If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :14:14

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આપણે જોઈ ગયા કે આપણે સરળ આવર્ત ડોલકની ગતિને સમક્ષિતિજ સ્થાનના આલેખ પર દર્શાવી શકીએ. જેનો આલેખ કંઈક આ પ્રમાણે દેખાય અને તેનો કંપવિસ્તાર જે આ સંતુલિત સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર છે તેને આલેખ પર આ પ્રમાણે દર્શાવી શકાય. કઈંક આ પ્રમાણે સંતુલિત સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર અને આ આખી પ્રક્રિયાને પોતાના મૂળ સ્થાને પછી આવવા માટે લાગતો સમય એ તેનો આવર્તકાળ છે જેને આપણે T તરીકે દર્શાવીએ. જે અહીં આ શૃંગથી આ શૃંગ વચ્ચેનું અંતર થશે અથવા આ ગર્ત થી આ ગર્ત સુધીનું અંતર આમ sin અથવા cosin ના આલેખ વડે તમે કોઇપણ પદાર્થની ગતિને દર્શાવી શકો. જો તમારી પાસે કોઈક એવું ડોલક હોય કે જેનો કંપવિસ્તાર વધારે હોય તો તમે તેને શિરોલંબ દિશામાં ખેંચી શકો. તેનો આવર્તકાળ સમાન જ રહેશે. તે ફક્ત શિરોલંબ દિશામાં ખેંચાય. હવે જો કોઈ ડોલકનો આવર્તકાળ વધારે હોય તો તમે તેને સમક્ષિતિજ દિશામાં ખેંચી શકો,તેનો કંપવિસ્તાર સમાન જ રહેશે. પરંતુ ઘણી બધીવાર તમને ડોલકના સમીકરણની પણ જરૂર પડે છે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો એવું કયું સમીકરણ છે? જે આ આલેખને દર્શાવે? હવે આ આલેખનુ સમીકરણ એનો અર્થ શું થાય? અહીં આ આલેખ સમયના વિધેય તરીકે સમક્ષિતિજ x સ્થાન દર્શાવે છે. તે આ સંતુલિત સ્થાનથી દળે કેટલી દૂર સુધી સ્થળાંતર કર્યું તે દર્શાવે આ સમયના વિધેય તરીકે સ્થાન થશે. આપણને અહીં વિધેય જોઈએ છે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો સમયના વિધેય તરીકે આ દળના સ્થાનની કિંમત શું થાય? જો તમે આ સમીકરણમાં સમયની કોઈ પણ કિંમત મૂકો તો તમને આ દળનું એ જ સમક્ષિતિજ સ્થાન આપતું હોવું જોઈએ.જે આ આલેખ દર્શાવે છે.આ સમીકરણ કોઈપણ સમયે દળનું સ્થાન દર્શાવતું હોવું જોઈએ. તો આ સમીકરણ કેવું દેખાય? સૌ પ્રથમ એ વિચારીએ કે આ આલેખ sin વિધેયનો છે કે cosin વિધેયનો? તે શોધવા આપણે આ આલેખનાં પ્રારંભિક સ્થાનને જોઈએ.જયારે t બરાબર 0 હોય ત્યારે આ આલેખ મહતમથી શરૂ થાય છે તેથી આપણે cosin નો ઉપયોગ કરીશું કારણકે cosin મહત્તમથી શરુ થાય છે.જો તમને ત્રિકોણમિતીય વિધેય યાદ હોય તો cosin of 0 બરાબર 1 થશે. cosin મહત્તમ કિંમત મેળવી શકે તે 1 છે sin અને cosin બંને મહત્તમ કિંમત 1 મેળવી શકે.અહીં આ મહત્તમથી શરુ થાય છે તે t = 0 આગળ cosin નો આલેખ મહત્તમથી શરૂ થાય આમ આપણે અહીં cosin વિધેયનો ઉપયોગ કરીશું પરંતુ ફક્ત cosin વિધેય આ આલેખને દર્શાવી શકે નહીં મારે તેમાં કેટલાક ઘટકો ઉમેરવા પડશે cosin વિધેયની મહત્તમ કિંમત 1 હોઈ શકે જયારે આ આલેખની મહત્તમ કિંમત a છે a ની કિંમત કોઈપણ હોઈ શકે.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો સરળ આવર્ત ડોલકના કંપવિસ્તારની કિંમત હંમેશાં એક હશે નહિ માટે મારે અહીં કોઈ ચલ જોઈએ. જે આપેલા સરળ આવર્ત ડોલક માટે કંપવિસ્તાર દર્શાવે ધારો કે આપણે આ દળને 20 સેમી. અથવા 0.2 મીટર જેટલું પાછળ લઈએ છીએ માટે આ ચોક્કસ સરળ આવર્ત ડોલક માટેનો કંપવિસ્તાર 0.2 મીટર હોવો જોઈએ અને અહીં આ કિંમત 0.2 મીટર થવી જોઈએ. તેનો અર્થ એ થાય કે આનો કંપવિસ્તાર 1 જેટલો પણ નથી. આમ તે અહીં cosin ની મહત્તમ કિંમત મેળવતો નથી તે અહીં જે મહત્તમ કિંમત મેળવે છે તે 0.2 છે તો આપણે અહીં cosin વિધેયને કંપવિસ્તાર વડે ગુણી શકીએ.અહીં કંપ વિસ્તારનું મૂલ્ય કંઈ પણ હોય. 1 ગુણ્યાં એ કંપવિસ્તાર કરીશું તો તેનો અર્થ એ થાય કે આપણો x કંપવિસ્તાર જેટલો મોટો થઇ શકે અને આપણને અહીં તે જોઈએ છે. અહીં આ આલેખ કંપવિસ્તાર જેટલો મોટો હોવો જોઈએ હવે તમને કદાચ થશે કે આપણને સમીકરણ મળી ગયું તે a ગુણ્યાં cosin ઓફ t છે પરંતુ આ કામ કરશે નહિ આપણને આ સમયના વિધેય તરીકે જોઈએ છે જ્યારે આપણે આ સમીકરણમાં સમયની કિંમત મૂકીએ ત્યારે આપણને આ સમીકરણ આલેખનાં સ્થાનની કિંમત દર્શાવતું હોવું જોઈએ જે આ ક્યાં છે તે બતાવે તે 0.2 આગળ છે? 0.1આગળ છે? 0.45 મીટર આગળ છે? તે પ્રમાણે અને જો આપણે આ કૌંશમાં ફક્ત t મૂકીએ તો તે કામ કરશે નહિ કારણકે આપણે જાણીએ છીએ કે cosin of 0 બરાબર 1 થાય. હવે કઈ કિંમત આગળ આ cosin ફરીથી 1 મેળવે? જ્યારે આ કૌંશની અંદર 2 પાય હોય ત્યારે આપણે અહીં રેડિઅનનો ઉપયોગ કરીશું. cosin of 2 પાય બરાબર 1 થાય જો તમને એકમ વર્તુળની વ્યાખ્યા યાદ હોય તો તે કઈંક આ પ્રમાણે આવશે.તે અહીં આ કિંમત આગળ જ્યાંથી શરૂઆત કરી હતી ત્યાં જ પાછું આવે જો કઈંક 2 પાય જેટલું પરિભ્રમણ કરે તો ફરીથી તે જ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન થાય.તે પોતાની મૂળસ્થિતિ પર પાછું આવી જાય અને તેનો અર્થ એ થાય કે આ વિધેય દરેક 2 પાય જેટલી સેકન્ડ આગળ પોતાની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું આવે છે કારણકે t= વિધેયની કિંમત 1 છે અને t = 2 પાય આગળ વિધેયની કિંમત ફરીથી 1 છે માટે જો આપણે cosin વિધેયની વાત કરીએ તો તેનો આવર્તકાળ 2 પાય છે. પરંતુ આપણો પણ આવર્ત કાળ 2 પાય હોય એવું જરૂરી નથી જો આપણે આ ઉદાહરણ ની વાત કરીએ તો ધારો કે આપણો આવર્ત કાળ 6 સેકન્ડ છે હવે જો આ આવર્તકાળ 6 સેકન્ડ હોય તો આપણને એવું વિધેય નથી જોઈતું.જે દરેક 2 પાય સેકન્ડ પછી પુનરાવર્તિત થાય આપણને એવું વિધેય જોઈએ છે જે દરેક 6 સેકન્ડ પછી પુનરાવર્તિત થશે આ 3 સેકન્ડ,આ 6 સેકન્ડ,આ 9 સેકન્ડ,આ 12 સેકન્ડ તો આપણે તે કઈ રીતે મેળવી શકીએ? માટે આપણને અહીં ફક્ત t નથી જોઈતું.કારણકે આપણે જોઈ ગયા કે જો આપણી પાસે t હોય તો આ વિધેય દરેક 2 પાય સેકન્ડ આગળ પુનરાવર્તિત થાય છે કારણકે cosin વિધેયનો આવર્તકાળ 2 પાય સેકન્ડ છે તો આપણે તે કઈ રીતે કરી શકીએ? તેના માટે આપણે અહીં એક ચલને ઉમેરીશું.હું અહીં ઓમેગા લઈશ અને પછી તેનો ગુણાકાર t સાથે કરીશ અને પછી હું ઇચ્છું તેમ આ ઓમેગાની કિંમત લઇ શકું. હું આ ઓમેગાની કિંમત નાની અથવા મોટી લઈને આ વિધેયનો આવર્તકાળ ઈચ્છું તે પ્રમાણે લઈ શકું જો તમને યાદ હોય તો આપણે અગાઉ ઓમેગાનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ ઓમેગા બરાબર delta theta ના છેદમાં delta t ખૂણામાં થતો ફેરફાર છેદમાં સમય માં થતો ફેરફાર હવે તમે કહેશો કે આ ઓમેગા અહીં યોગ્ય લાગતું નથી કારણ કે આ દળ આગળ પાછળ ગતિ કરે છે આ દળ વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરતું નથી પરંતુ મહત્વની બાબત એ છે કે જે પ્રક્રિયાઓ પુનરાવર્તિત થાય છે જે પ્રક્રિયાઓ વર્તુળમાં થાય છે તેને તમે એકમ વર્તુળ પર દર્શાવી શકો.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તમે અહીં આ બિંદુથી શરૂઆત કરો છો t = 0 આગળ તમે આ બિંદુથી શરૂઆત કરો છો આપણે આ દળને પાછળ ખેંચીએ છીએ અને પછી છોડી દઈએ છીએ માટે એકમ વર્તુળ પર પ્રારંભિક બિંદુ અહીં થશે ત્યારબાદ આપણે સંતુલિત સ્થાન સુધી જઈએ છીએ જે આ પરિભ્રમણમાં ચોથા ભાગનું છે જે એકમ વર્તુળ પર અહીં આવશે ત્યારબાદ આપણે અહીં સુધી જઈએ છીએ સ્પ્રિંગનું સંપૂર્ણ સંકોચન થાય છે તે એકમ વર્તુળ પર અહીં આવશે અડધું પરિભ્રમણ હવે તે સંતુલિત સ્થાન પર પાછું આવે છે જે એકમ વર્તુળ પર અહીં આવશે અને પછી આપણે આપણા પ્રારંભિક સ્થાન પર પાછા આવીએ છીએ જે અહીં એક પરિભ્રમણ થાય. આમ તમે જોઈ શકો કે આપણે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓને એકમ વર્તુળ પર કઈ રીતે દર્શાવી શકીએ? હવે તમે કહેશો કે આપણે આને વ્યાખ્યાયિત કઈ રીતે કરી શકીએ? અહીં એકમ વર્તુળ પર આ એક પરિભ્રમણ 2 પાય રેડિઅન જેટલું થાય.તે 2 પાય રેડિઅન થશે જો આપણે રેડિઅનનો ઉપયોગ કરી રહ્યા હોઈએ તો એક પરિભ્રમણ બરાબર 2 પાય રેડિઅન થાય અને તે આ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા કેટલો સમય લે છે? જો આપણે સરળ આવર્ત ડોલકની વાત કરીએ તો એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા તે આવર્તકાળ જેટલો સમય છે માટે છેદમાં આવર્તકાળ આવે તેથી આપણને ઓમેગા બરાબર 2 પાય ના છેદમાં t મળે હવે તમારે અહીં આ કિંમત મૂકવી જોઈએ. જો આપણે અહીં 2 પાયના છેદમાં t જેટલી કિંમત મૂકીએ તો અહીં આ સમીકરણ આપણને જે રીતે જોઈએ છે તે રીતે આ આલેખનું પુનરાવર્તન કરશે માટે તમે અહીં આ સમીકરણને લો તેને કોપી કરીને પેસ્ટ કરો હવે અહીં ઓમેગા લખવાની જગ્યાએ આપણે આ કરી શકીએ ઓમેગાને કોણીય વેગ કહેવામાં આવે છે કોઈક વાર તેને કોણીય આવૃત્તિ પણ કહેવામાં આવે છે માટે આપણે અહીં ઓમેગાની જગ્યાએ 2 પાયના છેદમાં T લખીએ અને પછી તેનો ગુણાકાર સ્મોલ t સાથે કરીએ અહીં t એ ચલ છે 2 પાય અચળ છે આવર્તકાળ પણ અચળ છે માટે તે તમને જુદા જુદા સમયે જુદું જુદું સ્થાન આપે પરંતુ ચોક્કસ સરળ આવર્ત ડોલક માટે આવર્તકાળ અચળ હોય છે આપણે અહીં t ની કિંમત કઈ પણ લઈ શકીએ જો આપણે t બરાબર 0 લઇએ તો અહીં આ કૌંશની અંદરનું આખું પદ 0 થઇ જશે તો cosin of 0 બરાબર 1 થાય પરંતુ હવે શું થશે? આપણે હવે એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કર્યું છે તેથી આપણે t ની જગ્યાએ T લઈએ. આ બંને t કેન્સલ થઈ જશે અને તમને cosin of 2 પાય મળે જેના બરાબર એક થાય.તેનો અર્થ એ થાય કે આ આલેખ દરેક 30 સેકન્ડ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે અને આપણને એ જોઈએ છે દરેક વખતે તેનો આવર્તકાળ 2 પાય રેડિઅન હોય આપણને એવું નથી જોઈતું હવે આપણી પાસે એવું વિધેય છે જેમાં આપણે t ની કિંમત કોઈ પણ મૂકી શકીએ જ્યારે તમે t ની કિંમત T જેટલી મૂકશો ત્યારે તમને cosin of 2 પાય મળે જેની કિંમત 1 થાય અને આ cosin નો આલેખ પુનરાવર્તિત થશે આમ આપણે અહીં આ સમીકરણ લઈએ તેને કોપી કરીને પેસ્ટ કરીએ આપણે અહીં આવર્તકાળ અને કંપવિસ્તાર જોઈએ તે લખી શકીએ હવેજો આપણે આ ચોક્કસ આલેખ માટે વિધેય શોધીએ તો અહીં કંપવિસ્તાર 0.2 મીટર છે માટે આપણે આ કંપવિસ્તારની જગ્યાએ 0.2 મીટર લખીશું.0.2 મીટર ગુણ્યાં cosin of યાદ રાખો કે મને અહીં cosin નો આલેખ જોઈએ છે કારણ કે તે મહત્તમ થી શરૂ થાય છે હવે જો આલેખ અહીંથી શરૂ થતો હોય તો આપણે cosin ની જગ્યાએ sin વિધેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ કારણ કે sin વિધેય 0 થી શરૂ થાય છે પરંતુ આ આલેખ મહત્તમથી શરૂ થાય છે તેથી આપણે cosin નો ઉપયોગ કરીશું.cosin of 2 પાયના છેદમાં T હવે અહીં આ ઉદાહરણમાં આપણો આવર્તકાળ 6 સેકન્ડ છે માટે આપણે T ની જગ્યાએ 6 સેકન્ડ લખીશું.હવે લોકો વારંવાર ગૂંચવણ અનુભવે છે તેઓ કહે છે કે આપણે t ની જગ્યાએ શું લખી શકીએ? ખરેખર t ની જગ્યાએ કોઈ કિંમત મુકવાની જરૂર નથી જો તમને સમીકરણ જોઈતું હોય જો તમને સમયના વિધેય તરીકે સમક્ષિતિજ સ્થાન જોઇતું હોય તો તમે તેને આ જ પ્રમાણે રાખો અહીં t એ ચલ છે તમે t ની જુદી જુદી કિંમત લઇ શકો હવે જો હું એમ જાણવા માંગતી હોવ કે 9 સેકન્ડ આગળ આ દળનું સ્થાન શું છે? તો હું અહીં t ની જગ્યાએ 9 સેકન્ડ લખી શકું.ત્યારબાદ હું આ વિધેયની કિંમત શોધી શકું અને તે મને 9 સેકન્ડ આગળ આ દળનું સ્થાન આપશે.જો હું 12.25 સેકન્ડ આગળ આ દળનું સ્થાન જાણવા માંગતી હોવ તો હું અહીં t ની જગ્યાએ 12.25 સેકન્ડ લખી શકું.ત્યારબાદ આ વિધેયને ઉકેલી શકું.જે મને 12.25 સેકન્ડ આગળ આ દળનું સ્થાન આપે આમ આ વિધેયનો ઉપયોગ કરીને સરળ આવર્ત ડોલકની ગતિ દર્શાવી શકાય.હવે આપણે એક બીજું ઉદાહરણ જોઇએ જો તમને કોઈક એમ પૂછે કે આ સરળ આવર્ત ડોલક દર્શાવે એવું સમીકરણ બનાવો તો તે ખૂબ જ સરળ છે સૌપ્રથમ તમે એ નક્કી કરો કે આપણે અહીં sin નો ઉપયોગ કરીશું કે cosin વિધેયનો? તમે કહેશો કે તે અહીં મહત્તમથી શરૂ થતું નથી તે શૂન્ય આગળથી પણ શરુ થતું નથી. જો તે શૂન્ય આગળથી શરૂ થતું હોય તો કંઈક આ પ્રમાણેનો દેખાય તે અહીં ન્યૂનતમ બિંદુ આગળથી શરૂ થાય છે માટે આપણે હજુ પણ cosin વિધેયનો ઉપયોગ કરીશું માટે x of t બરાબર હવે અહીં કંપવિસ્તાર શું થાય?અહીં તેનો કંપ વિસ્તાર 3 મીટર છે સંતુલિત સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર 3 મીટર છે.માટે હું અહીં 3 મીટર લખીશ ગુણ્યાં cosin વિધેય કારણકે તે અહીં ન્યૂનતમથી શરુ થાય છે. તે મહત્તમ થી શરૂ થાય કે ન્યૂનતમથી આપણે cosin વિધેયનો ઉપયોગ કરીશું. cosin of 2 પાયના છેદમાં આવર્તકાળ હવે અહીં આવર્તકાળ કેટલો છે તમે અહીં આલેખને જુઓ આલેખને પોતાના મૂળ સ્થાને પાછો આવવા કેટલો સમય લાગે છે.તે અહીં ન્યૂનતમ બિંદુ આગળથી શરુ થાય છે એક આખું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે અને ફરી પાછું ન્યૂનતમ બિંદુએ ક્યાં સમય આગળ આવે છે? તે ચાર સેકન્ડ છે માટે 2 પાયના છેદમાં 4 સેકન્ડ ગુણ્યાં t જે ચલ છે આમ t ના વિધેય તરીકે આ મારુ સ્થાન થશે.પરંતુ મેં હજુ પૂરું નથી કર્યું.અહીં આજે મેં સમીકરણ લખ્યું છે તે આ પ્રમાણે શરૂ થાય તેનું છે પરંતુ અહીં આલેખ નીચેથી શરૂ થાય છે માટે આપણે અહીં ઋણ સાથે તેનો ગુણાકાર કરીશું જેથી cosin વિધેય ઋણ cosin વિધેયમાં ફેરવાઈ જશે અને તે અહીંથી શરૂ થશે અહીં કંપવિસ્તાર 3 જ રહે જો કોઈ તમને એમ પૂછે કે કંપવિસ્તાર શું છે? તો કંપવિસ્તાર એ સંતુલિત સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય છે જે + 3 મીટર રહે.પરંતુ તમે અહીં તેનો ઋણ સાથે ગુણાકાર કરો.જેથી તમને negative cosin મળશે અને તે અહીં નીચેથી શરૂ થાય અને તમારો વિધેય કંઈક આ પ્રમાણેનું થશે.આમ યાદ રાખો કે જો તમે અહીંથી શરૂઆત કરો તો તે ધન cosin થશે. જો તમે અહીંથી શરૂઆત કરો તો તે ઋણ cosin થશે તેવી જ રીતે જો તમે અહીં થી શરૂઆત કરો તો તે ધન sin થશે અને જો તમે અહીં થી શરૂઆત કરો તો તે ઋણ sin થશે.આમ જો આપણે પુનરાવર્તન કરીએ તો સરળ આવર્ત ડોલકની ગતિ દર્શાવવા તમે અહીં આ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરી શકો તેના બરાબર + , - કંપવિસ્તાર ગુણ્યા sin of અથવા cosin of 2 પાયના છેદમાં T ગુણ્યાં t અહીં 2 પાયના છેદમાં T એ કોણીય વેગ અથવા કોણીય આવૃત્તિ દર્શાવે અને જો તમે ઉપરથી શરૂઆત કરો તો તમે ધન cosin નો ઉપયોગ કરો જો નીચેથી શરૂઆત કરો તો ઋણ cosin નો ઉપયોગ કરો.જો 0 થી શરૂઆત કરો અને આ પ્રમાણે ઉપર જાઓ તો ધન sin વિધેયનો ઉપયોગ કરો.જો 0 થી શરૂઆત કરો અને આ રીતે નીચે જાઓ તો ઋણ sin વિધેયનો ઉપયોગ કરો.