If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

સાંકળનો નિયમ

સાંકળનો નિયમ આપણને જણાવે છે કે સંયોજીત વિધેયનું વિકલીત કઈ રીતે શોધવું. સંયોજીત વિધેયના તમારા જ્ઞાનનો મહાવરો કરો, અને સાંકળનો નિયમ કઈ રીતે લાગુ પાડી શકાય તે શીખો.
સાંકળનો નિયમ કહે છે કે:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
તે આપણને જણાવે છે કે સંયોજીત વિધેયનું વિકલન કઈ રીતે કરવું.

સંયોજીત વિધેયનું ઝડપથી પુનરાવર્તન

જો તમે વિધેયને f(g(x)) તરીકે લખી શકો તો તે સંયોજીત છે. બીજા શબ્દોમાં, તે વિધેય સાથેનું વિધેય, અથવા વિધેયનું વિધેય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, cos(x2) એ સંયોજન છે, કારણકે ધારો કે f(x)=cos(x) અને g(x)=x2, તો cos(x2)=f(g(x)).
gf સાથેનું વિધેય છે, તો આપણે g ને "અંદરનું" વિધેય અને f ને "બહારનું" વિધેય કહી શકીએ.
cos( x2અંદરનું )બહારનું
બીજા છેડે, cos(x)x2 એ સંયોજીત વિધેય નથી. તે f(x)=cos(x) અને g(x)=x2 નો ગુણાકાર છે, પણ બંનેમાંથી કોઈ પણ વિધેય બીજાની સાથે નથી.
પ્રશ્ન 1
શું g(x)=ln(sin(x)) એ સંયોજીત વિધેય છે? જો હોય, તો "અંદરના" અને "બહારના" વિધેય કયા થાય?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

સામાન્ય ભૂલ: વિધેય સંયોજીત છે કે નહિ તે ન ઓળખવું

સામાન્ય રીતે, સંયોજીત વિધેયનું વિકલન શોધવાની ફક્ત એક રીત સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ છે. જો આપણે ન ઓળખીએ કે વિધેય સંયોજીત છે અને સંકલન નિયમને લાગુ પાડવું જ જોઈએ, તો આપણે યોગ્ય રીતે વિકલન શોધી શકીએ નહિ.
બીજા છેડે, સંયોજીત ન હોય તેવા વિધેય પર સાંકળનો નિયમ લાગુ પાડવો એ ખોટા વિકલિતમાં પરિણમે.
ખાસ કરીને ગૂઢ વિધેય (જેમ કે ત્રિકોણમિતીય અને લઘુગણકીય વિધેય) સાથે, સંયોજનમાં વિદ્યાર્થીઓ વારંવાર ગૂંચવાય છે જેમ કે ln(x)sin(x) ના ગુણાકાર સાથે ln(sin(x)).
પ્રશ્ન 2
શું h(x)=cos2(x) એ સંયોજીત વિધેય છે? જો હોય, તો "અંદરના" અને "બહારના" વિધેય કયા થાય?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

વધુ મહાવરો જોઈએ છે? આ સ્વાધ્યાય નો પ્રયત્ન કરો.

સામાન્ય ભૂલ: અંદરના અને બહારના વિધેયની ખોટી ઓળખ

વિધેય સંયોજિત છે એવું વિદ્યાર્થી જાણી લે તો પણ, તેઓ કદાચ અંદરનું અને બહારનું વિધેય ખોટું લઇ શકે. આના કારણે ચોક્કસ આપણને ખોટું વિકલીત મળશે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંયોજીત વિધેય cos2(x) માં, અંદરનું વિધેય cos(x) છે અને બહારનું વિધેય x2 છે. વિદ્યાર્થીઓ ઘણી વાર આ પ્રકારના વિધેયમાં ગૂંચવાય છે અને cos(x) ને બહારના વિધેય તરીકે વિચારે છે.

સાંકળનો નિયમ ઉપયોગ કરવાનો કોયડો

જોઈએ કે h(x)=(56x)5 નું વિકલન કરવા સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કઈ રીતે કરી શકાય નોંધો કે h એ સંયોજીત વિધેય છે:
h(x)=( 56xઅંદરનું )5બહારનુંg(x)=56xઅંદરનું વિધેયf(x)=x5બહારનું વિધેય
કારણકે h એ સંયોજીત છે, આપણે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન કરી શકીએ.
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
શાબ્દિક રીતે કહીએ તો, આ નિયમ જણાવે છે કે સંયોજીત વિધેયનું વિકલીત બરાબર બહારના વિધેયના વિકલીત fની સાથે અંદરનું વિધેય g, ગુણ્યા અંદરના વિધેયનું વિકલીત g.
નિયમને લાગુ પાડતા પહેલા, અંદરના અને બહારના વિધેયના વિકલીત શોધીએ:
g(x)=6f(x)=5x4
હવે સાંકળનો નિયમ લાગુ પાડીએ:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4

સાંકળનો નિયમ લાગુ પાડવાનો મહાવરો

પ્રશ્ન 3.A
પ્રોબ્લેમ સેટ 3 sin(2x34x) ના વિકલનના સ્ટેપ્સ બતાવશે.
sin(2x34x) માં અંદરના અને બહારના વિધેય કયા છે?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

પ્રશ્ન 4
ddx[cos(x)]=?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

વધુ મહાવરો જોઈએ છે? આ સ્વાધ્યાય નો પ્રયત્ન કરો.
પ્રશ્ન 5
xf(x)h(x)f(x)h(x)
19156
23116
G(x)=f(h(x))
G(2)=
  • તમારો જવાબ હોવો જોઈએ
  • એક પૂર્ણાંક, જેમ કે 6
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 3/5
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 7/4
  • મિશ્ર સંખ્યા, જેમ કે 1 3/4
  • એક * ચોક્કસ * દશાંશ, જેમ કે 0.75
  • પાઇ એક બહુવિધ, જેમ 12 pi અથવા 2/3 pi

વધુ મહાવરો જોઈએ છે? આ સ્વાધ્યાયનો પ્રયત્ન કરો.
પ્રશ્ન 6
કેટી (2x24)3 નું વિકલીત શોધવાનો પ્રયત્ન કરે છે. તેણીનો ઉકેલ અહીં છે:
સ્ટેપ 1: ધારો કે f(x)=x3 અને g(x)=2x24, પછી (2x24)3=f(g(x)).
સ્ટેપ 2: f(x)=3x2
સ્ટેપ 3: વિકલીત f(g(x)) છે:
ddx[(2x24)3]=3(2x24)2
શું કેટીનો ઉકેલ સાચો છે? જો ન હોય, તો તેની ભૂલ શું છે?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

સામાન્ય ભૂલ: અંદરના વિધેયના વિકલીત વડે ગુણવાનું ભૂલી જવું

વિદ્યાર્થીઓ માટેની સામાન્ય ભૂલ એ છે કે તેઓ ફક્ત બહારના વિધેયનું વિકલન કરે છે, જે f(g(x)) માં પરિણમે, જયારે સાચો વિકલીત f(g(x))g(x) છે.

બીજી સામાન્ય ભૂલ: f(g(x)) ઉકેલવું

વિકલીતના સંયોજીત f(g(x)) તરીકે f(g(x)) નું વિકલન કરવું એ બીજી સામાન્ય ભૂલ છે.
આ પણ ખોટું છે. f(x) ની અંદરનું વિધેય g(x) હોવું જોઈએ, g(x) નહિ.
યાદ રાખો: f(g(x)) નું વિકલીત f(g(x))g(x) થાય. f(g(x)) નહિ અને f(g(x)) નહિ.