પાતળા લેન્સનું સૂત્ર

ધારોકે આપણી પાસે અમુક કેન્દ્ર લંબાઈ F ધરાવતો પટેલો બહિગોળ લેન્સ છે આ લેન્સથી અમુક અંતરે H ઊંચાઈ ધરાવતી વસ્તુ મુકેલી છે આપણે તેની કિંમત જાણીયે છીએ આપણે કેન્દ્ર લંબાઈ U અને HO જાણીયે છીએ આપણે પ્રતિબિમ્બનું સ્થાન અને પ્રતિબિંબ શોધવાનું છે આપણે કિરણ આકૃતિ દોરીએ આપણે બે કિરણ લઈએ ૧ કિરણ કંઈક આ પ્રમાણે આ રીતે આપત કરીયે અને ત્યાર બાદ બીજું કિરણ આ પ્રમાણે લઈએ આ પ્રમાણે અને તે બંને જ્યાં છેડે ત્યાં આપણે તેનું પ્રતિબિંબ મળશે આપણે હવે આ પ્રતિબિંબ અંતર આ અંતર એટલેકે બિમ્બ અને પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ શોધવાની છે આ આપણું પ્રતિબિંબ છે આપણે અહીં પ્રતિબિંબ અંતર અને પ્રતિબિંબ ઊંચાઈ શોધવાની છે આપણે અરીસામાં જે કર્યું તે સમાન બાબત જ આપણે કરી શકીયે આપણે સનરૂપ ત્રિકોણ શોધવાના છે જેમાં આમાંથી એક તેની બાજુ હોય અને આપણે સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મના ઉપયોગ કરીને તેમની વચ્ચેનું સંબંધ મેળવી શકીયે તમે વિડિઓ અટકાવો અને જાતે જ સોઢાવનો પ્રયત્ન કરો કે સમરૂપ ત્રિકોણની જોડ કઈ છે તમે અહીં ધ્યાનથી જોશો તો તમને અહીં આ બે સમરૂપ ત્રિકોણ દેખાશે એક આ ત્રિકોણ જેને હું હાઈલાઈટ કરી રહી છું અને બીજો આ ત્રિકોણ આ બંને ત્રિકોનો સમૃદ્ધ છે જો તમે આ ખૂણાને અને આ ખૂણાને જુવો તો તેવો સમાન છે કારણકે તેવો અભિકોણ છે ત્યાર બાદ અહીં આ ખૂણો અને અહીં આ બીજો ત્રિકોણ જેને હું દર્શાવી રહી છું તે બંને સ્મરુદ્ધ થશે જો તમે ઈ ધ્યાનથી જુવો તો આ ખૂણો અને આ ખૂણો સમાન હશે કારણકે તેવો અભિકોનો છે તેવીજ રીતે આ ખૂણો અને આ ખૂણો સમાન થશે કારણકે તેવો કાટખૂણા છે અને તેથી અહીં આ ખૂણો અને આ ખૂણો પણ સમાન થાય જે તેમને સમરૂપ બનાવે બાજુની લંબાઈ પણ આપણને જે જોયીયે છે તે છે તેમની બાજુઓનો ગુણુતાર સમાન થાય તેથી આ બાજુ અને આ બાજુ આ બાજુ HI ભાગ્ય આ બાજુ HO અને તેના બરાબર બાકીની ઉપરની બાજુનો ગુણોત્તર તો આપણે અહીં આ બાજુ લઈએ આ બાજુ V ભંગાય U તેના બરાબર V ભાગ્ય U આમ આપણે અહીં આ એક સમીકરણ મેળવ્યું આ સમીકરણ પાસે બંને અજ્ઞાત છે આપણે HI અને V જનતા નથી આપણે હજુ તેનો જવાબ મેળવ્યો નથી આપણે અહીં બીજો સમીકરણ મેળવવું પડશે બીજા સમરૂપ સમીકરણો પણ શોધવા પડશે તમે વિડિઓ અટકાવો અને જાતેજ તેને સોઢાવનો પ્રયત્ન કરો એવો ત્રિકોણ શોધો જેમાં એક બાજુની લંબાઈ F હોય જો તમે ધ્યાનથી જોશો તો તમે અહીં આ બંને સમરૂપ ત્રિકોનો દેખાશે જેને અહીં હું હાઈલાઈટ કરી રહી છું એક આ અને બીજો આ અહીં આ ખૂણો ૯૦ ઔંશનો છે અહીં આ ખૂણો પણ ૯૦ ઔંશનો છે તે બંને સમાન છે તેવીજ રીતે આ ખૂણો અને આ ખૂણો એ એક બીજાં અભિકોણ થશે તેથી તેવો પણ સમાન થશે અને આ ખૂણો પણ સમાન થાય આમ આપણે કહી શકીયે કે બંને ત્રિકોણ સમૃદ્દ છે આપણે આ બંને ત્રિકોણ માટે આપણે સમાન રીતે જ સમીકરણ લખીશું તેમની ઊંચાઈ ને બાજુનો ગુણુત્તોર સમાંતર મળે વિડિઓ અટકાવીને આ બંને ત્રિકોણ માટે સમાન સમીકરણ લખવાનો પ્રયત્ન કરો તેથી અહીં આ ઊંચાઈ HI HI ભાગ્ય આ ઊંચાઈ આ ઊંચાઈ શું થશે તે HO થશે તેથી HI ભાગ્ય HO અને તેના બરાબર આ લંબાઈ ભાગ્ય આ લંબાઈ અહીં આ લંબાઈ શું થશે અહીં આ કુલ લંબાઈ V છે અને આ F તેથી અહીં આ લંબાઈ V ઓછા F થશે V ઓછા F ભાગય આ લંબાઈ કે જે કેન્દ્ર લંબાઈ છે અને આ આપણું સમીકરણ બે છે નોંધો કે આપણી પાસે બે સમેકરણ અને બે અજ્ઞાત છે આપણે તેને દૂર કરીને પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ અને પ્રતિબિંબ અંતર શોધી શકીયે આપણે અહીં તે પૂર્ણ કર્યું હવે એલજેબ્રા કરીયે જો તમે બંને સમીકરને ધ્યાનથી જુવો તો તેમની ડાબી બાજુ સમાન છે તેથી આપણે તેમની જમણી બાજુને પણ સમાન લખી શકીયે ફરી એક વાર વિડિઓ અટકાવીને તેમને સમાન બનાવવા અરીસા માટે જેમ કર્યું હતું તેવીજ રીતે અહીં સરન સમીકરણ મેળવવાનો પ્રયત્ન કરો જો આપણે અહીં જમણી બાજુને લઈએ તો V ભાગ્ય U V ભાગ્ય U બરાબર V ઓછા F V ઓછા F ભાગય F થશે આપણે હવે અહીં ચેડને દૂર કરીયે અને સમીકરને બંને બાજુ U અને F ને ગુણીયે તેથી V ગુણ્યાં F V ગુણ્યાં F બરાબર V ઓછા F V ઓછા F ગુણ્યાં U આ ચોકની ગુણાકાર છે હવે તેનું સાદું રૂપ આપીયે તેથી V ગુણ્યાં F V ગુણ્યાં F બરાબર V ગુણ્યાં U V ગુણ્યાં U ઓછા F F ગુણ્યાં U F ગુણ્યાં U હવે હજુ તેનું સાદું રૂપ આપીયે તેથી હવે આ આખા સમીકરણને UVF વડે ભાગીયે ભાગ્ય UVF તેથી અહીં ડાબી બાજુ વને F કેન્સલ થાય જશે માટે ડાબી બાજુ એકના છેદમાં U મળે બરાબર અહીંથી V અને U કેન્સલ થાય જશે તેથી ૧ ના છેદમાં F ઓછા અહીંથી F અને U કેન્સલ થશે એટલકે ૧ ના છેદમાં V જો આપણે બંને બાજુ ૧ ના છેદમાં V ઉમેરીએ તો તમે જોય શકો કે તે અરીસાના સૂત્રની જેમજ દેખાશે બંને બાજુ એકના છેદમાં V ઉમેરીએ તેથી ૧ ના છેદમાં F બરાબર ૧ ના છેદમાં U વત્તા ૧ ના છેદમાં V હવે અહીં આ સૂત્ર કેન્દ્ર લંબાઈ વસ્તુ અંતર અને પ્રતિબિંબ અંતર વચ્ચે સંબંધ ધરાવે તેજ રીતે આપણને V ની કિંમત મળી ગયા બાદ તેને કોઈ પણ એક સૂત્રમાં મૂકી શકીયે અને પ્રતિ બિંબની ઊંચાઈ શું મળે તે શોધી શોધી શકીયે અરીસામા માટે આપણે મોટાવાળી એમ નામ આપ્યું હતું તેથી મોટાવાળી M બરાબર પ્રતિબિંબ ઊંચાઈ ભાગય વસ્તુ ઊંચાઈ આ રીતે તેને વખ્યાયિત કર્યું હતું આ મોટાવાનીની વ્યાખ્યા છે તે દર્શાવે છે કે વસ્તુ કરતા પ્રતિબિંબ કેટલું મળે અને તેના બરાબર V ભાગ્ય U થશે અહીં આ બીજું સમીકરણ મળ્યું જે મોટાવાળીનું સમેકરણ છે આપણે આ સમીકરણનો ઉપયોગ વિઝિટસટ પ્રકારના કિસ્સામાં જયારે બહિગોળ લેન્સ હોય અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મળતું હોય ત્યારેજ કરી શકીએ આ સૂત્ર સામાન્ય નથી બીજા અરીસા માટે કદાચ આભાસી પ્રતિબિંબ પણ મળી શકે જે અંતર્ગોળ લેન્સ હોય તો તેના માટે આપણે શું કરવું પડે આપણે સૌપ્રથમ આ બંને સમીકરણને કોપી કરીને ઉપરની તરફ લઈ જાઈએ અહીં એક આ સમીકરણ અને તેવીજ રીતે આ મોટાવાનીના સમીકરણને પણ કોપી કરીયે અને તેને ઉપરની તરફ લઈ જાયને આ પ્રમાણે પેસ્ટ કરીયે તેના માટે આપણે સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે જો આપણે આ અંતરને આલેખ પરના સ્થાન તરીકે લઈએ અને જો આપણે આ સમીકરણને સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવીએ તો તે સામાન્ય સૂત્ર થશે આપણે કાર્ટેસિયાં સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શ્કીયે અને આ સમીકરણમાં નિશાનીમાં મુકીયે અને તેનું સામાન્ય સ્વરૂપ મેળવીયે જે રીતે આપણે ધ્રુવ P ઉગામ બિંદુ તરીકે લીધું હતું તેજ રીતે આ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરને ઉગામ બિંદુ લઈએ અને પછી આપત દિશાને ધન લઈએ આ આકૃતિમાં જમણી બાજુ એ આપત દિશા છે તેથી જમણી બાજુ એ ધન થશે એટલકે જમણી બાજુના બધા જ સ્થાન તમને ધન મળે અને ડાબી બાજુના બધા સ્થાન ઋણ મળે આપણે આ નિશાનીયો આ સૂત્રમાં મુકીયે અને આ સમેકરણથી સરુવાત કરીયે જો આપણે કેન્દ્ર લમબેઈ લઈએ તો તે મુખ્ય કેન્દ્રનું સ્થાન છે અને તેનું સ્થાન ધન બાજુએ છે તેથી તે ધન થશે હવે પરંતુબીમ્બ અંતર એ પ્રતિબિમ્બનું સ્થાન છે અને તે પણ જમણી બાજુએ છે તેથી તે પણ ધન થશે વસ્તુ અંતર એ વસ્તુનું સ્થાન છે અને તે ઋણ બાજુએ છે એટલેકે તે ઋણે હશે તેથી અહીં આ તે ઋણ મળે અને આપણે આ સમીકરણને કંઈક આ પ્રમાણે લખી શકીયે અહીં વસ્તુ અંતર ઋણ મળે અને આપણે તે સમીકરણને આ પ્રમાણે લખી શકીયે ૧ ના છેદમાં V માઈનસ ૧ ના છેદમાં U તેથી અહીં આ સામાન્ય સૂત્ર થયું સંજ્ઞા પદ્ધતિના આધારે તે સામાન્ય સૂત્ર બનશે ફરીથી હું તેની આજુબાજુ બોક્સ બનાવીશ અને આ સૂત્રનો ઉપયોગ કોઈ પણ કિસ્સામાં કરી શકાય હવે આ ઊંચાઈ પદ્ધતિ માટે સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીયે મુખ્ય અક્ષાની ઉપર બધી ઊંચાઈને ધન લેવામાં આવે છે અને મુખ્ય અક્ષાની નીચે બધી ઊંચાઈને ઋણ લેવામાં આવે છે ધારોકે પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ ઋણ ૫ છે કારણકે કે તે મુખ્ય અક્ષાની નીચે છે પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ ઋણ થશે ત્યાર બાદ વસ્તુની ઊંચાઈ એ મુખ્ય અક્ષાની ઉપર છે તેથી તે ધન મળે અહીં તે પ્રતિમા બિમ્બ અંતર છે જે પ્રતિબિમ્બનું સ્થાન દર્શાવે જેથી તે ધન મળે અને U એ વસ્તુનું સ્થાન છે તે ડાબી બાજુએ છે તેથી તે ઋણ મળે યાદ રાખો કે મોટાવાનીના સૂત્રમાં મોટવાણી બરાબર HI ભાગ્ય HO ઋણ HI ભાગ્ય HO નહિ તેથી આ આપણું અંતિમ સમીકરણ નથી આપણે અહીં ઉંચાઈમાંથી ઋણ નિશાનીને દૂર કરીયે અને ધ્યાનથી જોયીયે તો આ બંને ઋણ નિશાનીયો એક સરખી જ હશે તેથી સામાન્ય સૂત્ર કંઈક આ પ્રમાણે મળે જ્યાં આપણે સંજ્ઞા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો આ મોટાવાનીમાટેનું સામાન્ય સૂત્ર છે અને તે લેસનું સૂત્ર છે તે અરીસાના સૂત્રની જેમજ છે બંને વચનોએ તફાવત માત્ર U ની નિશાની છે જો અપને U ની નિશાની ઋણ લઈએ તો આપણને અરીસાનું