રીમાનના અંદાજનો પરિચય

આપણે આ વિડિઓમાં x = 1 થી x = 3 વચ્ચેના અંતરાલમાં વક્ર y = x નો વર્ગ + 1 ની નીચેનો વિસ્તાર શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ આપણે આ વિસ્તાર શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ અને સરખી પહોળાઇના 4 લંબચોરસને વક્રની અંદરના ભાગમાં દોરીને આપણે તેને શોધી શકીએ તો આપણે સૌપ્રથમ 4 લંબચોરસ દોરીએ તે કંઈક આ રીતે દેખાશે આપણે સમાન પહોળાઈ વાળા 4 લંબચોરસ દોરી રહ્યા છીએ આ રીતે દેખાશે આ પ્રમાણે આપણે હાજી ઉપરના લંબચોરસને વ્યાખ્યાયિત નથી કર્યું પરંતુ આપણે હવે જોઈએ કે જો તેને પહોળાઈ સમાન હોય તો તેની પહોળાઈ કઈ હોવી જોઈએ આપણે તેની પહોળાઈને ડેલ્ટા x કહી શકીએ આપણે અહીં આ પહોળાઈને ડેલ્ટા x કહી શકીએ માટે ડેલ્ટા x = કાપેલું કુલ અંતર આપણે અહીં 3 પાર પૂરું કર્યું તેથી 3 ઓછા આપણે જ્યાંથી શરુ કર્યું એટલે કે 1 1 ભાગ્યા આપણે 4 સમાન પહોળાના લંબચોરસ જોઈએ છે માટે ભાગ્યા 4 તેથી તેના બરાબર અડધું થશે માટે આ પહેલા અંતરાલમાં બે સીમાઓની વચ્ચે પહેલા અને બીજા લંબચોરસની વચ્ચે 1 .5 મળે ત્યાર બાદ આપણે અડધું 2 સુધી જઈએ છીએ ત્યાર બાદ આપણે અહીં 2 .5 લઈએ અને પછી અડધાથી 3 લઈએ હવે આપણે જોઈએ કે આ લંબચોરસની ઊંચાઈ કઈ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય ઊંચાઈને વ્યહયાયીત કરવા આપણે લંબચોરસની ડાબી બાજુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલી સીમાનો ઉપયોગ કરી શકીએ ઊંચાઈને વ્યહયાયીત કરવા આપણે લંબચોરસની ડાબી બાજુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલી સીમાનો ઉપયોગ કરી શકીએ અથવા વિધેય ડાબી બાજુન કિંમત આગળ ઉકેલાયું છે તે કિંમત લઈએ શકીએ અહીં આ પહેલા લંબચોરસમાં આ બિંદુ f (1) થશે અહીં આ બિંદુ f(1) થાય આપણે કહી શકીએ કે આ પહેલા લંબચોરસની ઊંચાઈ છે હવે બીજા લંબચોરસની ડાબી સીમાને લઈએ જ્યાં વિધેય 1 .5 આગળ ઉકેલાયું છે માટે અહીં આ f (1 .5) થશે અને આ આ તેની ઊંચાઈ થશે તેવી જરીતે આ ત્રીજું લંબચોરસ છે અને અહીં વિધેય 2 આગળ ઉકેલાયું છે તેથીઆ f(2) થશે આત્રીજું લંબચોરસ અને અંતિમ લંબચોરસ માટે વિધેય 2.5 આગળ ઉકેલાયું છે આ ચોથું લંબચોરસ તેથી અહીં આ f (2 .5) થશે એટલે કે તેની ઊંચાઈ 2 .5 થશે યાદ રાખો કે અહીં આપણે લમચોરસની ડાબી બાજુની સીમા અને વિધેય જ્યાં ઉકેલાયું છે તેના આધારે લંબચોરસની ઊંચાઈ મેળવી છે હવે આ બધા લંબચોરસનો સરવાળો કરીને વિસ્તારનો અંદાજો કઈ રીતે મેળવી શકાય સ્પષ્ટ રીતે જોઈએ તો આ સચોટ અંદાજ નથી કારણ કે આપણે અહીં આ બધો વિસ્તાર છોડી રહ્યા છીએ આપણે તેનો સમાવેશ નથી કરી રહ્યા પરંતુ આ એક અંદાજો જ છે જો કદાચ આપણી પાસે વધુ લંબચોરસ હોય તો વધુ સારો અંદાજો મેળવી શકાય હવે દરેક લંબચોરસનો વિસ્તાર મેળવીએ સૌપ્રથમ પહેલા લંબચોરસનો વિસ્તાર મેળવીએ પહેલા લંબચોરસનો વિસ્તાર બરાબર ઊંચાઈ જે f(1) છે ગુણ્યાં તેનો પાયો જે ડેલ્ટા x છે + બીજા લંબચોરસ માટે f(1 .5) જે તેની ઊંચાઈ છે ગુણ્યાં ડેલ્ટા x જે તેની પહોળાઈ છે + ત્રીજા લંબચોરસ માટે તેની ઊંચાઈ f(2) છે અને તેની પહોળાઈ ડેલ્ટા x છે અને ચોથા લંબચોરસ માટે તેની ઊંચાઈ f(2 .5) છે અને તેની પહોળાઈ ડેલ્ટા x છે આ કરવાથી આપણને વકર્ની અંદરનો અંદાજિત વિસ્તાર મળે આના બરાબર વકર્ની અંદરનો અંદાજિત વિસ્તાર હવે આપણે તેને ઉકેલીએ તો તેના બરાબર f(1) 1 નો વર્ગ + 1 એટલે કે 2 મળે 2 ગુણ્યાં ડેલ્ટા x એ અડધું છે અડધું + 1 .5 આગળ વિધેયનું સાદુંરૂપ આપીએ તો 1 .5 નો વર્ગ જે 2 .25 થશે + 1 એટલે કે 3 .25 3 .25 ગુણ્યાં અડધું + 2 આગળ વિધેયને ઉકેલીએ તો 2 નો વર્ગ + 1 એટલે કે 5 થશે ગુણ્યાં અડધું + 2 .5 આગળ વિધેયને ઉકેલતા 2 .5 નો વર્ગ જે 6 .25 થાય અને + 1 એટલે કે 7 .25 7 .25 ગુણ્યાં અઢઢું હવે આપણે આ દરેક પદમાંથી અધધને સામાન્ય લઇ શકીએ 2 + 3 .25 + 5 + 7 .25 હવે તેનું સાદુંરૂપ આપીએ 2 + 5 = 7 અને 3 .25 + 7 .25 એટલે કે તેના બરાબર 10 .50 થશે અને 10 .50 + 7 એટલે કે 17 .5 તેના બરાબર 1 /2 ગુણ્યાં 17 .5 તેના બરાબર 8 .75 જે આપણને અંદાજ આપે છે મેં અહીં જે પ્રમાણે વિધેય માટે દોર્યું છે તે ઓછું અંદાજ થશે કારણ કે આ બધા ગુલાબી ભાગનો સમાવેશ મેં કર્યો નથી તેથી તે ઓછું અંદાજ છે પરંતુ તે વક્રની નીચેના વિસ્તારનો અંદાજ છે હવે પછીના વિડિઓમાં આપણે અંદાજિત વિધેય અને અંદાજિત લંબચોરસની સંખ્યા લઈને તેને સામાન્ય બનાવીશું જેમાં આપણે લંબચોરસની ડાબી બાજુ નહિ પરંતુ જમણી સીમાનો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈ મેળવીશું અથવા મધ્યબિંદુનો ઉપયોગ કરીશું અથવા લંબચોરસનો ઉપયોગ કરીશું નહિ તેને બદલે કદાચ સમલંબનો ઉપયોગ કરીશું.