મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુનો પરિચય

અહીં વિધેય y બરાબર f(x) નો આલેખ છે જે 0 અને અમુક ધન સંખ્યાઓના અંતરાલની વચ્ચે છે. અને આપણે તેના પરના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ વિશે વિચારીશું. આપણે  અંતરાલ પરના નિરપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ અને નિરપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુ વિશે થોડું જાણીએ છીએ. અને તે ખુબ જ સરળ હોય છે જુઓ કે આ મહત્તમ બિંદુ છે અહીંથી અંતરાલ શરુ કર્યું માટે x બરાબર 0 હોય ત્યારે આ છે આપેલ અંતરાલનું નિરપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ  અને જો નિરપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુ વિશે વાત કરીએ તો તે અહીં બીજા છેડા પર જોવા મળે છે માટે જો આ a હોય અને આ b હોય તો નિરપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુ મળે f (b) અને નિરપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ છે f (a) જ્યાં a બરાબર 0 છે. તમે કદાચ વિચારી રહ્યા હશો કે અહીં બીજા પણ કેટલાક રસપ્રદ બિંદુઓ જોવા મળે છે. તેની કિંમત સૌથી મોટી નથી. આ વિધેય માટે આપેલ અંતરાલની આ સૌથી મોટી કિંમત નથી. પણ આજુબાજુના બીજા બિંદુઓની સરખામણીમાં આ બિંદુ વધુ ઉંચાઈ પર છે તેવું દેખાય છે, અહીં ટેકરી જેવું દેખાય છે. આમ, આસપાસના બિંદુઓ કરતા તેની કિંમત થોડી વધુ છે તેવું દેખાય છે માટે આ કિંમતને કહી શકાય. અહીં આપણે c બિંદુ દર્શાવીએ તેથી અહીં લખીએ f (c) આમ, કહી શકાય કે f (c ) એ સાપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ છે આપણે તેના માટે સાપેક્ષ શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો કારણ કે વિધેયમાં તેના કરતા બીજી પણ મોટી કિંમતો છે પણ બિંદુ c આગળ x ની બીજી કિંમતો માટે f(c) ની કિંમત તેમના કરતા મોટી છે તે જ રીતે જો આ બિંદુને d કહીએ તો  f (d) ને સાપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુ કહી શકાય. અથવા સાપેક્ષ લઘુત્તમ કિંમત પણ કહી શકાય. માટે અહીં લખીએ f(d) એ સાપેક્ષ લઘુત્તમ કિંમત ફરી વખત જુઓ કે આખા અંતરાલમાં બીજી પણ નાની કિંમતો છે જુઓ કે x બરાબર b એ નિરપેક્ષ લઘુત્તમ કિંમત છે પણ આ બિંદુએ સાપેક્ષ લઘુત્તમ છે કારણકે d ની આજુબાજુની x ની કિંમતો કરતા આપેલ વિધેય માટે d ની કિંમત સૌથી ઓછી મળે આમ આપણે દર્શાવ્યું કે આ બિંદુ માટે x ની આસપાસની કિંમતો કરતા વિધેયની મોટી કિંમત મળે અને આ બિંદુ આગળ નાની કિંમત મળે એટલેકે આ સાપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ અને આ નિરપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ છે પણ તેને ગાણિતિક ભાષામાં કઈ રીતે લખાય હું તેના માટે અહીં વ્યાખ્યા આપું છું આપણે અત્યારે જે બાબત સમજ્યા તે જ રીતે તેને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય આપણે કહી શકીએ જો દરેક x ની કિંમત જે વિવૃત અંતરાલ c - h થી c + h નો સભ્ય છે જ્યાં h ની કિંમત 0 કરતા મોટી છે માટે f(c) ની કિંમત f(x) જેટલી અથવા તેના કરતા મોટી હોય તો f(c) એ સાપેક્ષ મહત્તમ કિંમત છે હવે આપણે એક વિવૃત અંતરાલ ની રચના કરીએ તે ઘણા બધા વિવૃત અંતરાલ માટે સાચું હોઈ શકે પણ આપણે અત્યારે એક જ વિવૃત અંતરાલ દર્શાવીએ આમ જો આપણે એક વિવૃત અંતરાલ આ રીતે દર્શાવીએ તો તો આ કિંમત થશે c+h અને આ કિંમત થશે c-h અને તમે જોઈ શકો છો કે આ અંતરાલમાં c માટેનો વિધેય f(c) ની કિંમત આ વિવૃત અંતરાલની બીજી કોઈ પણ કિંમત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી જ હોય તો વિડીયો અટકાવીને આ બાબત ને આધારે સાપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયત્ન કરો આમ આપણે તેને લખી શકીએ d ને સાપેક્ષ લઘુત્તમ તરીકે લઈએ માટે કહી શકાય કે જો દરેક x ની કિંમત જે વિવૃત અંતરાલ d-h થી d+h નો સભ્ય છે જ્યાં h ની કિંમત 0 કરતા મોટી છે માટે f(d) ની કિંમત f(x) જેટલી અથવા તેના કરતા નાની હોયતો f(d) એ સાપેક્ષ લઘુત્તમ કિંમત છે આમ આપણે અહીં એક અંતરાલ મેળવી શકીએ અહીં માની લો કે d + h છે અને અહીં d - h છે આમ આ અંતરાલ માટે નો વિધેય f(d) ની કિંમત બીજી કોઈ પણ કિંમત કરતા નાની અથવા તેના જેટલી જ હોય માટે આપણે તેને સાપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુ કહીએ છીએ આમ જો c ની આસપાસની કોઈ કિંમત કરતા c માટેના વિધેયની કિંમત વધુ હોય તો તે સાપેક્ષ મહત્તમ બિંદુ કહેવાય અને જો d ની આસપાસની કોઈ કિંમત કરતા d માટેના વિધેયની કિંમત ઓછી હોય તો તે સાપેક્ષ લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય