મધ્યબિંદુ અને સમલંબ ચતુષ્કોણનો સરવાળો સિગ્મા નોટેશનમાં

આપણે અગાઉના વિડીઓમાં લંબચોરસનો ઉપયોગ કરીને વક્રની અંદરના વિસ્તારનો અંદાજો મેળવ્યો હતો જ્યાં દરેક લંબ ચોરસની ઉંચાઈ એ ડાબી બાજુ આગળ ઉકેલાયેલ વિધેયની કિંમત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી હતી તેથી પ્રથમ લંબચોરસ કઈક આ પ્રમાણેનું થશે અહી આ પ્રથમ લંબચોરસ થશે બીજું લંબચોરસ કઈક આ પ્રમાણે થશે અને તે જ પ્રમાણે આપણે n લંબચોરસ સુધી આગળ વધી શકીએ જે કઈક આ રીતનું દેખાશે અહી આ n લંબચોરસ છે આ પહેલું લંબચોરસ આ બીજું લંબ ચોરસ અને ત્યાર બાદ n સુધી આગળ વધી શકાય વિસ્તારનો અંદાજ મેળવવા આપણે આ બધા જ લંબચોરસનો સરવાળો કરવો પડે આપણે તેને સિગ્માની મદદથી લખીએ i = 1 થી n સુધી i એ આપણે કયા લંબચોરસ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ તે છે આપણે અહી ઉંચાઈ ગુણ્યા પાયો કરીશું અને આ બાબતમાં પાયાની ઉંચાઈ કઈક આ પ્રમાણે આવશે પહેલા લંબચોરસ માટે તે વિધેય x0 આગળ વ્યાખ્યાયિત થયું છે બીજા લંબચોરસની ઉંચાઈ એ વિધેય x1 આગળ ઉકેલાયુ છે તે થાય અને તેવી જ રીતે n માં લંબચોરસની ઉંચાઈ એ વિધેય x સબ n - 1 આગળ ઉકેલાયું છે તે થાય આમ લંબચોરસની ઉંચાઈ બરાબર આમ લંબચોરસની ઉંચાઈ i = વિધેય x સબ i - 1 આગળ ઉકેલ્યું હોય તે થાય જો i = 2 હોય તો આપણે તેને x1 આગળ ઉકેલીએ છીએ અને તે ડાબી બાજુની સીમા છે અને પછી આપણે તેને પહોળાઈની સાથે ગુણવું પડે આ વિડીઓમાં આપણે ધારી લઈશું કે દરેક લંબચોરસની પહોળાઈ સમાન છે અને તે સમાન પહોળાઈને આપણે ડેલ્ટા x તરીકે લઈએ છીએ તેને શોધવા માટે આપણે કુલ અંતર જે આપણને x દિશામાં મળે તેથી તેને શોધવા b - a ભાગ્યા જેટલા લંબચોરસ જોયતા હોય તેના વડે ભાગીએ અહી n છે માટે ગુણ્યા ડેલ્ટા x હવે તમને લાગશે હવે સરવાળો શોધવા આ લંબચોરસનો ઉપયોગ કરવો એ ફક્ત એક જ રીત નથી અથવા વિસ્તારનો અંદાજો મેળવવા ભૂમિતિના આકારનો ઉપયોગ કરવો કોઈ પણ એક જ રીત ન હોઈ શકે ઉદાહરણ તરીકે આપણે અહી લંબચોરસ બનાવીએ જ્યાં તેની ઉંચાઈ જમણી બાજુની સીમા વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે આપણે પ્રથમ લંબચોરસ બનાવીએ અને તેની ઉંચાઈ f(x1) થશે તેથી પ્રથમ લંબચોરસ કઈક આ રીતનું દેખાય હવે બીજા લંબચોરસ માટે જમણી બાજુની સીમાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ જે તેની ઉંચાઈ થશે કઈક આ પ્રમાણે તે જ રીતે n લંબચોરસ માટે કરી શકાય તો n માં લંબચોરસની ઉંચાઈ આ થશે અને n નું લંબચોરસ કઈક આ પ્રમાણે દેખાશે આ રીતે આ પહેલું લંબચોરસ આ બીજું લંબચોરસ અને n માં લંબચોરસ સુધી હવે આ સરવાળાને કઈ રીતે લઇ શકાય આપણે વક્રની અંદરનો વિસ્તાર i = 1 થી n સુધી લઈએ છીએ તેને આ પ્રમાણે દર્શાવીએ i = 1 થી n સુધી i એ દરેક લંબચોરસની સંખ્યા છે માટે i માં લંબચોરસની ઉંચાઈ f ઓફ x સબ i થશે જે પણ આપણે સંખ્યા લઈશું તે જ x સબ સંખ્યા થશે અને વિધેય ત્યાં ઉકેલાશે તેના ગુણ્યા પહોળાઈ એટલે કે ડેલ્ટા x આમ આ બંને વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે i લંબચોરસ માટે અહી x સબ i - 1 થાય અહી આ ડાબી બાજુની સીમા છે અને અહી જમણી બાજુની સીમાનો ઉપયોગ કાર્યો છે હવે આપણે મધ્ય બિંદુને લઈને તેની ઉંચાઈ શોધીએ x0 અને x1 વચ્ચેનો મધ્ય બિંદુ આ થશે અને આ મધ્ય બિંદુ લઈને તે લંબચોરસની ઉંચાઈ શોધીએ માટે અહી આ કિંમત f(x0) + x1 ભાગ્યા 2 થશે આ બંને વચ્ચેનું બિંદુ લઈને લંબચોરસની ઉંચાઈ વ્યાખ્યા બંને વચ્ચેનું મધ્ય બિંદુ લઈને તે લંબચોરસની ઉંચાઈ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તે લંબચોરસ કઈક આવો દેખાશે ફરીથી આપણે અહી મધ્ય બિંદુ લઈને તેની ઉંચાઈને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ તો તે લંબચોરસ કઈક આ રીતનું દેખાય તે જ રીતે આપણે n માં લંબચોરસ સુધી આગળ વધી શકીએ ફરીથી અહી મધ્યબિંદુ લઈને તેની ઉંચાઈ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય અને n મુ લંબચોરસ કઈક આ પ્રમાણે દેખાશે આ રીતે તેથી અહી ઉકેલાયેલ વિધેય દર્શાવે છે કે લંબચોરસની ઉંચાઈ કેટલી છે હવે તેનો સરવાળો શું થાય દરેક લંબચોરસનો આપણે સરવાળો કરવો પડશે જેને આ પ્રમાણે લખી શકાય i = 1 થી n સુધી i એ કયું લંબચોરસ છે તે દર્શાવે છે માટે આ પહેલું આ બીજું અને તેજ રીતે n માં લંબચોરસ સુધી આગળ વધી શકાય અહી તેની ઉંચાઈ એ ફક્ત f(x) સબ i - 1 જ નહિ અહી તેની ઉંચાઈ માત્ર f(x) સબ i - 1 નહિ અથવા x સબ i નહિ પરંતુ તે કઈક આ પ્રમાણે થશે f(x) સબ i - 1 + x સબ i ભાગ્યા 2 ગુણ્યા ડેલ્ટા x આ કિસ્સામાં ડેલ્ટા x સમાન છે શું હવે સરવાળાનો અંદાજ મેળવવા લંબચોરસનો જ ઉપયોગ કરવો પડે આપણે સમલંબ લઈને તેનો અંદાજો મેળવવાનો પ્રયત્ન શા માટે n કરી શકીએ અહી આ સમલંબનો ડાબો ભાગ છે અને તેની ઉંચાઈ f(x0) મળે છે સમલંબની જમણી બાજુ આ થશે આપણને આને તેની ઉંચાઈ f(x1) મળશે આમ પ્રથમ સમલંબ કઈક આ પ્રમાણે જોવા મળે ત્યાર બાદ બીજો સમલંબ આ રીતે જોવા મળશે તે લંબચોરસની જેમ દેખાય છે આપણે ધારી લઈએ કે તેનો આ ઉપરનો ભાગ સપાટ નથી તે જ રીતે આગળ n સમલંબ જઈ શકાય તે કઈક આ રીતે જોવામળશે અહી આ n મો સમલંબ છે આ પહેલો આ બીજો અને આ n મો સમલંબ હવે આ સમલંબનો વિસ્તાર કઈ રીતે શોધી શકાય તેનો વિસ્તાર આ પ્રમાણે શોધી શકાય તે સમલંબની બાજુની ઉંચાઈની સરેરાશ ગુણ્યા પાયો થશે તેથી તેના બરાબર આ બે ઉંચાઈની શરેરસ f (x0) + f (x1) આખાના છેદમાં 2 ગુણ્યા ડેલ્ટા x જે તેની પહોળાઈ થશે આમ આ આપણને એક સમલંબનો વિસ્તાર મળે આપણે તેની બંને ઉંચાઈનું સરેરાશ લઇ તેને પાયા વડે ગુણ્યું છે જો આપણે આ બધા જ સમલંબનો વિસ્તાર જોય્તો હોય તો આપણે તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખવું પડે તેને આ પ્રમાણે લખી શકાય i = 1 થી n સુધી સમલંબની ઉંચાઈ ડાબી બાજુએ ઉકાયેલ વિધેય હવે સમલંબની ઉંચાઈ ડાબી બાજુ પર વિધેયની કીમત f(x) સબ i - 1 + જમણી બાજુ પર વિધેયની કીમત f(xi) આખાના છેદમાં 2 ગુણ્યા પહોળાઈ થશે આમ તેને ઘણી બધી રીતે ઉકેલી શકાય અને તેની પહોળાઈ પણ જુદી જુદી હોઈ શકે લંબચોરસ કે સમલંબ કોઈ પણ આકાર હોઈ શકે આપણે તેને લંબચોરસમાં વિભાજીત કરી શકીએ જ્યાં વિધેયની ઉંચાઈ ડાબી બાજુની સીમા જમણી બાજુની સીમા અથવા બંનેના મધ્ય બિંદુને લઈને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય અથવા આપણે તેને સમલંબમાં વિભાજીત કરી શકીએ