If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

દોરી પર સ્થિત તરંગો

ડેવિડ સમજાવે છે કે સ્થિત તરંગો શા માટે અને કેવી રીતે ઉદ્ભવે છે, તેમજ દોરી પરના સ્થિત તરંગો માટે તરંગલંબાઈ કઈ રીતે નક્કી કરી શકાય. David SantoPietro દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

જો તમારી પાસે માધ્યમ હોઈ અને તમે તેમાં વિક્ષોભ ઉત્પન કરો તો તમે તરંગ બનાવી શકો અને જયારે તમે માધ્યમના તરંગ બનાવો છો ત્યારે તેની સીમા નથી હોતી બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો જો માધ્યમ ખુબ જ મોટું હોય તો આ તરંગ ક્યારે તેની સીમા સુધી પોહચે નહિ તમે કોઈ પણ તરંગ લંબાઈ ધરાવતું અને કોઈ પણ આવૃત્તિ ધરાવતું તરંગ બનાવી શકો હવે જો તમે આ તરંગ ને ખુબ જ નાના માધ્યમ માંથી પસાર કરો જેની પાસે સીમા હશે કંઈક આ પ્રકારની તો જયારે આ તરંગ આ માધ્યમની સીમા સુધી પોહ્ચે ત્યારે તેનું પરાવર્તન થશે અને તેનો અર્થ એ થાય કે તે તરંગ પોતાની સાથે જ ઓવર લેપ થાય અને જયારે આ પ્રકારનું કંઈક થાય ત્યારે આપણે એકે નવા પ્રકારના તરંગ બનાવી શકીએ જેને આપણે સ્તિથ તરંગ એટલે કે સ્ટેન્ડિંગ ન્યૂઝ કહીશું તેનો અર્થ શું થાય તેના વિશે આપણે થોડી જ વાર માં વાત કરીશું પરંતુ આ તરંગો મહત્વના એટલા માટે છે કે જયારે આ સ્તિથ તરંગો ઉદભવે છે ત્યારે તેઓ ચોક્કસ પ્રકારની તરંગની લંબાઈ અને આવૃત્તિ ને પસંદ કરે છે ફક્ત અમુક પ્રકારની તરંગ લંબાઈ અને અમુક પ્રકારની આવૃત્તિ જ આ સ્તિથ તરંગો ને બનાવી શકે અને આ જ કારણથી સ્તિથ તરંગો નો અભ્યાશ ખુબ મહત્વનું છે તો આપણે હવે સ્તિથ તરંગ નું અભ્યાશ કરીએ અને એક ઉધારણ લઈએ ધારો કે તમારી પાસે એક દોરી છે અને તમે આ દોરી ના બને છેડા ને ખીલી વડેબાંધો છો આમ તમે આ દોરીના અંતે તાથી કોઈ પણ પ્રકારની ગતિને અટકાવો છો આ દોરી તેના મધ્ય ભાગમાં ઉપર નીચે થઇ શકે પરંતુ તેના છેડાઓ આગળ ઉપર નીચે થઇશકે નહિ જો તમે ગિટારને જુઓ તો ગિટારના તાર બને છેડે નિશ્ચિત કરેલા હોય છે તેવી જ રીતે પિયાનો ના તાર પણ બને છેડે નિશ્ચિત કરેલા હોય છે આમ આ સ્તિથ તરંગો પાછળનું ભૌતિક વિજ્ઞાન તમે આ બધા સાધનો માં કેવા પ્રકારની ધૂન મેળવો છો તે નક્કી કરે છે અહીં આ બિંદુઓ ખાતરી કરાવે છે કે ત્યાં કોઈ ગતિ નથી આપણે દોરીના બને છેડે ખીલીઓ બાંધી છે માટે આ બને બિંદુઓ આગળ કોઈ પણ પ્રકારની ગતિ થશે નહિ ત્યાં કોઈ ગતિ તાથી નથી એવું કહેવા ને બદલે ભૌતિક સાસ્ત્રીઓ એ આ બિંદુઓ ને નામ આપ્યા છે અને આપણે આ બિંદુઓ ને નિસવન્ધ બિંદુઓ કહીશું નિસ્પંધ બિંદુઓ એટલેકે નોડ્સ નિસ્પન્દહ બિંદુ નો અર્થ થાય કે તે છેડા આગળ કોઈ ગતિ તથી નથી તેથી અહીં આ દોરી માટે બને છેડા આગળ નિષ્પન્દ બિંદુઓ છે અને આપણે જોઈ શકીશું કે જયારે આપણે દોરીમાં સ્તિથ તરંગો ઉત્પન્ન કરીએ ત્યારે દોરીની મધ્ય માં નિસ્પન્દ બિંદુઓ હોઈ શકે પરંતુ તે હોવા જોઈએ નહિ આપણે ખાતરી કરીશું કે નિસ્પન્દ બિંદુઓ માત્ર આ દોરીના બને છેડા આગળ છે તો હવે અહીં શા માટે સ્તિથ તરંગો ઉત્પન્ન થાય અને આ સ્તિથ તરંગો કઈ રીતે ઉત્પન્ન થશે તમે અહીં આ દોરીને થોડી ઉપર કરો છો અને અહીં વિક્ષોભ ઉત્પન્ન કરો છો હવે અહીં આ વિક્ષોભ આ દોરી પર પસરણ પામશે કારણકે તરંગ આ જ પ્રમાણે કરે છે અને જયારે તે અહીં આવશે આ સીમા આગળ ત્યારે તેની સાથે અથડાય ને પરાવર્તન પામશે અને તે ફરી પાછું ડાબી બાજુએ જશે આમ જયારે દોરી સીમા સાથે અથડાય જે નિશ્ચિત છે અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો જયારે તે નિસ્પંદ બિંદુ સાથે અથડાય ત્યારે આ વિક્ષોભ ફ્લિપ થઇ જશે એટલે કે ઉલ્ટાઈ જશે તે હવે આ પ્રમાણે ઉલટાઈ જશે અને તેનું આ દોરી પર પસરણ થશે જયારે તે દરેક વખતે સીમા સાથે અથડાય ત્યારે તે પોતાની દિશા બદલે અને તે ફ્લિપ થાય હવે આપણે એક જ નિસ્પંદ સવંદન મોકલવાને બદલે ધારો કે ઘણા બધા તરંગ સવંદન મોકલીએ છીએ જે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાય આ રીતે આપણે એક સરળ આવર્ત તરંગ મોકલીએ છીએ હવે જયારે તેનું આ સીમા પાસેથી પરાવર્તન પામશે ત્યારે તે આની ઉપર જ પરાવર્તન થશે કારણકે હવે આ આગળ ની ધાર આ પ્રમાણે ઉલટાયેલી જશે અને તે આપણે તે પસરણ પામશે આ બધા તરંગો ને આ તરંગ ને મળે અને તેની સાથે ઓવર લેપ થાય જેનાથી આપણને કુલ તરંગ મળશે અને આ કુલ તરંગ એ બે તરંગ નું બનેલું છે એ એક એવું તરંગ જે જમણી બાજુ ગતિ કરી રહ્યું છે વતા બીજું તરંગ જે ડાબી બાજુ ગતિ કરી રહ્યું છે તમે ગતિ કરણ અને તરંગો ના સંપાતી કરણ નો ઉપયોગ કરીને આ શું થાય તે શોધી શકીશું તમે અહીં ઈચ્છો તે તરંગ લંબાઈ મોકલી શકો અને તે તરંગ લંબાઈ પાછી પરાવર્તીત થશે તો તમને જેનાથી કુલ તરંગ મળશે એ વિશિષ્ટ ન પણ હોય તે કદાચ કઈ આ પ્રકારનું પણ હોઈ શકે જે રસપ્રદ ન હોય તેમ છતાં ત્યાં ચોક્કસ તરંગ લંબાઈ એવી હશે જે સ્તિથ તરંગો ઉત્પન્ન કરશે અને તે કેવા દેખાય એ હું તમને થોડી જ વાર માં બતાવીશ હવે તમે આ વિશિષ્ટ તરંગ લંબાઈ ને કઈ રીતે શોધી શકો તમે તમારી જાતને પ્રશ્ન પૂછો હું અહીં આ દોરી પર કઈ તરંગ લંબાઈ દોરી શકું જેથી મને દોરીના બને છેડે નિસ્પંદ બિંદુઓ મળે અહીં આ વિસ્તરણ માં કઈ તરંગ લંબાઈ બંધ બેસે જેથી આપણને આ બને છેડે નિસ્પંદ મળે તેથી તરંગો ના આ જટિલ સંપાતી કરણ ને ઉમેરવા ને વબદલે આપણે જુદી જુદી તરંગ લંબાઈ દોરીએ અને તેંમાંથી કઈ બંધ બેસે છે તે જોઈએ આપણે હવે તેનો પ્રયત્ન કરીએ અહીં થી આ ભાગ અહીં થી આ બધા ને દૂર કરીએ આપણે અહીં જુદી જુદી તરંગ લંબાઈ દોરીએ અને જોઈએ કે તેમાંથી કઈ બંધ બેસે છે સરળ આવર્ત તરંગ સિમ્પલ હાર્મોનિક વેવ કેવું દેખાય તે આપણે જાણીએ છીએ તે કંઈક આવું દેખાય છે જો આપણે અહીં 0 થી શરૂઆત કરીએ કારણકે આપણે એક સાથે કરીએ છીએ કે અહીં ડાબી બાજુ ના છેડા આગળ આપણી પાસે નિસ્પંદ બિંદુઓ છે તો આ આલેખનો આકાર કેવો હોવો જોઈએ જેથી હું બીજા છેડે આવેલા નિસ્પંદ બિંદુઓ સુધી પોહચી શકું પ્રથમ શક્યતાઓ કંઈક આ પ્રમાણે આવશે જો હું અહીં થી શરૂઆત કરું તો મને હવે પછીનું નિસ્પંદ બિંદુ ક્યાં મળે છે મને હવે પછીનું નિસ્પંદ બિંદુ અહીં મળશે માટે પ્રથમ બિંદુનો આકાર આ હોઈ શકે અને તે કદાચ સૌથી મોટી અને સૌથી લાંબી શક્યતા છે જે કંઈક આ પ્રમાણે આવશે તે કંઈક આ રીતે દેખાય અહીં આ પ્રથમ શક્ય સ્તિથ તરંગ છે જે તમે આ દોરી પર બનાવી શકો અને આપણે તેને મૂળભૂત તરંગ લંબાઈ મૂળભૂત તરંગ લંબાઈ એટલે કે ફંડામેન્ટલ વિવલેન્ગ્થ કહીશું આપણને બાકીની જે બધી તરંગ લંબાઈ મળશે તેની સામે આ તરંગ લંબાઈ ખુબ જ મોટી છે તમે અહીં આ દોરી પર બાકીના સ્થિત તરંગ પણ મેળવી શકો પરંતુ આ તરંગ લંબાઈ સૌથી વધારે છે જો તમે આ દોરીને એ જેમ ઈચ્છે તેમ દોલીત થવા દો તો તે મૂળભૂત તરંગ લંબાઈ પસંદ કરશે તો આપણને અહીં શું જોવા મળશે આપણને દોરી હવામાં આ રીતે જોવા મળશે નહિ અહીં આ સ્તિથ તરંગ છે માટે તેનું શૃંગ ડાબી કે જમણી બાજુએ ગતિ કરશે એવું જોવા મળે નહિ પરંતુ તે ઉપર નીચે ગતિ કરતું હોય એમ જોવા મળે માટે જયારે પણ આપણે સ્તિથ તરંગો દોરીએ ત્યારે અહીં નીચે આ પ્રમાણે ત્રુટક રેખા દોરીએ છીએ ત્રુટક રેખા દોરીએ છીએ કંઈક આ રીતે જે આ ઘાટી રેખાનું પ્રતિબિંબ છે કારણકે અહીં આ આખું શૃંગ ઉપરથી નીચેની તરફ આવશે અને ફરી પાછું ઉપર જશે તે ઉપર નીચે દોલનો કરશે તે ઉપર નીચે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે તે કદાચ આ રીતે પણ દેખાય શકે આ પ્રમાણે અથવા તે લગભગ આ પ્રમાણે પણ દેખાય શકે આ રીતે પરંતુ તે આ પ્રમાણે ઉપર નીચે દોલનો કરશે અને આપણે તેને સ્તિથ તરંગ કહીએ છીએ કારણકે તે ડાબી બાજુ કે જમણી બાજુ ગતિ કરતું નથી અને અહીં આ મૂળભૂત તરંગ લંબાઈ છે હવે પછીની શક્યતા કેવી દેખાય આપણે અહીં આ બિંદુથી શરૂઆત કરીએ અને ત્યાર બાદનું નિસ્પંદ બિંદુ ક્યાં આવશે તે જોઈએ પ્રથમ નિસ્પંદ બિંદુ અહીં આવશે જે આપણી પહેલી શક્યતા હતી તો આપણે હજુ આગળ જઈએ અને જોઈએ કે નિસ્પંદ બિંદુ ક્યાં આવે છે તે અહીં આવશે તો આપણી પછીની શક્યતા આ હોવી જોઈએ પછીનું શક્ય સ્તિથ તરંગ આ હોવું જોઈએ જે આમાં બંધ બેસે અને તે હવે કેવું દેખાશે તે અહીં આ પ્રમાણે ઉપર જઈને નીચે આવશે અને ત્યાર બાદ કંઈક આ રીતે દેખાશે તે અહીં આ નિસ્પંદ બિંદુ સુધી પોહચે આ ત્યાર પછીની તરંગ લંબાઈ છે અહી કોઈક વાર તેનું બીજી હાર્મોનિક પણ કહેવામાં આવે છે બીજી એટલા માટે કારણકે અહીં આ બીજી શક્યતા છે અને હાર્મોનિક કારણકે આ બધા અનુનાદ છે જયારે તમે સંગીત ના સાધનો સાથેના અનુનાદ એટલે કે રેજોરન્સ વિશે વાત કરો ત્યારે આ શબ્દ ને ઘણું સાંભળશો હવે ત્રીજી હાર્મોનિક કેવું દેખાશે આપણે અહીંથી શરૂઆત કરીએ આપણને આ પ્રમાણે જઈએ તો આ મૂળભૂત સ્થાને ત્યાર બાદ આ પ્રમાણે જઈએ તો આ બીજી હાર્મોનિક છે અને હજુ આગળ જઈએ તો અહીં આ ત્રીજી હાર્મોનિક માટે તમે અહીં આ પ્રમાણે ઉપર જાવ ત્યાર બાદ નીચે આવો ફરી પાછું ઉપર જાવ અને ત્યાર બાદ ઉપર જઈને આ રીતે નીચે આવો તો અહીં આ ત્રીજી હાર્મોનિક થશે ત્રીજી હાર્મોનિક હવે તમે અહીં જોઈ શકો કે તમને આ પ્રમાણે આગળ ને આગળ વધી શકો તમે આવા અનંત બનાવી શકો હવે અહીં શું થઇ રહ્યું છે તેનું નિરીક્ષણ કરીએ આ સ્તિથ તરંગો માં ખરેખર શું થાય છે હવે આ ત્રીજી હાર્મોનિક પર આ જે બિંદુઓ છે આ પ્રમાણે અને જો હું અહીં આ ઘાટ ની રેખાનું પ્રતિબિંબ દોરું તો તે કંઈક આ રીતે જોવા મળશે થોડા સમય બાદ આપણને આ ત્રુટક રેખા જોવા મળશે કદાચ અડધા પરિભ્રમણ પછી અહીં આ શૃંગ નીચે આવે છે આ ગત ઉપર જાય છે આ શૃંગ નીચે આવે છે તેઓ અહીં ઉપર નીચે દોલનો કરે છે પરંતુ તમે જોશો કે અહીં આ બિંદુ ત્યાં જ રહે છે તે ઉપર નીચે ગતિ કરતું નથી માટે તે બિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ એટલે કે ર્નોલ્ડ છે નોર્ડ છે અને તેવી જ રીતે આ બિંદુ પણ નોર્ડ છે આ તરંગો જમણી બાજુ પસરણ પામે છે ત્યાર બાદ ડાબી બાજુ તેમનું પરાવર્તન થાય છે તો અહીં આ બિંદુ અને અહીં આ બિંદુ આગળ તમને બે તરંગો ની વચ્ચે વિનાશક વ્યતીકરણ મળે છે અહીં આ બને બિંદુ આગળ તમને વિનાશક વ્યતીકરણ મળે તેવી જ રીતે જો આપણે આ બિંદુઓની વાત કરીએ જ્યાં આપણને મહત્તમ સ્થાનાંતર મળે છે ત્યાં તરંગો કઈ રીતે ભેગા થાય છેકે જેથી આપણને સહાયક વ્યતીકરણ મળે છે આમ નિસ્પંદ બિંદુઓ એ વિનાશક બિંદુઓ છે જ્યાં તરંગ કેન્સલ થાય છે અને તે યોગ્ય છે કારણકે આપણને ત્યાં કોઈ પ્રકારનું ગતિ જોવા મળતી નથી અહીં જે બિંદુ આપણને મહત્તમ સ્થાનાંતર મળે છે તે બધા જ સહાયક બિંદુઓ છે આપણે તે બિંદુઓને પણ નામ આપવું જોઈએ અને આપણે તે બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુ એટલે કે ઍનટાઇનોર્ડ કહીશું કારણકે આ બિંદુ આગળ મહત્તમ ગતિ થાય છે હવે કદાચ તમારે આ દોરીની લંબાઈ ના સંધરબ માં તમને કઈ કઈ તરંગ લંબાઇઓ મળશે તે ગાણિતિક રીતે શોધવું પડે તમે તેને દોરીને પણ જોઈ શકો પરંતુ તમે તેને તે ગાણિતિક રીતે કેવી રીતે મેળવશો હું અહીંથી આ બધા ને દૂર કરીશ આપણે અહીં ગાણિતિક રીતે કઈ રીતે લખી શકાય તે જોઈશું ધારો કે અહીં મારી પાસે આ પ્રકારની એક દોરી છે ધારો કે આ દોરીની લંબાઈ 10 મીટર છે અને આપણને પ્રથમ સ્થિત તરંગ કંઈક આ રીતે દેખાતું હતું તે કંઈક આ રીતે હતું હવે જો આ દોરીની લંબાઈ 10 મીટર હોય તો અહીં આ તરંગ ની તરંગ લંબાઈ કેટલી હશે તમે 10 મીટર કહેશો પરંતુ તરંગ લંબાઈ 10 મીટર નથી અહીં આ એક ભૂરી તરંગ લંબાઈ નથી જો આપણે અહીં આ તરંગ લંબાઈ ભાત જોઈએ જેનો ઉપયોગ આપણે કર્યો હોય તો તો અહીં આ એક કોઈ તરંગ લંબાઈ કંઈક આ પ્રકારની આવશે આ એક તરંગ લંબાઈ હશે પરંતુ આ ફક્ત અડધી તરંગ લંબાઈ છે જો તમે આ એક તરંગ લંબાઈ જોવા માંગો તો મારે અહીંથી તેને આ રીતે લંબાવું પડે તો હું આ રીતે દોરું તો હવે તે આખી એક તરંગ લંબાઈ થશે માટે આ 10 મીટર અને આ 10 મીટર અહીં આખી તરંગ લંબાઈ નો સમાવેશ તથો નથી પરંતુ જો તેનો સમાવેશ તથો હોય તો આ તરંગ લંબાઈ 20 મીટર થાય હવે પછીની તરંગ લંબાઈ કેવું દેખાય છે એક યાદ રાખો કે તે કઈક આવું દેખાતું હોય તેની પાસે મધ્ય માં એક નિસ્પંદ બિંદુ તે કંઈક આ રીતનું દેખાતું હતું જયારે આ મૂળભૂત તરંગ લંબાઈ પાસે મધ્યમ માં કોઈ નિસ્પંદ બિંદુ નથી પરંતુ તે કઈ નિસ્પંદ બિંદુ છે ફરીથી જો આ દોરીની લંબાઈ 10 મીટર હોય તો આ તરંગ લંબાઈ કેટલી થાય તે એક દમ સરળ છે અહીં આ એક આખું તરંગ માટે તેની તરંગ લંબાઈ 10 મીટર છે આમ અહીં તરંગ લંબાઈ 10 મીટર છે કારણકે આ 10 મીટર ની લંબાઈ દોરીમાં એક આખી તરંગ લંબાઈ ધરાવતું તરંગ બંધ બેસે છે હવે ત્રીજી હાર્મોનિક કેવી દેખાતી હતી તે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાતી હતી તેની પાસે મધ્ય માં બે નિસ્પંદ બિંદુ હતા કંઈક આ પ્રમાણે મૂળભૂત હાર્મોનિક પાસે મધ્ય માં કોઈ નિસ્પંદ બિંદુ નથી બીજી હાર્મોનિક પાસે મધ્ય માં એક છે ત્રીજી હાર્મોનિક પાસે મધ્ય માં બે છે ચોથી હાર્મોનિક પાસે મધ્ય માં ત્રણ હશે અને આ પ્રમાણે તમે આગળ જઈ શકો હવે આની તરંગ લંબાઈ શું છે ઘણી વખત આ શોધવું લોકો માટે અઘરું બની જાય છે અહીં એક તરંગ લંબાઈ આ થશે પરંતુ આપણી દોરીની લંબાઈ આ છે તો લંબાઈનો કયો અપૂર્ણાંક આ બાકીની તરંગ લંબાઈ થાય તો અહીં આ તરંગ લંબાઈએ લંબાઈનો કયો અપૂર્ણાંક છે અહીં આ તરંગ લંબાઈ એ આખી દોરીના લંબાઈ ના 2/3 ગણા છે 2/3 ગુણ્યાં 10 મીટર જેને 20 મીટર ના છેદમાં 3 પણ લખી શકાય હવે ચોથી હાર્મોનિક કેવી દેખાય જો આપણે ચોથી હાર્મોનિક દોરીએ તો તે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે તે કંઈક આ રીતે આવશે હવે આની તરંગ લંબાઈ શું થાય આ તરંગ લંબાઈ અડધી દોરીનો સમાવેશ કરે છેમાટે તરંગ લંબાઈ બરાબર આ દોરીની લંબાઈ નું અડધું થાય એટલે કે તેના બરાબર 5 મીટર આપણે આ રીતે આગળ ને આગળ વધી શકીએ જો હવે આપણે પાંચમી હાર્મોનિક દોરીએ તો તે કેવી દેખાય પાંચમી હાર્મોનિક કંઈક આ રીતે દેખાય તે કંઈક આ પ્રમાણે આવશે તે કંઈક આ રીતે જોવા મળે પાંચમી હાર્મોનિક ના મધ્ય માં આપણને 4 નિસ્પંદ બિંદુઓ જોવા મળે આ રીતે મેં અહીં એક પણ હાર્મોનિક પ્રમાણમાં દોરી નથી પરંતુ આશા છે કે તમને તેમની સમજ પડી ગયી હશે હવે અહીં તે તરંગ લંબાઈ આટલી છે માટે તરંગ લંબાઈ બરાબર આ દોરીની આખી લંબાઈ ના 2 ના છેદમાં 5 ગણા માટે 2 ગુણ્યાં 10 મીટર જે 20 મીટર થશે ભાગ્યા 5 માટે આના બરાબર 4 મીટર હવે જો કોઈ તમને 43 મી હાર્મોનિક પૂછે તો જો કોઈ તમને એમ પૂછે કે 43 મી હાર્મોનિક ની તરંગ લંબાઈ શું છે હું અહીં 43 વખત આ દોરીશ નહિ અને પછી લંબાઈ નું કયું અપૂર્ણાંક બંધ બેસે છે તે શોધીશ નહિ પરંતુ અહીં એક પેર્ટન છે હું તમને તે પેર્ટન બતાવીશ હું અહીં આ પ્રથમ હાર્મોનિક ની તરંગ લંબાઈને 2 ગુણ્યાં 10 મીટર ભાગ્યા 1 લખીશ ત્યાર બાદ આ બીજી હાર્મોનિક ને 2 ગુણ્યાં 10 ભાગ્યા 2 લખીશ તેવી જ રીતે આ ત્રીજી હાર્મોનિક ને 2 ગુણ્યાં 10 મીટર ભાગ્યા 3 લખીશ આ ચોથી હાર્મોનિક ને 2 ગુણ્યાં 10 મીટર ભાગ્યા 4 લખીશ અને પછી આ પાંચમી હાર્મોનિક ને 2 ગુણ્યાં 10 જે મીટર ભાગ્યા 5 લખીશ આશા છે કે તમેં અહીં એક પેર્ટન જોઈ શકો જો મને N માં હાર્મોનિક ની તરંગ લંબાઈ જોઈતી હોય અહીં N બરાબર 1 2 3 4 માટે N બરાબર પૂર્ણાંક સંખ્યા છે 1 2 3 આ રીતે આગળ ને આગળ તો હું અહીં 2 ગુણ્યાં લંબાઈ લઈને હું અહીં 10 મીટર ની જગ્યાએ કેપિટલ L લખીશ અહીં દોરીની કોઈ પણ લંબાઈ ને લાગુ પડી શકાય દોરીની બને બાજુ નિસ્પંદ બિંદુ હોવા જોઈએ 2 ગુણ્યાં L ભાગ્યા N કરીને હું કોઈ પણ હાર્મોનિક ની તરંગ લંબાઈ શોધી શકું જો હું 84 મી હાર્મોનિક ની તરંગ લંબાઈ શોધવા માંગુ તો તેના બરાબર 2 ગુણ્યાં દોરીની લંબાઈ ભાગ્યા 84 થશે જો હું 33 મી હાર્મોનિક ની તરંગ લંબાઈ શોધવા જાણવા માંગુ તો તેના બરાબર 2 ગુણ્યાં દોરીની લંબાઈ ભાગ્યા 33 થશે યાદ રાખો કે જયારે આપણે અહીં આ સૂત્ર તારવ્યું ત્યારે આપણે આ તરંગો દોર્યા જેમાં છેડા ના બને બિંદુઓ નિસ્પંદ બિંદુઓ છે માટે આ સમીકરણ ધારે છે કે તમારી પાસે નિસ્પંદ બિંદુ છે અને મોટે ભાગે તમેં આ જ પ્રમાણેની પરીસ્તીથી જોવા મળશે કારણકે સંગીતના મોટા ભાગના સાધનો માં બને છેડા નિશ્ચિત હોય છે આમ જયારે તમે ચોક્કસ વિસ્તાર માં તરંગ નું પસરણ કરો અને તે તરંગ નું જયારે સીમા સાથે અથડાય ત્યારે તેનું પરાવર્તન થશે અને તે પોતાની સાથે જ ઓવર લેપ થશે જેના કારણે તમને સહાયક વ્યતિકરણ અને વિનાશક વ્યતિકરણ મળે ચોક્કસ તરંગ લંબાઈ માટે તમે સ્તિથ તરંગ બનાવી શકો અને તેનો અર્થ એ થાય કે આ તરંગો ઉપર અને નીચે દોલનો કરે છે ડાબી અને જમણી બાજુ નહિ અને આ સ્તિથ તરંગો માં એવા બિંદુઓ જ્યાં કોઈ પણ પ્રકારની ગતિ તથી નથી તેને આપણે નિસ્પંદ બિંદુઓ કહીશું અને એવા બિંદુઓ જેના આપણને મહત્તમ સ્થાનાંતર મળે છે તેને આપણે પર્શપ્રદ બિંદુઓ કહીશું બને છેડે નિશ્ચિત કરેલી દોરી પરના સ્તિથ તરંગ માટે તમે શક્ય તરંગ લંબાઈ શોધી શકો પરંતુ ખાતરી કરો કે સ્તિથ તરંગ એ સરળ આવર્ત તરંગ નો આકાર લે છે જેની પાસે બને છેડે નિસ્પંદ બિંદુઓ છે અને જો તમે આ પ્રમાણે કરો તો બને છેડે નિસ્પંદ બિંદુ ધરાવતી દોરી માટે તમને સ્તિથ તરંગ ની શક્ય તરંગ લંબાઈ નું સૂત્ર મળશે જેના બરાબર 2 ગુણ્યાં દોરીની લંબાઈ ભાગ્યા હાર્મોનિક ની સંખ્યા