જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

લઘુગણકનો પરિચય

લઘુગણક શું છે અને તેને કઈ રીતે ઉકેલી શકાય તે શીખીએ. 

આ લેશન પહેલાં તમારે શેની સાથે પરિચિત હોવાની જરૂર છે

તમારે ઘાતાંક સાથે પરિચિત હોવા જોઈએ, ખાસ કરીને ઋણ ઘાતાંક.

તમે આ લેશનમાં શું શીખશો

તમે લઘુગણક શું છે તે શીખશો, અને કેટલાક મૂળભૂત લઘુગણકને ઉકેલશો આ તમને લઘુગણકિય પદાવલિ અને વિધેય સાથેના ભવિષ્યના કાર્ય માટે તૈયાર કરશે.

લઘુગણક શું છે?

લઘુગણક એ ઘાતાંક વિશે વિચારવાની બીજી રીત છે.
ઉદાહરણ તરીકે, આપણે જાણીએ છીએ કે 2 ની 4th ઘાત બરાબર 16. આને ઘાતાંકીય સમીકરણ વડે 24=16 દર્શાવી શકાય.
હવે, જો કોઈ આપણને પૂછે કે, "2 ની કઈ ઘાત બરાબર 16 થાય?" જવાબ 4 આવશે. આને લઘુગણકીય સમીકરણ log2(16)=4 વડે દર્શાવી શકાય, "lતેને લોગ બેઝ ટૂ ઓફ સિક્સટીન ઇઝ ફોર" એમ વંચાય.
24=16log2(16)=4
બંને સમીકરણ સંખ્યાઓ 2, 4, અને 16 ની વચ્ચે સમાન સંબંધ જ દર્શાવે છે, જ્યાં 2 આધાર છે અને 4 ઘાતાંક છે.
તફાવત એ છે કે ઘાતાંકીય સ્વરૂપ ઘાત, 16, અલગ કરે છે જયારે લઘુગણકીય સ્વરૂપ ઘાતાંક, 4, અલગ કરે છે.
અહીં સમાન લઘુગણકીય અને ઘાતાંકીય સમીકરણના વધુ ઉદાહરણ છે.
લઘુગણકીય સ્વરૂપઘાતાંકીય સ્વરૂપ
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

લઘુગણકની વ્યાખ્યા

ઉપરના ઉદાહરણને સામાન્ય લઇએ તો તેના પરથી લઘુગણકની ઔપચારિક વ્યાખ્યા મળે છે.
logb(a)=cbc=a
બંને સમીકરણ a, b, અને c ની વચ્ચે સમાન સંબંધ જ દર્શાવે છે.
  • b આધાર છે,
  • c ઘાતાંક છે, અને
  • a કોણાંક ને કહેવામાં આવે છે.

ઉપયોગી નોંધ

જયારે ઘાતાંકીય સમીકરણને લોગ સ્વરૂપમાં અથવા લોગ સમીકરણને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફરીથી લઈએ, આ યાદ રાખવું જરૂરી છે કે લઘુગણકનો આધાર ઘાતાંકના આધારને સમાન જ હોવો જોઈએ.

તમારી સમજ ચકાસો

નીચેના પ્રશ્નમાં, તમે સમીકરણના ઘાતાંકીય અને લઘુગણકીય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરશો.
પ્રશ્ન 1
નીચેનામાંથી કયું 25=32 ને સમાન છે?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

પ્રશ્ન 2
નીચેનામાંથી કયું 53=125 ને સમાન છે?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

પ્રશ્ન 3
log2(64)=6 ને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો.

પ્રશ્ન 4
3) log2(16)=2 ને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો.

લઘુગણક ઉકેલવો

સરસ! હવે આપણે ઘાતાંક અને લઘુગણક વચ્ચેનો સંબંધ સમજી ગયા છીએ, જોઈએ કે આપણે લઘુગણકને ઉકેલી શકીએ કે નહિ.
ઉદાહરણ તરીકે, log4(64) ને ઉકેલીએ.
તે પદાવલીને x બરાબર લઈને શરૂઆત કરીએ.
log4(64)=x
આને ઘાતાંકીય સમીકરણ તરીકે લખતા નીચે મુજબ મળે:
4x=64
4 ની કઈ ઘાત 64 થાય? અહીં, 43=64 અને તેથી log4(64)=3.
તમે જેટલો વધુ મહાવરો કરો, તમે કદાચ આમાંના કેટલાક સ્ટેપ્સને ધ્યાનમાં લઇ શકો, "4 ની કઈ ઘાત 64 થાય?" ફક્ત એમ પૂછીને log4(64) ને ઉકેલી શકાય

તમારી સમજ ચકાસો

યાદ રાખો, જયારે તમે logb(a) ને ઉકેલો, ત્યારે તમે પૂછી શકો કે "b ની કઈ ઘાત a થાય?"
પ્રશ્ન 5
log6(36)=
  • તમારો જવાબ હોવો જોઈએ
  • એક પૂર્ણાંક, જેમ કે 6
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 3/5
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 7/4
  • મિશ્ર સંખ્યા, જેમ કે 1 3/4
  • એક * ચોક્કસ * દશાંશ, જેમ કે 0.75
  • પાઇ એક બહુવિધ, જેમ 12 pi અથવા 2/3 pi

પ્રશ્ન 6
log3(27)=
  • તમારો જવાબ હોવો જોઈએ
  • એક પૂર્ણાંક, જેમ કે 6
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 3/5
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 7/4
  • મિશ્ર સંખ્યા, જેમ કે 1 3/4
  • એક * ચોક્કસ * દશાંશ, જેમ કે 0.75
  • પાઇ એક બહુવિધ, જેમ 12 pi અથવા 2/3 pi

પ્રશ્ન 7
log4(4)=
  • તમારો જવાબ હોવો જોઈએ
  • એક પૂર્ણાંક, જેમ કે 6
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 3/5
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 7/4
  • મિશ્ર સંખ્યા, જેમ કે 1 3/4
  • એક * ચોક્કસ * દશાંશ, જેમ કે 0.75
  • પાઇ એક બહુવિધ, જેમ 12 pi અથવા 2/3 pi

પ્રશ્ન 8
log5(1)=
  • તમારો જવાબ હોવો જોઈએ
  • એક પૂર્ણાંક, જેમ કે 6
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 3/5
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 7/4
  • મિશ્ર સંખ્યા, જેમ કે 1 3/4
  • એક * ચોક્કસ * દશાંશ, જેમ કે 0.75
  • પાઇ એક બહુવિધ, જેમ 12 pi અથવા 2/3 pi

કોયડો
log3(19)=
  • તમારો જવાબ હોવો જોઈએ
  • એક પૂર્ણાંક, જેમ કે 6
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 3/5
  • એક * સરળ યોગ્ય * અપૂર્ણાંક, જેમ 7/4
  • મિશ્ર સંખ્યા, જેમ કે 1 3/4
  • એક * ચોક્કસ * દશાંશ, જેમ કે 0.75
  • પાઇ એક બહુવિધ, જેમ 12 pi અથવા 2/3 pi

ચલ પર મર્યાદાઓ

logb(a) વ્યાખ્યાયિત થાય જયારે આધાર b ધન છે—અને તેના બરાબર 1 નથી—અને કોણાંક a ધન છે. આ મર્યાદાઓ લઘુગણક અને ઘાતાંક વચ્ચેના સંબંધનું પરિણામ છે.
મર્યાદાઓકારણ
b>0ઘાતાંકીય વિધેયમાં, આધાર b ને હંમેશા ધન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
a>0logb(a)=c એટલે bc=a. કારણકે ઘન સંખ્યાની કોઈ પણ ઘાત ધન જ થાય, એટલે bc>0, તેથી a>0.
b1એક ક્ષણ માટે, ધારી લઈએ કે, b બરાબર 1 હોઈ શકે. હવે સમીકરણ log1(3)=x ને ધ્યાનમાં લો. હવે સમીકરણસમાન ઘાતાંકીય સ્વરૂપ 1x=3 થશે. પણ આ ક્યારેય સાચું હોઈ શકે અહીં કારણકે 1 ની કોઈ પણ ઘાત 1 જ થાય. માટે, b1.

વિશિષ્ટ લઘુગણક

લઘુગણકના આધાર પાસે જુદી જુદી કિંમતો હોઈ શકે, ત્યાં બે આધાર છે જેનો બાકીના કરતા વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
ખાસ કરીને, મોટા ભાગના કેલ્ક્યુલેટર પાસે આ બે પ્રકારના લઘુગણક માટે બટન હોય છે. ચાલો તેમને જોઈએ.

સામાન્ય લઘુગણક

સામાન્ય લઘુગણક એ એવો લઘુગણક છે જેનો આધાર 10 છે ("બેઝ-10 લઘુગણક").
આ લઘુગણકને જયારે ગાણિતિક રીતે લખવામાં આવે, આપણે આધારને લખતા નથી. તે 10 છે એમ સમજી લેવું.
log10(x)=log(x)

નેચરલ લઘુગણક

નેચરલ લઘુગણક એ એવો લઘુગણક છે જેનો આધાર સંખ્યા e છે ("બેઝ-e લઘુગણક").
આધારને e તરીકે લખવાના બદલે, આપણે લઘુગણકને ln વડે દર્શાવીએ છીએ.
loge(x)=ln(x)
આપણે આ બે વિશિષ્ટ લઘુગણક વિશે શું જાણવાની જરૂર છે તેનો સારાંશ આ ટેબલ આપે છે:
નામઆધારસામાન્ય સંજ્ઞાવિશિષ્ટ સંજ્ઞા
સામાન્ય લઘુગણક10log10(x)log(x)
નેચરલ લઘુગણકeloge(x)ln(x)
સંજ્ઞા જુદી જુદી છે, પરંતુ લઘુગણક ગણવા પાછળનો વિચાર સમાન જ છે!

આપણે લઘુગણક શા માટે ભણીએ છીએ?

તમે હમણાં જ ભણ્યા એ મુજબ, લઘુગણક એ ઊલટા ઘાતાંક છે. આ કારણે, તેઓ ઘતાંકીય સમીકરણને ઉકેલવામાં ઘણા ઉપયોગી છે.
ઉદાહરણ તરીકે 2x=5 માટેનું પરિણામ લઘુગણક, x=log2(5) તરીકે આપી શકાય. તમે નીચેના લેશનમાં આ લઘુગણકીય પદાવલીને કઈ રીતે ઉકેલી શકાય તે જોશો.
લઘુગણકીય પદાવલી અને વિધેય પોતે પણ ખૂબ રસપ્રદ છે, અને આપણી આસપાસની દુનિયામાં ખૂબ સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘન બધા ભૌતિક વિજ્ઞાનના ખ્યાલને લઘુગણકીય માપક્રમ સાથે માપવામાં આવે છે.

હવે પછી શું?

લઘુગણકના ગુણધર્મો વિશે શીખો જે આપણે લઘુગણકીય પદાવલિ લખવામાં મદદ કરે, અને આધાર બદલવાના નિયમ વિશે શીખો જેથી આપણે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઇચ્છતા લઘુગણકને ઉકેલી શકીએ.