આવર્ત ગતિ ભાગ 2 (કલનશાસ્ત્ર સાથે)

મેં અગાઉના વિડિઓમાં સ્પ્રિંગના સમીકરણને ફરીથી લખ્યું હતું.મેં બળ બરાબર દળ ગુણ્યાં પ્રવેગ લખ્યું હતું અને આપણે એ શોધી રહ્યા હતા કે જો x એ t નું વિધેય હોય તો પ્રવેગ શું થાય? અહીં વેગ એ સમયની સાપેક્ષે x નું વિકલીત છે. સ્થાનમાં થતો ફેરફાર છેદમાં સમયમાં થતો ફેરફાર અને પ્રવેગ એ વેગનું વિકલીત છે અથવા સ્થાનનું દ્વિતીય વિકલીત છે તમે અહીં x of t નું 2 વાર વિકલીત લો. તેથી અહીં આ સમીકરણને તે બધા પદોમાં ફરીથી લખીએ તેથી હું અહીંથી આ બધાને દૂર કરીશ આપણે આ સમીકરણને ફરીથી લખીએ હવે આપણે અહીં જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ એ સ્થાનના વિધેયનું દ્વિતીય વિકલીત છે તેથી આપણે આ સમીકરણને ફરીથી લખીએ m ગુણ્યાં હુતેને આ પ્રમાણે લખીશ x prime prime of t અહીં સ્થાન એ સમયનો વિધેય છે બરાબર - k ગુણ્યાં x of t અને હવે તમે જોશો કે અહી આ વિકલ સમીકરણ છે.વિકલ સમીકરણ શું છે? વિકલ સમીકરણ એક સમીકરણ છે જેમાં એક જ સમીકરણમાં અથવા એક જ પદાવલીમાં વિધેય અને વિધેયનું વિકલીત બન્ને હોય છે અને આ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ ફક્ત સંખ્યા નથી આપણે અગાઉ જે સમીકરણને ઉકેલ્યા હતા તેમનો ઉકેલ સંખ્યા ક્યાં તો સંખ્યા ગણ ત્યાં તો કોઈક રેખા હતી પરંતુ આ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ કોઈક વિધેય અથવા વિધેયોનો ગણ થશે અને આપણે અહીં આ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીશું નહીં પરંતુ અગાઉના વીડિયોમાં આપણે જે કરી ગયા તેની સમજનો ઉપયોગ કરીશું આ વિકલ સમીકરણો ઉકેલ શું હોઈ શકે? તેનું અનુમાન લગાવવા આપણે તેનો ઉપયોગ કરીશું અને જો તે કામ કરે તો પછી આપણે કોઈપણ સમયે સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા દળનું સ્થાન ક્યાં હશે? તે જાણી શકીએ આમ અહીં આ વિકલ સમીકરણ છે અને આપણે આ સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના આલેખને જે પ્રમાણે દોર્યો તે પ્રમાણે આપણી સમજ કહે છે કે તે a જેટલા કંપવિસ્તાર સાથેનો cosin વક્ર છે. તે એક cosin of omega t છે હવે આપણે આ વિધેય લઈએ અને જોઈએ કે તે આ વિકલ સમીકરણને સંતોષે છે કે નહીં. જો x of t બરાબર a cosin of omega t હોય તો t ની સાપેક્ષે તેનો વિકલીત શું થશે? x prime of t બરાબર જો તમને વિકલીત યાદ ન હોય તો તમે તેના વિડીયો જોઈ શકો omega t નું tની સાપેક્ષે વિકલીત omega t થશે અને પછી તેનો ગુણાકાર આ અદિશ સાથે થશે. માટે a ગુણ્યાં omega હું અહીં ચેઇનરોલનો ઉપયોગ કરી રહી છું. cosin of omega t નું omega t ની સાપેક્ષે વિકલીત minus sin of omega t થશે. કંઈક આ પ્રમાણે હવે t ની સાપેક્ષે આનું દ્વિતીય વિકલીત શોધીએ જે t ની સાપેક્ષે આનું વિકલીત થશે માટે x prime prime of t બરાબર ફરીથી omega t નું t ની સાપેક્ષે વિકલીત omega t થશે માટે - a ગુણ્યાં omega નો વર્ગ અને પછી sin of omega t નું વિકલીત cosin of omega t . sin નું વિકલીત cosin થાય પરંતુ આપણી પાસે હજુ પણ આ minus ની નિશાની રહેશે હવે જોઈએ કે આ સાચું છે કે નહીં અને જો આ સાચું હોય તો આપણે આ પ્રમાણે લખી શકીએ m ગુણ્યાં t ની સાપેક્ષે x નું દ્વિતીય વિકલીત જે આ થશે - a ગુણ્યાં omega નો વર્ગ ગુણ્યાં cosin of omega t આ પ્રમાણે બરાબર - k ગુણ્યાં મૂળભૂત વિધેય જે x of t છે અને x of t બરાબર આ થશે a ગુણ્યાં cosin of omega t મેં ફક્ત અહી આ સમીકરણમાં x of t ના દ્વિતીય વિકલીતની કિંમત મૂકી અને x of t ની કિંમત મૂકી. મેં અહીં સ્પ્રિંગના સમીકરણમાં f = m ગુણ્યાં a મૂક્યું.હવે પ્રવેગએ સ્થાનનું દ્વિતીય વિકલીત છે જેનાથી મને અહીં વિકલ સમીકરણ મળ્યું અને પછી આપણે આ જે પ્રમાણે દોર્યું છે તે પ્રમાણે મેં કહ્યું કે x of t બરાબર આ થશે. આપણે અહીં x of t લીધું તેનું પ્રથમ વિકલીત અને દ્વિતીય વિકલીત શોધ્યું અને પછી આ સમીકરણમાં દ્વિતીય વિકલીતની કિંમત મુકી અને મૂળ વિધેયની કિંમત મૂકી.હવે આપણે આ સમીકરણને ફરીથી લખીએ અને તેના માટે હું અહીંથી આ આકૃતિને દૂર કરીશ. મને આશા છે કે તમને આ આકૃતિ યાદ રહી ગઈ હશે આપણે આને પણ દૂર કરીએ અને આને પણ દૂર કરીએ હવે હું અહીં આ સમીકરણને ફરીથી લખીશ - m ગુણ્યાં a ગુણ્યાં omega નો વર્ગ ગુણ્યાં cosin of omega t બરાબર - k ગુણ્યાં a ગુણ્યાં cosin of omega t હવે અહીં બંને બાજુથી minus ની નિશાની દૂર થઈ જશે બંને બાજુથી minus ની નિશાની દૂર થઈ જશે જો આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ a વડે ભાગીએ તો બંને બાજુથી a પણ કેન્સલ થઈ જશે અહીં સમીકરણની બંને બાજુએથી a પણ કેન્સલ થઈ જશે અને આપણી પાસે ફક્ત m ગુણ્યાં omega નો વર્ગ ગુણ્યાં cosin of omega t બરાબર k ગુણ્યાં cosin of omega t બાકી રહે. હવે શું સાચું હોય? તો આ સમીકરણ સાચું થશે જો m ગુણ્યાં omega નો વર્ગ બરાબર k હોય તો આ સમીકરણ સાચું થશે અથવા omega નો વર્ગ બરાબર k ના છેદમાં m અથવા omega બરાબર વર્ગમૂળ માં k ના છેદમાં m. આમ આપણે શોધી નાખ્યું કે x of t શું હોવું જોઈએ? જો x of t બરાબર આ હોય અને omega બરાબર આ હોય તો આ વિકલ સમીકરણ સાચું છે હવે આપણે મૂળ વિધેય શોધી નાખ્યું જે સમયના વિધેય તરીકે સ્પ્રિંગનું સ્થાન દર્શાવે છે માટે x of t બરાબર a ગુણ્યાં અહીં આ cosin ના વક્રનો કંપવિસ્તાર a છે a ગુણ્યાં cosin of હવે omega ની જગ્યાએ આ લખીએ. વર્ગમૂળમાં k ના છેદમાં m ગુણ્યા t . આમ આપણે કલનશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કર્યા વગર આ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવ્યો હવે જો તમે મને એમ પૂછો કે 5.8 સેકન્ડ આગળ x શું થાય? તો હું તમને તે શોધી બતાવીશ.