PV આકૃતિ શું છે?

નીચે બતાવ્યા મુજબ ચુસ્ત રીતે બંધ પણ ખસી શકે તેવા પિસ્ટન સાથે પાત્રમાં ભરેલા વાયુને ધ્યાનમાં લો. આપણે નીચેની તરફ પિસ્ટનને દબાવીને વાયુ પર કાર્ય કરી શકીએ, અને આપણે બર્નર પર પાત્રને મૂકીને અથવા ઉકળતા પાણીમાં તેને ડુબાડીને વાયુને ગરમ કરી શકીએ. જયારે આપણે વાયુ પર આ બધી થરમોડાઈનેમિક્સની પ્રક્રિયા કરીએ, ત્યારે વાયુનું દબાણ અને કદ બદલાઈ શકે.

દબાણ અને કદમાં થતા આ ફેરફારને સમજવાની સૌથી સરળ રીત દબાણ કદ આકૃતિ અથવા PV આકૃતિ નો ઉપયોગ કરવાની છે. PV આકૃતિ પરનું દરેક બિંદુ વાયુની જુદી જુદી અવસ્થાને અનુરૂપ છે. નીચે બતાવ્યા મુજબ, દબાણ શિરોલંબ અક્ષ પર છે, અને કદ સમક્ષિતિજ અક્ષ પર છે.

PV આકૃતિ પરનું દરેક બિંદુ વાયુ માટે જુદી જુદી અવસ્થાઓ દર્શાવે છે (દરેક શક્ય દબાણ અને કદ માટે એક). વાયુ જેમ થર્મોડાયનેમિક્સમાં જાય, તેમ વાયુની અવસ્થા PV આકૃતિમાં ખસે છે, તે ખસે તેમ પથ અનુસરીએ (આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ).

PV આકૃતિમાં બતાવેલી માહિતી આપણને આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$delta, U, ઉષ્મા વહન $Q$Q, અને વાયુ પર થતા કાર્ય $W$W વિશે વિધાનો બનાવવા દે છે. નીચેના વિભાગમાં, PV આકૃતિમાં છુપાયેલી માહિતી કઈ રીતે દર્શાવાય એ સમજાવીશું.

ધારો કે નીચેની PV આકૃતિમાં વાયુ આપેલી અવસ્થાથી શરૂઆત કરે છે.

જો આપણે પિસ્ટનને નીચે દબાવીએ, તો વાયુનું કદ ઘટશે, તેથી અવસ્થા નાના કદ તરફ ડાબી બાજુ ખસે (નીચે આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ). વાયુનું સંકોચન થાય છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે ધન કાર્ય $W$W વાયુ પર કરવામાં આવે છે.

સમાન રીતે, જો આપણે વાયુનું વિસ્તરણ કરાવીએ, પિસ્ટનને ઉપર લઈએ, તો વાયુનું કદ વધશે, તેથી અવસ્થા વધુ કદ તરફ જમણી બાજુ ખસે (નીચે આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ). વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે ઋણ કાર્ય વાયુ પર કરવામાં આવે છે.

જો આપણે PV આકૃતિ પર અવસ્થાને ડાબી બાજુ ખસતી જોઈએ તો આપણે કહી શકીએ કે વાયુ પર થતું કાર્ય ધન છે. સમાન રીતે, જો આપણે PV આકૃતિ પર અવસ્થાને જમણી બાજુ ખસતી જોઈએ તો આપણે કહી શકીએ કે વાયુ પર થતું કાર્ય ઋણ છે.

થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રમ દરમિયાન થતું કાર્ય નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.

થતું કાર્ય બરાબર વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ શા માટે છે એનું કારણ

અને $P\Delta V$P, delta, V ફક્ત ઉપર બતાવ્યા મુજબ લંબચોરસની $\text{ઊંચાઈ} \times \text{ પહોળાઈ}$start text, ઊ, ં, ચ, ા, ઈ, end text, times, start text, space, પ, હ, ો, ળ, ા, ઈ, end text, છે, તેથી કાર્ય બરાબર ક્ષેત્રફળ છે. જો આપણે દબાણનો એકમ $\text{પાસ્કલ}$start text, પ, ા, સ, ્, ક, લ, end text અને કદનો એકમ $\text{m}^3$start text, m, end text, cubed લઈએ તો આપણને જે ઊર્જા મળશે તેનો એકમ $\text{જુલ}$start text, જ, ુ, લ, end text હશે.

આપણે નિશાનીઓ સાથે ખાસ ધ્યાન રાખવાની જરૂર છે. જો PV આકૃતિ પર પથ ડાબી બાજુ હોય, તો કદ ઘટે છે, અને વાયુ પર ધન કાર્ય થાય છે. જો PV આકૃતિ પર પથ જમણી બાજુ હોય, તો કદ વધે છે, અને વાયુ પર ઋણ કાર્ય થાય છે (ઉપરની આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ) તેથી $W_\text{by gas}=-W_\text{on gas}$W, start subscript, start text, b, y, space, g, a, s, end text, end subscript, equals, minus, W, start subscript, start text, o, n, space, g, a, s, end text, end subscript.

પથ કયો આકાર લે છે એ મહત્વનું નથી, વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ હજુ પણ થતું કાર્ય જ દર્શાવે. કોઈ પણ વક્ર પથ માટે આપણે ક્ષેત્રફળને અતિસૂક્ષ્મ પાતળા લંબચોરસમાં વિભાજીત કરી શકીએ.

દરેક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ દરેક અતિસૂક્ષ્મ તબક્કા દરમિયાન થતું કાર્ય દર્શાવે, અને ક્ષેત્રફળનો સરવાળો આખા પ્રક્રમ માટે થતું કુલ કાર્ય દર્શાવે

એવું કહેવામાં આવે છે કે આ પ્રક્રિયાઓ ધીમે થાય છે એવું આપણે હંમેશા ધારી શકીએ જેથી આખો વાયુ દરેક ક્ષણ આગળ થર્મોડાયનેમિક સંતુલન આગળ હોઈ શકે (જેમ કે વાયુમાં એકસમાન તાપમાન). જો તમને આ નવું લાગતું હોય, તો તમને પ્રશ્ન પૂછવાનો હક છે. તેમછતાં, વાસ્તવિક દુનિયાની કોઈ પણ પ્રક્રિયા તદ્દન આ જરૂરિયાતને સંતોષે નહિ, ઘણી બધી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા આદર્શ પરિસ્થિતિઓની ખામીને કારણે અસર ન પામે એમ બતાવવામાં આવે છે.

યાદ રાખો કે આંતરિક ઊર્જા અને તાપમાન સમપ્રમાણમાં $U \propto T$U, \propto, T છે. તેથી જો તાપમાન વધે છે, તો આંતરિક ઊર્જા પણ વધવી જ જોઈએ.

હવે, આપણે જે વાયુને ધ્યાનમાં લઇ રહ્યા છીએ તે આદર્શ વાયુ હોય તો આપણે જાણીએ છીએ કે,

અને જો વાયુને મુક્ત થાવ માટેની જગ્યા ન હોય (તેથી અણુઓની સંખ્યા $N$N અચળ છે) તો આપણે કહી શકીએ કે $PV \propto T$P, V, \propto, T. આનો અર્થ થાય કે,

તેથી જો દબાણ ગુણ્યા કદની $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis રાશિ વધે, તો તાપમાન $T$T અને આંતરિક ઊર્જા $U$U પણ વધવી જોઈએ (જે $\Delta U$delta, U ને ધન બનાવે છે). આને નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

આનો અર્થ થાય કે PV આકૃતિમાં અવસ્થા કોઈ પણ સમયે શરૂઆત કરી હતી ત્યાંથી ઉપર અને જમણી બાજુ આગળ પુરી થાય, તો $\Delta U$delta, U ધન સંખ્યા છે. સમાન રીતે, અવસ્થા કોઈ પણ સમયે શરૂઆત કરી હતી ત્યાંથી નીચે અને ડાબી બાજુ આગળ પુરી થાય, તો $\Delta U$delta, U ઋણ સંખ્યા છે.

હવે જો PV આકૃતિમાં અવસ્થા ઉપર અને ડાબી બાજુ જાય (દબાણ વધે છે અને કદ ઘટે છે), અથવા નીચે અને જમણી બાજુ જાય (દબાણ ઘટે છે અને કદ વધે છે), તો રાશિ $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis ખરેખર વધે કે ઘટે છે એ નક્કી કરી શકાતું નથી (કારણકે એક ચલ વધે છે અને બીજો ચલ ઘટે છે). ખાતરી કરવા માટે, રાશિ $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis ખરેખર ઘટે છે કે વધે છે એ નક્કી કરવા માટે આલેખના અક્ષ પર $P$P અને $V$V ની પ્રારંભિક અને અંતિમ કિંમતો ચકાસવાની જરૂર છે.

એ નોંધવું પણ જરૂરી છે કે જો રાશિ $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis ન બદલાય, તો તાપમાન $T$T અને આંતરિક ઊર્જા $U$U પણ બદલાશે નહિ. ઉદાહરણ તરીકે, જો દબાણ બમણું થાય, અને કદ અડધું થાય, તો $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis કિંમત સમાન જ રહે છે. ($2P \times \dfrac{V}{2}=PV$2, P, times, start fraction, V, divided by, 2, end fraction, equals, P, V). તાપમાન $T$T અને આંતરિક ઊર્જા $U$U પ્રક્રિયા એ જ કિંમત સાથે પૂર્ણ કરે જેની સાથે તેમણે શરૂઆત કરી હતી.

PV આકૃતિ આપેલી છે, આપણે વાયુમાં પ્રવેશતી કે તેમાંથી બહાર નીકળતી પરિણામી ઉષ્માની નિશાની નક્કી કરવા માટે થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ $\Delta U=Q+W$delta, U, equals, Q, plus, W પર આધાર રાખવો પડે છે.

હવે આપણે આ જાણીએ છીએ, ઘણા ઉદાહરણમાં $Q$Q ની નિશાની શોધવા માટે આપણે $\Delta U$delta, U અને $W$W ની નિશાની શોધવા માટે જે જાણીએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરી શકીએ. તેથી ઉદાહરણ તરીકે, જો આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર ધન અને કાર્ય ઋણ હોય,

$Q=(+)-(-)=+\qquad$Q, equals, left parenthesis, plus, right parenthesis, minus, left parenthesis, minus, right parenthesis, equals, plus ...પરિણામી ઉષ્મા ધન હોવી જોઈએ.

જે અર્થપૂર્ણ છે, વાયુ પર કાર્ય થતું હોય ત્યારે પણ જો આંતરિક ઊર્જા વધતી હોય, તો તે બતાવે છે કે વાયુ પર થતા કાર્યમાંથી તેના વડે ગુમાવેલી ઊર્જા કરતા તેમાં પ્રવેશતી ઉષ્મા વધુ હોવી જોઈએ.

અથવા ઉદાહરણ તરીકે, જો આંતરિક ઊર્જા ઘટે અને કાર્ય ધન હોય,

$Q=(-)-(+)=-\qquad$Q, equals, left parenthesis, minus, right parenthesis, minus, left parenthesis, plus, right parenthesis, equals, minus ...પરિણામી ઉષ્મા ઋણ હોવી જોઈએ.

જે અર્થપૂર્ણ છે, વાયુ પર કાર્ય થતું હોય ત્યારે પણ જો આંતરિક ઊર્જા ઘટતી હોય, તો તે બતાવે છે કે વાયુ પર થતા કાર્યમાંથી તેના વડે મેળવેલી ઊર્જા કરતા તેના વડે ગુમાવેલી ઉષ્મા વધુ હોવી જોઈએ.

નીચેની PV આકૃતિમાં પ્રક્રમ દરમિયાન બંધ પાત્રમાં આદર્શ વાયુ લેવામાં આવે છે.

નીચેની PV આકૃતિમાં પ્રક્રમ દરમિયાન બંધ પાત્રમાં આદર્શ વાયુ લેવામાં આવે છે. વાયુનું પ્રારંભિક કદ $V_i=0.25 \text{m}^3$V, start subscript, i, end subscript, equals, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed છે અને વાયુનું અંતિમ કદ $V_i=0.25 \text{m}^3$V, start subscript, i, end subscript, equals, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed છે. વાયુનું પ્રારંભિક દબાણ $P_i=70,000 \text{ Pa}$P, start subscript, i, end subscript, equals, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text છે અને વાયુનું અંતિમ દબાણ $P_f=160,000 \text{ Pa}$P, start subscript, f, end subscript, equals, 160, comma, 000, start text, space, P, a, end text છે.

ઉકેલ:

આપણે PV આકૃતિ પર વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ નક્કી કરીને થતું કુલ કાર્ય શોધી શકીએ. આપણે ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે આપણે કુલ ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીએ, નીચે કદ અક્ષ સુધી બધું જ. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે ઉપર બતાવેલા ઉદાહરણમાં વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળને ત્રિકોણ અને લંબચોરસ તરીકે જોઈ શકીએ (નીચે બતાવ્યા મુજબ).

હવે આપણે ત્રિકોણ અને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો શોધ્યો લંબચોરસની ઊંચાઈ દબાણ $P_i$P, start subscript, i, end subscript છે અને લંબચોરસની પહોળાઈ કદમાં તફાવત $\Delta V=V_f-V_i$delta, V, equals, V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript છે. તેથી,

$\blueD{\text{ક્ષેત્રફળ 1}}=\text{ઊંચાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \quad$start color #11accd, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 1, end text, end color #11accd, equals, start text, ઊ, ં, ચ, ા, ઈ, end text, times, start text, પ, હ, ો, ળ, ા, ઈ, end text (લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ)

$\blueD{\text{ક્ષેત્રફળ 1}}=P_i \times \Delta V \quad$start color #11accd, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 1, end text, end color #11accd, equals, P, start subscript, i, end subscript, times, delta, V (ઊંચાઈ $P_i$P, start subscript, i, end subscript છે અને પહોળાઈ $\Delta V$delta, V છે)

$\blueD{\text{ક્ષેત્રફળ 1}}=(70,000\text{ Pa}) \times (0.75\text{m}^3-0.25\text{m}^3)\quad$start color #11accd, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 1, end text, end color #11accd, equals, left parenthesis, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis, times, left parenthesis, 0, point, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis (કિંમતો મૂકો)

$\blueD{\text{ક્ષેત્રફળ 1}}=35,000 \text{ J} \quad$start color #11accd, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 1, end text, end color #11accd, equals, 35, comma, 000, start text, space, J, end text (ગણતરી કરો)

આપણે $A=\dfrac{1}{2}bh$A, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h નો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ.

$\greenD{\text{ક્ષેત્રફળ 2}}=\dfrac{1}{2}bh \quad$start color #1fab54, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ)

$\greenD{\text{ક્ષેત્રફળ 2}}=\dfrac{1}{2}b(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, left parenthesis, 160, comma, 000, start text, P, a, end text, minus, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis (ત્રિકોણની ઊંચાઈ દબાણમાં તફાવત $P_f-P_i$P, start subscript, f, end subscript, minus, P, start subscript, i, end subscript છે)

$\greenD{\text{ક્ષેત્રફળ 2}}=\dfrac{1}{2} (0.75\text{m}^3-0.25\text{m}^3)(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 0, point, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 160, comma, 000, start text, P, a, end text, minus, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis (ત્રિકોણનો પાયો કદમાં તફાવત $V_f-V_i$V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript છે)

$\greenD{\text{ક્ષેત્રફળ 2}}=22,500 \text{ J} \quad$start color #1fab54, start text, ક, ્, ષ, ે, ત, ્, ર, ફ, ળ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, 22, comma, 500, start text, space, J, end text (ગણતરી કરો)

તેથી વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $35,000 \text{ J} + 22,500 \text{ J}=57,500 \text{ J}$35, comma, 000, start text, space, J, end text, plus, 22, comma, 500, start text, space, J, end text, equals, 57, comma, 500, start text, space, J, end text છે

આ ક્ષેત્રફળ પ્રક્રમ દરમિયાન થતા કુલ કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય દર્શાવે છે. વાયુ પર થતા કાર્યની નિશાની નક્કી કરવા માટે આપણે નોંધીએ કે પ્રક્રમ અવસ્થાને જમણી બાજુ ખસેડે છે, જેના કારણે વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે. જ્યારે વાયુનું વિસ્તરણ થાય, ત્યારે વાયુ પર થતું કાર્ય ઋણ છે. તેથી,

$W_\text{વાયુ પર}=-57,500 \text{ J}\quad$W, start subscript, start text, વ, ા, ય, ુ, space, પ, ર, end text, end subscript, equals, minus, 57, comma, 500, start text, space, J, end text (ઉજવણી કરો)