રીમાનના સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિયત સંકલિત

આપણે અગાઉના વિડિઓમાં વક્રની અંદરનો વિસ્તાર શોધવા તે વિસ્તારને લંબચોરસમાં વિભાજીત કાર્ય અને તે લંબચોરસના વિસ્તારનો સરવાળો કરીને અંદાજિત સરવાળો મેળવ્યો આ પહેલું ઉદાહરણ હતું જેમાં લમનચોરસની પહોળાઈ સમાન હતી આપણે a અને b સીમાની વચ્ચે તેના સમાન ભાગ પડ્યા હતા અને લંબચોરસની ઊંચાઈ એ દરેક લંબચોરસની અધઃ સીમા જ્યાં વિધેય ઉકેલાયું છે તે હતી અને તેને સિગ્માના ચિન્હમાં દર્શાવ્યું જે કંઈક આ રીતે દેખાય છે પછી આપણે એ પરિસ્થિતિ જોઈ જ્યાં વિધેય ઊધ્વસીમા બિંદુ અથવા મધ્યબિંદુની કિંમત લઈને પછી આપણે એ પરિસ્થિતિ જોઈ જ્યાં ઉદ્ધવસીમા બિંદુ અથવા માધ્ય બિંદુની કિંમત લઈને વિધેયની ઊંચાઈ શોધી હતી અને પછી આપણે તેને સમલંબમાં પણ વિભાજીત કર્યું તો આ બધા જ રીમાનના સરવાળાના ઉદાહરણ છે આ બધા રીમાનના સરવાળાના ઉદાહરણો છે દરેક વખતે તે લંબચોરસ હશે નહિ તમે સમલંબનો ઉપયોગ પણ કરી શકો દર વખતે તેની પહોળાઈ સમાન હશે નહિ પરંતુ મેં અહીં સમાન પહોળાઈ વાળા ભાગ લીધા છે જેથી સમજવામાં સરળતા રહે અહીં આ જે માણસ છે તેના નામ પરથી રીમાનના સરવાળાનું નામ પડ્યું છે આ બનહદ રિમાન્ડ છે જેમને ગણિત શાસ્ત્રમાં યોગદાન આપ્યું જો તમે કલન શાસ્ત્ર જોશો તો શરૂઆતમાં રીમાનના સરવાળા જોવા મળશે અને રીમાનના સંકલિતને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ ન્યુટન અને લિબનીત બંનેએ સંકલિતનો ખ્યાલ આપ્યો પરંતુ રીમાનનો સંકલિતનો ખ્યાલ ખૂબ જ પ્રચલિત છે અથવા સંકલિત શું છે તેની તે સચોટ વ્યાખ્યા આપે છે તમે તેને રીમાનના સરવાળાના ઉદાહરણ તરીકે સમજી શકો આપણે અહીં n લંબચોરસ લીધા છે જેટલા વધુ n હશે તેટલો જ સારો અંદાજો મેળવી શકાય અને તેની વ્યાખ્યા પ્રમાણે તે વક્રની અંદરનો વિસ્તાર a થી b વચ્ચેનો વિસ્તાર જેનો ઉપયોગ રીમાનના સરવાળા માટે થાય છે રીમાનના આ સરવાળા માટે નહિ પરંતુ રીમાનના કોઈ પણ સરવાળા માટે n ની અનંત સુધીની કિંમતો માટે લક્ષ લઈએ n ની ઇન્ફિનિટી સુધીની કિંમત લઈએ તો હું થાય તે જોઈએ આપણે તેને ગ્રાફની મદદથી સમજીએ આ y અક્ષ છે અને આ x અક્ષ x અક્ષ અને આ y અક્ષ અને ધારો કે આ કોઈ વિધેય છે આપણે તેની સામનો લઈએ અહીં આ a છે અને આ b છે જો આપણે n ની અનંત સુધીની કિંમત લઈએ તો આપણને તેની સીમા વચ્ચે ઘણા બધા લંબચોરસ મળે આપણને અહીં ઘણા બધા લંબચોરસ મળે અને તેના આધારે વિસ્તારનો સારો અંદાજો મેળવી શકાય તેથી વર્કની નીચેનો વાસ્તવિક વિસ્તાર કંઈક આપ્રમાણે થશે a થી b ના સંકલિતમાં f(x)dx હવે આ કઈ રીતે તે જોઈએ અહીં ડેલ્ટા x એ આ દરેક લંબચોરસની પહોળાઈ છે અહીં આ અંતર આ પહોળાઈ ડેલ્ટા x થશે આ પણ ડેલ્ટા x છે આ પણ ડેલ્ટા x છે અને ડેલ્ટા x શું દર્શાવે છે તેના આધારે તે મળશે તે ખુબ જ નાનું હોઈ શકે પરંતુ 0 ન હોઈ શકે અહીં આ dx એ ખુબ જ નેનો ખુબ જ નેનો ડેલ્ટા x હોઈ શકે આપણી પાસે વિધેય ગુણ્યાં ખુબ જ નેનો ડેલ્ટા x છે અને આપણે a થી b સુધીમાં તેનો અનંત વખત સરવાળો કરી શકીએ જો આપણે તેને લંબચોરસની મદદથી ઉકેલીએ તો તેને ડાબી બાજુના રીમાનનો સરવાળો કહી શકાય આપણે જમણી બાજુની સીમા મધ્ય બિંદુ અને સમલંબનો ઉપયોગ કરીને પણ ઉકેલી શકીએ પરંતુ જો આપણે કોઈ ઉદાહરણમાં n ની અનંત સુધીની કિંમત લઈએ તો તે રીમાનની સંકલિતની વ્યાખ્યા આપે અને આ માત્ર વ્યાખ્યા છે હવે પછીના વિડિઓમાં તેને દાખલ જોઈશું