જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

ગુણાકારના નિયમની સાબિતી

ગુણાકારનો નિયમ શા માટે કામ કરે છે?

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આપણે આ વિડિઓમાં ગુણાકારના નિયમની સાબિતી મેળવીશું આપણે વીકલીતની વ્યાખ્યાથી શરૂઆત કરીએ જો આપણી પાસે વિધેય f(x) હોય અને વ્યાખ્યા પ્રમાણે x ની સાપેક્ષે અહીં આ f(x)નું વીકલીત લઈએ તો તેના બરાબર લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે f(x + h) ઓછા f(x) આખાના છેદમાં h અહીં આ સ્પર્શકનો ઢાળ છે હવે આપણે બે વિધેયના ગુણાકારનું વીકલીત લઈએ હવે આપણે x ની સાપેક્ષે બે વિધેયના ગુણાકારનું વીકલીત લઈએ x ની સાપેક્ષે f(x) ગુણ્યાં g(x)nu વીકલીત આપણે વીકલીતની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ તો આના બરાબર લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 શુધીની કિંમત માટે અહીં આખાના છેદમાં h મળશે અને અંશમાં ખુબ જ મોટી સંમેય પદાવલિ મળે જો આપણે અહીં x + h લઈને ઉકેલીએ તો આના બરાબર f(x + h) ગુણ્યાં g(x + h) ત્યાર બાદ તેને x આગળ ઉકેલીને આમાંથી બાદ કરીએ હું અહીં એક જગ્યા છોડીશ ઓછા f(x) ગુણ્યાં g(x) આપણે અહીં વીકલીતની વ્યાખ્યાનો જ ઉપયોગ કર્યો આપણે f(x)ને બદલે f(x) ગુણ્યાં g(x) લીધું તેથી તેના બરાબર લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે f(x + h) ગુણ્યાં g(x + h) ઓછા f(x) ગુણ્યાં g(x) આખાના છેદમાં h હવે અહીં આ ખાલી જગ્યામાં શું લખી શકાય આ પદાવલીને જોતા તેને બીજ ગણિતની રીતે ઉકેલવું સરળ નથી લાગતું તો આપણે તેને કઈ રીતે ઉકેલી શકીએ જો આપણે અહીં સમાન પદને ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ તો આપણે તેને બીજ ગણિતની રીતે ઉકેલી શકીએ જે આપણને ગુણાકારનો નિયમ આપે તેથી -f(x+h)ગુણ્યાં g(x) + f(x+h) ગુણ્યાં g(x) આપણે અહીં આ સમાન પદાવલિને ઉમેરી છે અને તેને બાદ કરી છે તેથી આપણે તેની કિંમત નથી બદલી રહ્યા હવે આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ તમે વિડિઓ અટકાવીને તે જાતે જ કરવાનો પ્રયત્ન કરી શકો માટે આના બરાબર લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે આપણે સૌપ્રથમ અહીં આ ભાગને લઈશું સૌ પ્રથમ આપણે આ ભાગને લઈશું અને ત્યાર બાદ તેમાંથી f(x + h)ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈએ માટે f(x + h) તેને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈએ g(x + h) ઓછા g(x) અને પછી તેના છેદમાં h હવે આપણે અહીં આ ભાગને લઈએ આપણે અહીં આ ભાગને લઈએ અને તેમાંથી g(x)ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈએ તેથી + g(x)ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈએ કૌંશમાં f(x +h) - f(x) અને પછી તે આખાના છેદમાં h હવે આ પદની અહીં આ પ્રમાણે કૌંશ કરીએ હવે આ પદની h સુધીની કિંમત માટે લિમિટ લઈએ + આ પદની h સુધીની કિંમત માટે લિમિટ લઈએ આમ ગુણાકારની લિમિટ એ લિમિટનો ગુણાકાર છે જો આપણે લક્ષના બંને ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ તો આ પ્રમાણે લખી શકાય તેના બરાબર લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે f(x + h) ગુણ્યાં લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે g(x +h) - g(x) તે આખાના છેદમાં h + લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે g(x) લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે f(x + h) - f(x) તે આખાના છેદમાં h સરવાળાની લિમિટ એ લિમિટનો સરવાળો થાય તથા ગુણાકારની લિમિટ એ લિમિટનો ગુણાકાર થાય આપણે આ દરેક પદની ફરતે કૌંશ કરીએ આ પ્રમાણે આપણે તે દરેકની ફરતે આ રીતે કૌંશ કરીએ હવે લિમિટ કે જ્યાં hની 0 સુધીની કિંમત માટે f(x+h) બરાબર શું થાય તેના બરાબર f(x) થાય ત્યાર બાદ લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે g(x +h) - g(x) આખાના છેદમાં h બરાબર શું થાય તે વીકલીતની વ્યાખ્યા છે તે g નું વીકલીત થશે તેથી તેના બરાબર g પ્રાઈમ ઓફ x થાય + લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે g(x) બરાબર શું થાય તેના બરાબર g(x) થાય અને પછી લિમિટ કે જ્યાં h ની 0 સુધીની કિંમત માટે f(x +h) - f(x) આખાના છેદમાં શું થશે તે f નું વીકલીત થાય તે આપણે f પ્રાઈમ ઓફ x આપે આમ આપણને f(x) ગુણ્યાં g(x)નું વીકલીત મળે અને તેના બરાબર f(x) ગુણ્યાં g(x)નું x ની સાપેક્ષે વીકલીત g પ્રાઈમ ઓફ x + g(x) ગુણ્યાં x ની સાપેક્ષે f ઓફ xનું વીકલીત જે f પ્રાઈમ ઓફ x થાય અથવા તેને બીજી રીતે વિચારવાની રીત પ્રથમ વિધેય ગુણ્યાં બીજા વિધેયનું વીકલીત + બીજું વિધેય ગુણ્યાં પ્રથમ વિધેયનું વીકલીત આમ આ વીકલીતના ગુણાકારની સાબિતી છે.