અરીસાના સૂત્રની તારવણી

આ વિડીઓમાં આપણે ગાણિતિક રીતે જોઈશું કે જયારે આપણને વસ્તુ ઉંચાઈ વસ્તુ અંતર અને કેન્દ્ર લંબાઈ આપેલી હોય ત્યારે પ્રતિબીંબ ઉંચાઈ અને પ્રતિબીંબ અંતર કઈ રીતે શોધી શકાય ગાણિતિક રીતે આપણને વસ્તુ ઉંચાઈ ho વસ્તુ ઉંચાઈ ho વસ્તુ અંતર u અને કેન્દ્ર લંબાઈ f આપેલી છે આપણને અહી આ ત્રણ બાબતો આપેલી છે આ ત્રણ બાબતો ho , u અને f આપેલ છે v અને પ્રતિબીંબ ઊંચાઈ hi શોધવાની છે આપણે અહી v અને hi શોધવાનું છે જો તમે તેને ધ્યાનથી જુઓ તો તે ફીઝીક્સ કરતા ગણિતના દાખલા ની જેમ વધારે છે કારણ કે આ ભૂમિતિની આકૃતિની જેમ જ છે જ્યાં કેટલીક બાજુઓ આપેલ છે અને અજ્ઞાત બાજુઓ આપણને શોધવાની છે આપણે v શોધવાનું છે જે અહી આ અંતર થશે અને hi શોધવાનું છે જે અહી આ ઉંચાઈ છે આપણને ho એટલે કે આ ઊંચાઈ અને u એટલે કે આ અંતર આપેલું છે શું આપણે કોઈક રીતે આ ઉંચાઈ અને આ અંતર તેમજ ઉંચાઈ અને આ અંતર વચ્ચે સંભંધો મેળવી શકીએ જો તમે આ ત્રિકોણોને ધ્યાનથી જુઓ તો આપણને અહી બે ત્રિકોણ મળે હું તે બે ત્રિકોણોને હાઈલાઈટ કરીશ એક ત્રિકોણ આ થશે નીચેની બાજુએ અને બીજો ત્રિકોણ આ થશે ઉપરની બાજુએ અહી આપણને બે ત્રિકોણો મળે જે કઈક આ પ્રમાણે થશે અને જો તેને ધ્યાનથી જોઈએ તો તેઓ સમરૂપ ત્રિકોણો છે બંનેના ખૂણા સમાન છે અહી આ ખૂણો 90 અંશનો છે અને આ ખૂણો પણ 90 અંશનો છે અને તેવીજ રીતે આ ખૂણો અને આ ખૂણો સમાન છે કારણ કે એ આપતકોણ છે અને બીજું પરાવર્તન કોણ છે પરાવર્તનના નિયમ પ્રમાણે આ બંને ખૂણા એકબીજાને સમાન હોય તેથી અહી આ ખૂણો અને આ ખૂણો પણ સમાન થશે માટે આ બંને સમરૂપ ત્રિકોણ છે અને સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો શું છે તેની બાજુના ગુણોત્તર સમાન થાય હવે તેના આધારે આપણે કહી શકીએ કે પ્રતિબીંબની ઉંચાઈ એટલે કે આ બાજુ ભાગ્યા આ બાજુ ભાગ્યા વસ્તુની ઉચાઇ બરાબર બીજી કોઈ પણ બે બાજુનો ગુણોત્તર થવો જોઈએ તો તે આ બાજુ અને આ બાજુનો ગુણોત્તર થવો જોઈએ અહી આ બાજુ v છે v અને આ બાજુ u છે v ભાગ્યા u આપણે આ બધી રાશીઓ વચ્ચેનો સંભંધ મેળવ્યો છે પરંતુ આપણે હજુ પૂરું નથી કર્યું અહી hi અને v બંને અજ્ઞાત છે અને બે અજ્ઞાત હોય તો આપણે ઉકેલી શકીએ નહિ તેથી આ આપણો સમીકરણ એક છે જયારે આપણને બીજું સમીકરણ hi અને v ના સંધાર્ભમાં મળે ત્યારે આપણે પૂર્ણ કર્યું તેમ કહેવાય હવે આપણે બીજું સમીકરણ મેળવીએ અને બીજું સમીકરણ મેળવવા માટે આપણે આ કેન્દ્ર લંબાઈ એટલે કે f ને ધ્યાનમાં લઈએ તમે વિડીઓ અટકાવીને જાતે જ ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરો અને બે સમરૂપ ત્રિકોણો મેળવો કે જેમાં એક બાજુનું મુલ્ય f હોય અહી આ બાજુ pf છે જે કેન્દ્ર લંબાઈ f છે જેથી અહી આ પ્રમાણે એક ત્રિકોણ મળે આ નીચેની બાજુનું ત્રિકોણ પરંતુ તેમાં કાટખૂણા નથી આપણને આપણને અહી કાટકોણ ત્રિકોણ જોઈએ હવે અહી આ ત્રિકોણમાં f છે અને આ તેની એક બાજુ છે આ ત્રિકોણ એ આ ત્રિકોણને સમરૂપ છે આપણે તેને હાઈલાઈટ કરીએ અહી આ ત્રિકોણ ઉપરની બાજુ આ ત્રિકોણ અને આ ત્રિકોણ સમરૂપ થશે આપણે તેમના પર ધ્યાન આપીએ કારણ કે તે બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે અને તેમની એક બાજુ આપણને જોઈએ છે અહી નોંધો આ પહેલેથી જ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને અહી આ કાટખૂણો થશે આ બંને ખૂણા સમાન થશે કારણ કે તેઓ અભિકોણ છે અને તેથી જ આ ખૂણો અને આ ખૂણો પણ સમાન થશે માટે આ બંને સમરૂપ ત્રિકોણો છે પરંતુ હવે તમને પ્રશ્ન થશે કે અહી આ વક્ર છે તે ત્રિકોણ નથી અહી આ સીધી રેખા નથી તો આપણે તેને ત્રિકોણ તરીકે કઈ રીતે લઇ શકીએ યાદ રાખો કે આ ગોળાકાર અરીસો છે જેનો અર્થ એ થાય કે તે ગોળાનો એક ભાગ છે અહી આ તેનું વક્રતા કેન્દ્ર છે જો તમે તેને પૂર્ણ ગોળા સ્વરૂપે જુઓ કઈક આ આ પ્રમાણે તો આ અરીસો એ ગોળનો ભાગ જ થશે જયારે તમે મોટા ગોળાને લો અને પછી તેમાંથી નાના ટુકડાને કાપો તો તે સીધો જ મળે જે રીતે પૃથ્વી ખુબ મોટો ગોળો છે પરંતુ પૃથ્વીના ગોળાને લઈએ તો તે સીધું દેખાય છે તેથી અહી આ ભાગને સીધો ધારી લઈએ આ સીધો ભાગ છે કારણ કે તે આખા ગોળનો નાનો ભાગ છે આપણે હવે આ બાબત અહી કરી શકીએ ત્રિકોણની સમરૂપતાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન મળે તમે અહી આ બાજુ hi લો hi અને તેને આ બાજુ વડે ભાગો તો આ બાજુ શું મળે તે અહી ho બરાબર જ છે ભાગ્યા ho અને તેના બરાબર આ બાજુ ભાગ્યા આ બાજુ હવે અહી આ બાજુ શું છે તે આપણને આપેલું નથી પરંતુ આપણે આપેલી વસ્તુના સંધાર્ભમાં તેને લખી શકીએ આ બાજુ બરાબર v - f થશે v - f ભાગ્યા આ બાજુ કે જે કેન્દ્ર લંબાઈ છે ભાગ્યા f શા માટે આપણે આ બાજુનું મુલ્ય લેતા નથી કારણ કે આપણને કર્ણના મુલ્યમાં કોઈ રસ નથી આપણને ફક્ત આ બાજુઓનો માપ જ જોઈએ છીએ હવે આ આપણું બીજો સમીકરણ થશે આપણી પાસે બે સમીકરણ અને બે અજ્ઞાત છે તો સૌ પ્રથમ આપણે u , v અને f વચ્ચે સંભંધ મેળવવાનો પ્રયત્ન કરીએ અને તમે તે જાતે જ કરો હું તમને અહી હિન્ટ આપીશ કે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવી જોઈએ આપણે હવે તેને ઉકેલીએ થોડું એલ્જેબ્રા કરીએ અહી આ આ બાજુને સમાન છે અને અહી આ બાજુને સમાન છે એટલે કે આ ડાબી અને જમણી બાજુ સમાન થશે તેથી v ભાગ્યા u બરાબર v - f ભાગ્યા f અહી આ બંને સમાન છે એટલે કે આ બાજુ અને આ બાજુ પણ સમાન જ થશે અહી v અજ્ઞાત છે u અને f આપણે જાણીએ છીએ આપણે અહી સંભંધ મેળવી લીધો આપણે તેને સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ અહી થી આ છેદને દુર કરીએ તેથી ચોકડી ગુણાકાર કરીએ માટે v ગુણ્યા f = u ગુણ્યા v = uv - uf આપણે હજુ તેને વધુ સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ અહી આ આખા સમીકરણને uvf વડે ભાગીએ uvf તેથી તે આપણને સરળ સ્વરૂપમાં મળશે અહી vf કેન્સલ થઇ જશે એટલે કે ડાબી બાજુ 1/u મળે તેના બરાબર અહીંથી uv કેન્સલ થશે એટલે કે 1/f - અહીંથી uf કેન્સલ થશે એટલે કે 1/v હવે આપણે બંને બાજુ 1/v ઉમેરીએ તેથી આપણને 1/f = 1/u + 1/v મળે અહી f અને u આપેલા છે અને આપણે હવે પ્રતિબીંબ અંતર શોધી શકીએ જો આપણે તેને સમીકરણ 1 માં મુકીએ તો આપણે પ્રતિબીંબની ઉંચાઈ પણ શોધી શકીએ પરંતુ આ સામાન્ય સૂત્ર નથી તેથી હું તેની આસપાસ બોક્ષ બનાવીશ નહિ આપણે અહી માત્ર અંતર્ગોળ અરીસા અને વાસ્તવિક પ્રતિબીંબ માટે જ ઉકેલ્યું છે જો આભાસી પ્રતિબીંબ હોય અને બહિર્ગોળ અરીસો હોય તો શું મળે શું આ સમાન સૂત્ર હોઈ શકે કદાચ તે બદલાઈ પણ શકે હવે પચીના વિડીઓમાં આપણે સામાન્ય સૂત્ર મેળવીશું જે અંતર્ગોળ અરીસો બહિર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક અને આભાસી પ્રતિબીંબ માટે સાચું થશે.