ચરઘાતાંકીય ક્ષયના પ્રશ્નોને ઉકેલવા

આપણે આ વિડીઓમાં ઝડપથી ચરઘાતાંકી વૃદ્ધિ એટલકે એક્સપોનેસલ ગ્રોથનું પુનરાવર્તન કરીશું અને આછી તેનો ઉપયોગ કરીને ચરઘાતાંકી ક્ષય એટલેકે એક્સપોનેસલ ડીકેયનો પરિચય મેળવીશું ચરઘાતાંકી વૃત્તિનું પુનરાવર્તન કરીયે તેના માટે હું અહીં એક ટેબલ દોરીશ આ પ્રમાણે ધારોકે આ X છે અને આ Y છે જયારે X બરાબર ૦ હોય ત્યારે Y બરાબર ૩ છે હવે જયારે હું x ની કિંમત 1 જેટલી વધારો ત્યારે Y ની કિંમત બમણી થાય જયારે X બરાબર ૧ હોય ત્યારે Y ની કિંમત બમણી થશે Y ની કિંમત ૬ થાય જો આપણે X ની કિંમત પરીથી ૧ જેટલી વધારીએ તો અહીં Y ની કિંમત ફરીથી બમણી થશે ૬ ગુણ્યાં ૨ બરાબર ૧૨ અહીં આ ચરઘાતાંકી વૃત્તિ છે તમે X ની કિંમત ઋણ પણ લાય સજકો જયારે X બરાબર માઈનસ ૧ હોય જયારે આપણે તેને ૧ જેટલું ઘટાડીયે ત્યારે આપણે અહીં ૨ વડે ભાગાકાર કરીશું એટલકે Y બરાબર ૩ ના છેદમાં ૨ થાય જયારે આપણે X ની કિંમત 1 જેટલી વધારીએ ત્યારે Y ની કિંમત બમણી થાય છે અને આ પ્રમાણે આગળ ને આગળ વધી શકાય તમે આને સમીકરણની મદતથી પણ દર્શાવી શકો તમે કહી શકો કે Y બરાબર અને ઘણી વાર લોકો તેને Y અન્તઃઘંદ કહે છે અથવા Y ની પ્રારંભિત કિંમત કહે છે બરાબર ૩ જયારે X બરાબર ૦ હોય ત્યારે ૩ ગુણ્યાં સામાન્ય ગુણોત્તર આપણે દરેક વખતે ૨ વડે ગુણી રહ્યા છીએ માટે સામાન્ય ગુણોત્તર ૨ થાય અને તેની X ઘાત તમે અ સમીકરણનને ચકાસી પણ શકો જયારે X બરાબર ૨ હોય ત્યારે Y બરાબર ૩ ગુણ્યાં ૨ નો વર્ગ થશે જે ૩ ગુણ્યાં ૪ થાય અને તેના બરાબર ખરેખર ૧૨ થાય અને આપણે તેને આલેખ વડે પણ દર્શાવી શકીયે આપણે ઝડપથી અહીં આલેખ દોરીશું અહીં આ મારા અક્ષ છે અહીં આ Y અક્ષ છે અને આ X અક્ષ આ માઈનસ ૧ છે આ ૧ અને આ ૨ હવે આ Y અક્ષ પાર ૧૨ સુધીની કિંમત જોયીયે છે ૩,૬,૯ અને આ ૧૨ મેં તે સ્કેલ પ્રમાણે દોર્યું નથી પરંતુ તમને તે સમજાય જશે હવે આપણે આલેખ પાર આ બધા બિંદુઓ દર્શાવીએ જયરાએ X બરાબર માઈનસ ૧ હોય ત્યારે Y બરાબર ૩ ના છેદમાં ૨ જે અહીં આવશે જયારે X બરાબર ૦ ત્યારે Y બરાબર ૩ જયારે X બરાબર ૧ ત્યારે Y બરાબર ૬ જયારે X બરાબર ૨ ત્યારે Y બરાબર ૧૨ અને જો આપણે આ બધા જ બિંદુઓને ભેગા કરીયે તો આપનો વક્ર આ પ્રમાણે દેખાય આપનો આલેખ કંઈક આ પ્રમાણે દેખાય જો આપણે X ની કિંમત વધારતા જઈએ તો આપણને X અક્ષાની તરફ અનંત સ્પશક મળશે જેમે જેમ તમે X ની વધુ ને વધુ કિંમત લેતા જાસો ત્યારે તે ૦ ની નજીક ને નજીક વધતું જશે પરંતુ તે ૦ ક્યારે બનશે નહિ અને જેમે જેમ તમે X ની કિંમત ધન લેશો તેમે તેમ તે વધારે ને ધન કિંમતો પ્રાપ્ત કરશે હવે આપણે તેની સરખામણી ચરઘાતાંકીય ક્ષય સાથે કરીયે માટે ચરઘાતાંકીય ક્ષય અથવા એક્સપોનેસલ ડીકેય તેના વિશે વિચારવાની એક સરન રીત આ પ્રમાણે છે જેમે જેમ તમે X ની કિંમતમાં વધારો કરો તેમે તેમ Y ની કિંમત વધવાને બદલે તે ચોક્કસ સંખ્યાથી ઘટશે તેના માટે આપણે ફરીથી એક ટેબલ દોરીશું આ X છે અને આ Y આપણે તેજ સમાન કિંમતથી સરુવાત કરીયે જયારે X બરાબર ૦ હોય ત્યારે Y બરાબર ૩ છે પરંતુ જયારે X ની કિંમત ૧ જેટલી વધારીએ ત્યારે Y ની કિંમત બમણી થવાને બદલે આપણે અહીં એવું ધારીએ કે અહીં X ની કિંમત ૧ જેટલી વધે છે ત્યારે Y ની કિંમત અધાડી થાય છે જયારે X બરાબર ૧ હોય ત્યારે આપણે ૧ ના છેદમાં ૨ વડે ગુણાકાર કરીશું તેથી આપણે ૩ ના છેદમાં ૨ મળે જયારે X બરાબર ૨ હોય ત્યારે આપણે ફરીથી ૧ ના છેદમાં ૨ વડે ગુણાકાર કરીશું જેથી આપને ૩ ના છેદમાં ૪ મળે આપણે અહીં ઋણ કિંમતો પણ લઈ શકીયે જયારે X બરાબર માઈનસ ૧ હોય ત્યારે આપણે અહીં ૧ ન છેદમાં ૨ વડે ભાગાકાર કરીશું જેનાથી આપણે ૬ મળે અથવા જયારે આપણે ૧ જેટલું વધારીએ ત્યારે આપણે ૧ ના છેદમાં ૨ વડે ગુણાકાર કરીશું જેથી આપણે આ ૩ મળે હવે આપણે આને સમીકરણમાં કઈ રીતે દર્શાવી શકીયે હું ઈચ્છું છું કે તમે વિડિઓ અટકાવો અને આ સમાન રીતે લખવાનો પ્રયત કરો Y બરાબર આપણે અહીં પણ ૩ થી સરુવાત કરીયે છીએ જેને આપણે Y અંતઃ ઘંદ કહીશું હવે આપણે સામાન્ય ગુણોત શું છે આપણે અહીં દર વખતે ૧ ના છેદમાં ૨ વડે ગુણાકાર કરીયે છીએ ગુણ્યાં ૧ ના છેદમાં ૨ અને પછી તેની X ઘાત તમે અહીં જોય શકો કે આ બંને ચરઘાતાંકી છે એટલકે એક્સપોનેશિયલ છે તમારી પાસે ય અંતઃ ખંડ અથવા પ્રારંભિક કિંમત છે ત્યાર બાદ તમે તેને સામાન્ય ગુણોત્તર વડે ગુણો છો અને તેની X ઘાત પરંતુ તમે જયારે વૃદ્ધિ કરો છો ત્યારે આ સામાન્ય ગુણોત્તરનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ૧ કરતા વધારે હોય છે આ ઉદાહરણમાં સામાન્ય ગુણોત્તર ૨ છે માટે ૨ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ૧ કરતા વધારે છે પરંતુ જયારે ક્ષય થાય ત્યારે સામાન્ય ગુણોત્તરનું નિરપેકસહ મૂલ્ય એક કરતા ઓછું હોય છે અને તે યોગ્ય છે કારણકે જો તમારા સામાન્ય ગુણોત્તરનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ૧ કરતા ઓછું હોય જેમકે ૧ ના છેદમાં ૨ અતહવાં ૩ ના છેદમાં ૪ અથવા ૦.૯ અને જયારે તમે તેના વડે ગુણાકાર કરો તો તમને ઓછી ને ઓછી કિંમત મળતી જાય છે તમે તેને આલેખાની મળતાથી પણ જોય શકો આપણે આ ક્ષયનો આલેખ દોરીએ જયારે x બરાબર માઈનસ ૧ હોય ત્યારે Y બરાબર ૬ હોય જયારે X બરાબર ૦ ત્યારે Y બરાબર ૩ જયારે X બરાબર ૧ ત્યારે Y બરાબર ૩ ના છેદમાં ૨ જે અહીં આવે જયારે X બરાબર ૨ ત્યારે Y બરાબર ૩ ના છેદમાં ૪ જે લગભગ અહીં આવશે હવે જો તમે આ બધા બિંદુઓને જોડો તો તમારો આલેખ કઈ આ પ્રમાણે આવશે તમારો ક્ષય કંઈક આ પ્રમાણે જોવા મળશે તમે અહીં જોય શકો કે અહીં આ બંને સામાન્ય ગુણોત્તર એક બીજાના વ્યસ્થ છે માટે તેમાં આલેખ Y અક્ષની ફરતે ફ્લિપ થયેલા છે તેવો અહીં Y અક્ષની આસપાસ સમિટ છે તમે એ ચરઘાતાંકી ક્ષયમાં જોય શકો કે તે નાનું ને નાનું થતું જાય છે જેમ જેમ X ની કિંમત વધે તેમે તેમ તે ૦ ની નજીક ને નજીક પહુંચાતુ જાય છે પરંતુ તેના બરાબર ૦ ક્યારે થતું નથી જેમે જેમ X ની કિંમત વધતી જાય તેમ તેમે X તરફ અનાતટ સ્પર્શક મળે આપણે આપણે ચરઘાતાંકી વૃદ્ધિમાં જોય ગયા હતા કે જેમે જેમ X ની કિંમત વધુ ને વધુ ઋણ બને તેમ તેમે X અક્ષ તરફ અનંત સ્પર્શક મળે છે આમ આ ચરઘાતાંકી સક્ષયાનો પરિચય છે મેં અહીં એક ખાસ ઉદાહરણ લીધું હતું આમ જયારે પણ તમને આ પ્રમાણેનું સમીકરણ જોવા મળે Y બરાબર A ગુણ્યાં R ની X ઘાત ત્યારે તે ચરઘાતાંકી વૃદ્ધિ અથવા ચરઘાતાંકી ક્ષય હોય શકે જયારે R નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ૧ કરતા વધારે હોય તો તે ચરઘાતંકી વૃદ્ધિ દર્શાવે કારણકે જેમે જેમ X ની કિંમત વધતી જાય તેમે તેમ તમે R ની મોટી ને મોટી કિંમત સાથે ગુણાકાર કરો છો અને જયારે R નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ૧ કરતા ઓછું હોય ત્યારે તમે ક્ષય સાથે કામ કરી રહયા છો હવે તમે વિચારો કે જયારેR નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય એક જ હોય ત્યારે શું થાય ? ત્યારે તમે કેવી પરિસ્થિતિ સાથે કામ કરશો જયારે R બરાબર ૧ હોય ત્યારે હંમેશા તમને આની કિંમત ૧ જ મળશે તમને એચ સમીકરણ મળે અને આ સમક્ષિતીશ રેખા દર્શાવે