મૂળભૂત વિકલીતના નિયમ

આપણે ઘાતાંકના નિયમ અનુસાર જાણીએ છીએ કે xની સાપેક્ષે xની n ઘાતનો વિપલિત બરાબર n ગુણ્યા xની n - 1 ઘાત જ્યાં n ઇસ નોટ ઇકવલ ટુ 0 જે આપણે અગાઉના વિડીઓમાં જોઈ ગયા હું તમને બહુપદીના વિકાલિતને ઉકેલવા વિકાલિતના વધુ નિયમો અથવા ગુણધર્મો બતાવીશ પરંતુ સૌપ્રથમ આ n ઇસ નોટ ઇકવલ ટુ 0 વિશે વિચારીએ જયારે n = 0 હોય ત્યારે શું થાય જો આપણે xનો 0 ઘાતનો વિકાલિત લઈએ આ પ્રમાણે xની 0 ઘાત અને x ઇસ નોટ ઇકવલ ટુ 0 એમ ધારી લઈએ કારણ કે કોઈ પણ બિંદુ આગળ 0ની 0 ઘાત વિચિત્ર લાગશે પરંતુ જયારે x ઇસ નોટ ઇકવલ ટુ 0 હોય ત્યારે xની 0 ઘાત શું મળે તેના બરાબર d /dx ઓફ 1 મળે કારણ કે xની 0 ઘાત 1 થાય હવે આનું વિકાલિત શું થાય આપણે f(x) =1નો ગ્રાફ દોરીને સમજીએ આપણે f(x) = 1નો આલેખ દોરીને સમજીએ આ y અક્ષ છે અને આ x અક્ષ છે y = 1 અથવા f(x) = 1 આ રીતે સમક્ક્ષિતિજ રેખા મળશે તેથી આ y = f(x) = 1 છે વિકલિતએ કોઈ પણ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ થાય અહી દરેક બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શું થાય તો આ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શું મળે અહી દરેક બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શું થાય આ એક રેખા છે તેથી તેનો ઢાળ બદલાશે નહિ આ અચલ ઢાળ છે તે સમક્ક્ષિતિજ રેખા છે તેથી તેનો ઢાળ 0 થાય અહી તેનો ઢાળ 0 થાય દરેક બિંદુ આગળ તેનો ઢાળ 0 થાય માટે આના = પણ 0 થાય અને તે કોઈ પણ અચલ પદ માટે સાચું છે જો f(x) = 3 હોય તો તેનો આલેખ આ રીતે જોવા મળશે અહી આ y = 3 છે હવે xની સાપેક્ષે yનું વિકાલિત શું થાય તેના બરાબર y પ્રાઈમ પણ લખી શકાય અહી કોઈ પણ xની કિંમત આગળ y પ્રાઈમ બરાબર એટલે કે તેનો ઢાળ 0 મળે જો આપણે xની સાપેક્ષે કોઈ પણ અચલનું વિકલિત લઈએ ધારો કે તે અચલ A છે અહી A અચળ છે તો તેના બરાબર 0 થાય હવે આપણે થોડા વધુ ગુણધર્મો જોઈએ હવે જો xની સાપેક્ષે d /dx ઓફ કઈક આ પ્રમાણેનું આપ્યું હોય A ગુણ્યા f(x) તો અહી આ A અદીસ ગુણક થાય તેથી તેના બરાબર A ગુણ્યા f(x)નો વકાલિત f(x)નો વિકલિત જેને આ પ્રમાણે લખશે f(x) અથવા તેને બીજી રીતે પણ લખી શકાય A ગુણ્યા હવે આ આખાના બરાબર f પ્રાઈમ ઓફ x થશે આપણે એક ઉદા લઈને સમજીએ xની સાપેક્ષે 2 ગુણ્યા xની 5 ઘાતનું વિકલિત શું થાય અહી આનો વિકલિત શું થાય તેના = 2 ગુણ્યા xની 5 ઘાતનું વિકલિત d /dx ઓફ xની 5 ઘાત હવે આપણે તેને ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકીએ છીએ મેં અહી આ 2ને આગળ લીધા છે હવે અહી પાવર રુલ પ્રમાણે n = 5 થશે તેથી તે 5 ગુણ્યા xની 5 - 1 ઘાત અથવા 5 ગુણ્યા xની 4 ઘાત થશે તેથી તેના બરાબર 2 ગુણ્યા 5xની 4 ઘાત અને તેના બરાબર 2 ગુણ્યા 5 10 હશે એટલે કે 10xની 4 ઘાત અહી આપણે ઘાતાંકના નિયમ પ્રમાણે xની 5 ઘાતનું વિકલિત લીધું અને પછી તેના ગુણ્યા 2 કરીએ તો આપણને આ જવાબ મળે આપણે હવે પાવર રુલ અને આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને axની n ધાત સ્વરૂપના કઈ પણનું વિકલિત લઇ શકીએ હવે બીજા ગુણધર્મ સમજીએ જે વિકાલિત ઉકેલવામાં ઉપયોગી છે તે બહુપદીને બનાવવા અને તેનો વિકાલિત લેવામાં ઉપયોગી છે જો આપણે બે વિધેયના સરવાળાનું વિકલિત લઈએ આપ્રમાણે ધારો કે એક વિધેય f(x) છે અને બીજું વિધેય g(x) છે તો તેના બરાબર f(x)નું વિકલિત + g(x)નું વિકલિત તેથી તેના = d /dx ઓફ f(x) + d /dx ઓફ g(x) તેને આ પ્રમાણે પણ લખી શકાય xની સાપેક્ષે f(x)નું વિકલિત બરાબર f પ્રાઈમ ઓફ x + xની સાપેક્ષે g(x)નું વિકલિત g પ્રાઈમ ઓફ x તેના બરાબર g પ્રાઈમ ઓફ x ફરીથી આપણે એક ઉદા લઈને સમજીએ xની સાપેક્ષે xની 3 ઘાત + xની -4 ઘાતનું વિકલિત શું થાય સરવાળાનું વિકલિત = વિકલિતનો સરવાળો આપણે તેનો વિકલિત ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકીએ માટે તેના = xના ઘનનું વિકલિત 3xનો વર્ગ થશે + xની -4 ઘાતનું વિકાલિત -4 ગુણ્યા xની -4 - 1 એટલે કે -4 ઘાત -4 ગુણ્યા xની -5 ઘાત માટે તેના = 3xનો વર્ગ - 4xની -5 ઘાત હવે આપણી પાસે કોઈ પણ બહુ પદીનું વિકલિત લેવા માટેના બધા જ ગુણધર્મો છે આપણે વધુ એક ઉદા લઈને સમજીએ ધારો કે f(x) = 2xનો ઘન - 7xનો વર્ગ + 3x - 100 છે તો f પ્રાઈમ ઓફ x શું મળે xની સાપેક્ષે f(x)નું વિકલિત શું થાય આપણે આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકીએ તેથી તેના = અહી 2 ગુણ્યા xની 3 ઘાતનું વિકાલિત 3xનો વર્ગ થાય - 7 ગુણ્યા xના વર્ગનું વિકલિત 2x થશે ગુણ્યા 2x + 3xનું વિકલિત 3 થાય કારણ કે xની 1 ઘાતનું વિકલિત 1 થાય અને પછી આ અચળ પદનું વિકલિત 100નું વિકલિત 0 થાય માટે -0 માટે f પ્રાઈમ ઓફ x = કઈક આ પ્રમાણે થશે 2 ગુણ્યા 3 6xનો વર્ગ - 7 ગુણ્યા 2 14x + 3 આ રીતે ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરી કોઈ પણ બહુપદીનું વિકલિત શોધી શકાય.