માટે કામ કરી રહ્યં છીએ આપણે આ અચલનક તે તત્વ પાર આધાર રાખે કાર્બન એ યુરેનિયમ કરતા જુદું છે અને તે રેડોન કરતા જુદું હશે તે બધાજ માટે આ અચળાંકની સંખ્યા જુદી જદુઈ હોય છે અને આપણે તેને જોય શકીયે આપણે પછીના વિડીઓમાં જોયાંશુ કે તમે ખરે ખાર આ અચળાંકને અર્થ આવ્યું પરથી ગણી શકો પરંતુ ફરફરનો દર હંમેશા તમારી પાસે જે કણોની સનાખ્ય છે તેના પાર આધાર રાખે આપણે તે અહીં અર્ધ આવ્યું સાથે જોય ગયા જયારે તમારા પાસે કણોની સંખ્યા અધાડી હોય ત્યારે તમે કેટલાક કણોની સંખ્યા ગુમાવો છો જો આપણે ૧૦૦ જેટલા કણથી સરુવાત કરીયે તો ત્યાર બાદ આપણી પાસે ૫૦ કણ બાકી રહે અને પછી ૨૫ કણ બાકી રહે જો આપણે ૫૦ત થી સરુવાત કરીયે તો આપણે ૨૫ જેટલા કણને ગુમાવીયે છીએ જો આપણે ૧૦૦ થી સરુવાત કરીયે તો આપણે ૫૦ જેટલા કણને ગુમાવીયે છીએ આમ તમે જેટલો જથ્થો ગુમાવો છો એ તમે કાયા જથ્થાથી સરુવાત કરો છો તેના પર આધાર રાખે હવે તમે અહીં જોય શકો કે મેં અહીં આ જે લખ્યું છે તે વિકલ સમીકરણ છે આપણે ખુબજ સરળ રીતનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરને ઉકેલી શકીયે આ વિયોજનીય વીકલીત સમીકરણ છે આપણે ફક્ત આ બંને ચાલને આગળ કરવાના છે તો આપણે શું કરી શ્કીયે આપણે બધાજ N ને એક બાજુએ લાવીશું અને આ બધાજ T ને બીજી બાજુએ લાવીશું સમીકરણોની બંને બાજુ N વડે ભાગીયે માટે ૧ ના છેદમાં N ગુણ્યાં DN ના છેદમાં DT બરાબર માઈનસ લેમાળ હવે આપણે સમીકરની બંને બાજુએ DT વડે ગુણીયે માટે ૧ ના છેદમાં N ગુણ્યાં DN બરાબર માઈનસ લેમલા DT હવે સમીકરની બંને બાજુએ સંકલિત લાય શકાય હું અહીં બંને બાજુએ અનિયત સંકલિત લાય રહી છું તો ડાબી બાજુનું પ્રતિવિકલીત શું થાય ૧ ના છેદમાં N નું પ્રતિવિકલીત શું થાય તેના બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ N થાય માટે નેચરલ લોગ ઓફ N વત્તા કોઈક અચલ બરાબર હવે આ બાજુનો પ્રતિવિકલીત શું થશે અચલનો પ્રતિવિકલીત આપણે જે ચલણી સાપેક્ષમ પ્રતિવિકલીત થાય રહ્યાં હ્ચે તેજ થાય માઈનસ લેમલા T વતત C અહીં આ બંને અચળાંક જુદા જુદા છે પરંતુ તે યાદક્ષિત છે આપણે આ અચલનકાને બંને બાજુએથી બાદ કરીયે જેનાથી આપણે ત્રીજો અચળાંક મળશે હું તેને અહીં લખીશ નેચરલ લોગ ઓફ N બરાબર માઈનસ લેમલા T અને આપણે તે અચળાંકને C3 કહોંશૂ હવે જો તમે આ N ને T ના વિધાય તરીકે લખવા માંગતા હોય તો સમીકરની બંને બાજુને T ની ઘાત તરીકે લઈએ માટે અપને T ની બંને બાજુને T ની ઘાત તરીકે લઈએ આ પ્રમાણે તમે તેને ઈન્વર્સ લોગ તરીકે પણ જોય શકાયો હવે E ની નેચરલ લોગ ઓફ N ઘાત શું થાય અહીં N મેળવવા તમે E ની કેટલી ઘાત લેવી પડે તમારે E ની આટલી ઘાત લેવી પડે આના બરાબર N આના બરાબર E ની માઈનસ લેમલા T વત્તા C ઠરી ઘાત તેને ફરીથી આપ્રમાણે લખી શકાય N આના બરાબર E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત ગુણ્ય E C3 ઘાત ફરીથી અહીં આ અચળાંક છે અને આપણે આ અચળાંકને C4 લખીયે આમ આ વિકલ સમીકરણો ઉકેલ T ના વિધાય તરીકે કણોની સનાખ્ય બરાબર અચળાંક C4 ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત ધારોકે T બરાબર ૦ આગળ આપણી પાસે પદાર્થનો જથ્થો N0 છે આપણે આટલા જથ્થાથી સરુવાત કરીયે છીએ હવે આની કિંમત આ સમીકરણમાં મુકીયે અને આ C4 માટે ઉકેલી N સબ ૦ અહીં આ સમીકરણમાં T બરાબર ૦ લઈએ બરાબર N0 બરાબર C4 ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા ગુણ્યાં ૦ ઘાત ૦ ગુણ્યાં કંઈક પણ ૦ જ થશે માટે E ની ૦ ઘાત અને E ની ૦ ઘાત બરાબર ૧ થાય આમ સિ૪બરાબર N0 આપણે જે જથ્થાથી સરુવાત કરી હતી તે આમ આપણે આપેલું સમીકરણ મળી ગયું આમ કણોની સનાખ્ય જે સમયનો વિધાય છે તેના બરાબર N0 આપણે જે જથ્થાથી સરુવાત કરી હતી તે E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત આપણે અહીં એ ધ્યાન રાખવું પડશે કે જયારે આપણે જુદા જદુએ સહગુણોકોં માટે ઉકેલીએ ત્યારે હંમેશા સમયના અચળાંકનો ઉપયોગ કરીયે છીએ હવે આને અર્ધ આવ્યું સાથે કઈ રીતે સંબંધિત કરી શકાય આપણે કાર્બન માટેનું સમીકરણ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીયે જો આપણી પાસે રેડિયો એક્ટિવ ક્ષય થતો હોય તો અહીં આ સમીકરણ કોઈ પણ માટે સાચું છે જો તે ચાલ ઘાતંકી વૃત્તિ હોય તો અહીં વત્તાની નિશાની આવે ધારોકે અહીં કાર્બન ૧૪ છે કાર્બન ૧૪ અને આપણે જાણીયે છીએ કે તેનું અર્ધ આયુ તેનું અર્ધ આયુ ૫૭૦૦ વસ્ર જેટલું છે હવે આપણે ૧૦૦ જેલતા કાર્બનના જથ્થાથી સરુવાત કરીયે એકમ તમે કોઈ પણ લઈ શકો માટે N ઓફ 0 અરાબર ૧૦૦ જયારે T બરાબર ૦ હશે ત્યારે આપણી પાસે કાર્બનનો જથ્થો ૧૦૦ જેટલો છે હવે અર્ધ આયુ પછી એટલકે T બરાબર ૫૭૦૦ લઈએ બરાબર તો ત્યાર બાદ આપણી પાસે કેટલું કાર્બન બાકી રહે અહીં T વર્ષમાં છે આપણી પાસે ૫૦ જેટલો જથ્થો બાકી રહે તમે અહીં X અને આને X ના છેદમાં ૨ તરીકે પણ લખી શકો હવે તમે આ સમીકરણ માટે લાગુ પાડીયે અને લેમાળને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરીયે આપણે જાણીયે છીએ કે N ઓફ ૦ બરાબર ૧૦૦ છે તેથી આપણે આ સમીકરને આ રીતે લખી શકીયે N ઓફ T બરાબર ૧૦૦ ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત અને આપણે એ પણ જાણીયે છીએ કે જયારે T બરાબર ૫૭૦૦ વર્ષ હોય તો જયારે આપણે જે જથ્થથી સરુવાત કરી હતી તે જથ્થો અધાડો થશે એટલકે આન બરાબર ૫૦ અને આના બરાબર ૧૦૦ ગુણ્ય E ની માઈનસ લેમલા ગુણ્યાં ૫૭૦૦ ઘાત મેં અહીં T ની જગ્યાએ ૫૭૦૦ વર્ષ મૂક્યું હવે આપણે લેમલા માટે ઉકેલી જેથી આપણે કોઈક પણ ક્ષણે કાર્બનનો જથ્થો શોધી શકીયે હવે આપણે લેમ માટે ઉકેલવા બંને બાજુ ૧૦૦ વડે ભાગીયે જેથી આપણે ૧ નચ્છેદમાં ૨ મળે બરાબર E ની માઈનસ ૫૭૦૦ લેમલા ઘાત બંને બાજુ નેચરલ લો ગલેએ માટે નેચરલ લોગ ઓફ ૧ના છેદમાં ૨ બરાબર માઈનસ ૫૭૦૦ લેમલા તેથી લેમલા અરાબર નેચરલ લોગ ઓફ ૧ ના છેદમાં ૨ ભગ્ય માઈનસ ૫૭૦૦ આ પ્રમાણે તેના માટે આપણે કેલ્કુલીટરનો ઉપયોગ કરીશું ૧ના છેદમાં બે જે ૦.૫ થશે ત્યાર બાદ તેનું નેચરલ લોગ જે કંઈક આ થાય ભાગ્ય માઈનસ ૫૭૦૦ આ પ્રમાણે અને તેથી આપણે તેનો જવાબ ૧.૨૧ ગુણ્યાં ૧૦ ની માઈનસ ૪ ઘાત મળે લેમલા બરાબર ૧.૨૧ ગુણ્યાં ૧૦ ની માઈનસ ૪ ઘાત આમ આપણે લેમલા શોધી લખ્યો આમ આપણે આપેલા કોઈ પણ સકહય T આગળ જ્યાં T વર્ષમાં છે કાર્બન ૧૪ નો જથ્થો કેટલો મળે એટના માટેનું સમીકરણ આ પ્રમાણે છે N ઓફ T બરાબર કોઈ પણ ક્ષણે કણોની સંખ્યા N0 આપણે કરબનં જે જથ્થાથી સરુવાત કરીયે શહીયે તે ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા જે ૧.૨૧ ગુણ્યાં ૧૦ ની માઈનસ ૪ ઘાત ગુણ્યાં T T એ વર્ષમાં છે હવે જો તમે મને એમ પૂછો કે અરધા વર્ષ પછી કાર્બનનો જથ્થો કેટલો બાકી રહે તો તમે અહીં T ની જાગ્યો અધાળું વર્ષ મુકો અને તમે જે કાર્બનના જથ્થાથી સરુવાત કરી છે તે કહો તેથી હું તમને અધદ વર્ષ પછી કબર્નનો કેટલો જાતથી બાકી રહે તે જણાવીશ અને આપણે આવ પ્રકારના ઘણા પ્રશ્નો પછીના વિડીઓમાં જોઆયશુ