વર્ગમૂળ વિધેય માટે ઘાતના નિયમની સાબિતી

આપણે ડેરીવેટીવ એટલેકે વિકલિત ની વ્યાખ્યા પ્રમાણે કોઈ વિધેય સ્ક્વેરરૂટ of x નું વિકલિત d / d x સ્ક્વેર રૂટ ઓફ x = લીમીટ જ્યાં ડેલ્ટા x અપ્રોચીસ 0 ઘણીવાર અહી x અપ્રોચીસ 0 અથવા d અપ્રોચીસ 0 લખાય છે અહીં આપણે ડેલ્ટા x અપ્રોચીસ 0 લઈશું આથી x માં થતો ફેરફાર છેદમાં 0 તથા છેદમાં f (x) + ડેલ્ટા x અહીં આ બાબત માં સ્ક્વેર રૂટ of x f(x) છે સ્ક્વેર રૂટ of x + ડેલ્ટા x - f(x) અહીં આ f(x) = સ્ક્વેર રૂટઓફ x છે અને છેદમાં x માં થતો ફેરફાર એટલે કે ડેલ્ટા x હવે આનું સાદુરૂપ આપવા માટે ન્યુમેરેટર એટલે કે અંશ અને ડીનોમીનેટર એટલે કે છેદને ન્યુમેરેટરના કોન્જ્યું કેટ એટલે કે કરણી વડે ગુણીએ આથી આના બરાબર લીમીટ જ્યાં ડેલ્ટા x અપ્રોચીસ 0 સ્ક્વેર રૂટ of x +ડેલ્ટા x - સ્ક્વેર રૂટ of x ડિવાઈડ બાય ન્યુમેરેટરના કોન્જ્યુંકેટ એટલે કે કરણી ને ગુણીએ સ્ક્વેરરૂટ of x + ડેલ્ટા x સ્ક્વેર રૂટ ઓફ x / સ્ક્વેર રૂટ ઓફ x + ડેલ્ટા x + સ્ક્વેર રૂટ ઓફ x અહીં આ એક્સપ્રેશન એટલે કે પદાવલી = 1 છે આપણે ધારી લઈએ કે x અને ડેલ્ટા x 0 નથી અને તે વ્યાખ્યાયિત છે આપણે આ ઇક્વેશન ને 1/1 વડે ગુણ્યું છે lim જ્યાં ડેલ્ટા x અપ્રોચીસ 0 અહીં આ a-b into a +b છે આથી a +b into a - b = a સ્ક્વેર - b સ્ક્વેર મળે હવે આપણે આ બંને પદ નું સાદુરૂપ આપીએ તો સ્ક્વેર રૂટ ઓફ x + ડેલ્ટા x ને આપણે a ધારી લઈએ આથી સ્ક્વેર રૂટ of x + ડેલ્ટા x સ્ક્વેર આપણને x + ડેલ્ટા x મળે - b સ્ક્વેર આપણને શું મળે અહીં b= સ્ક્વેર રૂટ of x છે આથી સ્ક્વેર રૂટ of x નો સ્ક્વેર કરતા આપણને x મળે ડિવાઈડ બાય ડેલ્ટા x into સ્ક્વેર રૂટ of x + ડેલ્ટા x હવે આપણે આનું સાદુરૂપ આપીએ તો આ x અને -x કેન્સલ થઇ જશે હવે ન્યુંમેરેટર અને ડીનોમીનેટર માં ડેલ્ટા x છે આથી આ ડેલ્ટા x અને આ ડેલ્ટા x કેન્સલ થઇ જશે આથી આના બરાબર lim ડેલ્ટા x અપ્રોચીસ 0 1/ અહીં x = 0 નથી તે 0 સુધીની કિંમત દર્શાવે છે આથી ડીનોમીનેટર માં એટલે કે છેદમાં સ્ક્વેર રૂટ of x + ડેલ્ટા x + સ્ક્વેર રૂટ of x મળે હવે આપણે ડેલ્ટા x ની કિંમત મુકીએ તો આના બરાબર સ્ક્વેર રૂટ of x + ડેલ્ટા x ની કિંમત 0 મુકીએ તો આપણને આ 0 મળે + સ્ક્વેર રૂટ of x અને આના બરાબર 1 / 2 સ્ક્વેર રૂટ of x મળે અને આના બરાબર 1/2 into x રેઈસ ટુ -1/2 પાવર અહીં આપણે ડેરીવેટીવ ની પ્રોપર્ટી એટલેકે વિકલિત ના ગુણધર્મો નો ઉપયોગ કર્યો છે જે આ પ્રમાણે છે d / dx of x રેઈસ ટુ n = n into x રેઈસ ટુ n-1 પાવર અને n = 1/2 છે