sine અને cosine નિત્યસમ: સંમિતિ

અહીં એકમ વર્ટૂર દોરેલ છે તો ચાલો આપણે તેનું ખ્યાલ મેળવીએ તેની શરૂઆત આપણે કોઈ એક ખૂણા થી કરીશુ આ કોઈ એક ખૂણા નું અંતિમ કિરણ છે અને આપણે અહીં દરેક ખૂણા રેડિઅન માં લઈશુ અહીં આ ખૂણો ધારોકે થિટા છે આપણે આ ખૂણા ના અંતિમ કિરણ ને x અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો થિટા લીધો છે આપણે કિરણ ને x અક્ષ અને y અક્ષ તરફ ફેરવીસુ અહીં આપણે અક્ષ ને નિર્દેશિત કરેલ છે આ ધન x અક્ષ છે અને આ ધન y અક્ષ છે તેજ પ્રમાણે આ ઋણ x અક્ષ છે અને આ ઋણ y અક્ષ છે તેને આપણે આ કિરણ ને ધન x અક્ષ પર ફેરવીએ તમે જોઈ શકો છો કે અહીં તે ધન x અક્ષ થી થિટા ખૂણા જેટલું ઉપર ની તરફ છે અને આપણે અહીંથી ઉપર જેતલાંજ અંતરે નીચે સુધી લંબાવીસુ તો આપણને તે અહીં આ બિંદુ મળે છે આમ તે આપણને આ કિરણ મળે છે જે કૈક આવું દેખાય છે અને તેને આપણે ભૂરા રંગ વડે દર્શાવેલ છે તો વિચારો કે આ બંને વચ્ચેનો ખૂણો કેટલા ઔંશ નો થશે પરંપરાગત પદ્ધતિ અનુસાર ધન એટલે કે ધન x અક્ષ અને આ ભૂરા કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલા ઔંશ થશે પરંપરાજિત પદ્ધતિ અનુસાર ધન x ધન ખૂણાઓ માટે આપણે x અક્ષ થી ગાળિયલ ની વિરુદ્ધ દિશા માં ફરીએ છીએ અહીં આ કિરણ ગાળિયલ ની વિરુદ્ધ દિશા માં જાય છે માટે તે x અક્ષ થી થિટા જેટલું ઉપરની તરફ છે જયારે અહીં આ કિરણ x અક્ષ થી નીચેની તરફ જાય છે માટે પરંપરાગત પદ્ધતિ અનુસાર ઋણ ખૂણાઓ માટે આપણેં ગાળિયલ ની દિશા માં ફરવું પડે છે માટે આ ખૂણા નું માપ ઋણ થિટા થશે હવે આપણે આ મૂળ લીલા રંગના કિરણ ને y અક્ષ ની આસપાસ ફેરવીસુ અને તેને અહીંથી આટલુંજ અંતર લઈને આ બિંદુ સુધી અને પછી y અક્ષ તરફ કૈસુ તો આપણને તે અહીં આ બિંદુ મળશે એટલે કે આપણે આ લીલા કિરણ ને સમાન અંતરે y અક્ષ ની આસપાસ ફેરએવીએ છીએ અને આપણને જો આપણે તે કિરણ દોરીએ તો તે કૈક આવું મળે છે આમ તે આ કિરણ છે જે કૈક આવું દેખાશે તો વિચારો કે હવે આ ખૂણા નું માપ સુ થશે આ ખૂણા નું માપ રેડિઅન માં શુ થશે જો આપણે અહીં આ આખું અંતર લઈએ એટલે કે ધન x અક્ષ થી ઋણ x અક્ષ સુધીનું આ આખું અંતર લઈએ તો તે પાય રેડિઅન થશે કારણકે તે વર્ટૂર ની આસપાસ અર્ધું અંતર છે તો આપણે જાણીએ છીએ કે અહીં આ ખૂણો થિટા માપ નો છે તો આ ખૂણા નું માપ પણ આપણને થિટા મળશે હવે આપણે જે ખૂણો શોધવો છે તે થશે એટલે કે આ ખૂણો થશે પાય પાય ઓછા થિટા પાય ઓછા થિટા રેડિએન નો થશે પાય ઓછા થિટા રેડિઅન બરાબર 180 ઔંશ થાય છે અહીં આ બંને ખૂણાઓ પૂરકોન ના ખૂણાઓ છે કારણકે પાય ઓછા થિટા વત્તા થિટા બરાબર 180 ઔંશ એટલે કે પાય રેડિઅન મળે છે આ બંને ખૂણાઓ પૂરબકોન નં ખૂણાઓ છે માટે તેમનો સરવાળો પાય રેડિઅન અથવા 180 ઔંશ થવો જોઈએ તો ચાલો હવે આપણે આ કિરણ કે જે ઋણ x અક્ષ પર છે તેને ફેરવીને નીચે સુધી લંબાવીએ માટે તેને સરખા અંતરે ફેરવીને નીચે સુધી લંબાવતા તે આપણને આ બિંદુ મળે છે અને આપણને કિરણ કૈક આવું મળે છે જે કૈક આવું દેખાય છે તો વિચારો કે અહીં આ આખા ખૂણા નું માપ શુ થશે આ આખું ખૂણો એટલે કે અહીંથી અહીં સુધી નું આ આખું અંતર આ ખૂણા નું માપ શુ થશે અહીં આટલું ખૂણો પાય રેડિઅન નો છે અને આટલો ખૂણો થિટા માપ નો છે માટે અહીંથી આ આખું અંતર પાય વત્તા થિટા રેડિઅન નું થશે એટલે કે આ આખું ખૂણો કે જેને આપણે ગુલાબી રંગ વડે દર્શાવીઓ છે તે આખો ખૂણો પાય વત્તા થિટા રેડિઅન નો થશે તો ચાલો તે આપણે અહીં લખીએ આ ખૂણા નું માપ થશે પાય વત્તા થિટા રેડિઅન હવે તમને થતું હશે કે આપણે શા માટે આવી જુદી જુદી સપ્રમાણતા અહીં દર્શાવીએ છે હવે વિચારો કે જુદા જુદા ખૂણા ને અનુસાર સાયન અને કોસાયન થિટા બરાબર શુ થશે તો હવે વિચારો કે અહીં આ બિંદુ ના યામ શુ થશે આ બિંદુ નો x યામ થશે કોસાયન થિટા અને આ બિંદુ નો y યામ થશે સાયન થિટા અથવા આપણે બીજી રીતે વિચારીએ તો અહીંથી x અક્ષ પરનું આ અંતર કોસાયન થિટા થશે અને તેવીજ રીતે y અક્ષ પરનું આ અંતર સાયન થિટા થશે આ નીચેના બિંદુ માટે વિચારીએ તેજ પદ્ધતિ અનુસાર એટલે કે ત્રિકોણમિતીય વિધેય માટે એકમ વર્ટૂર ની વ્યાખ્યા મુજબ આ બિંદુ માટે ખૂણો ઋણ થિટા છે માટે આ બિંદુ ના યામ થશે કોસાયન ઋણ થિટા ,સાયન ઋણ થિટા એટલે કે આ બિંદુ નો X યામ છે કોસાયન ઋણ થિટા અને Y યામ છે સાયન ઋણ થિટા જે અહીં આ ખૂણો છે ધન X અક્ષ થી અહીં સુધીનો ખૂણો કે જે ઋણ થિટા છે ચાલો હવે આ બિંદુ માટે કરીએ અહીંથી ધન X અક્ષ થી અહીં સુધીનો ખૂણો કેજે પાય ઓછા થિટા છે તો વિચારો કે આ આ બિંદુ નો X યામ થશે કોસાયન પાય ઓછા થિટા ,સાયન પાય ઓછા થિટા આ બિંદુ નો X યામ છે અને આ બિંદુ નો Y યામ છે તો ચાલો હવે આ બિંદુ માટે વિચારીએ તો અહીં આ ખૂણો છે પાય વત્તા થિટા થશે કોસાયન પાય વત્તા થિટા, સાયન પાય વત્તા થિટા હવે વિચારો કે અહીં આ દરેક બિંદુઓ એક બીજા સાથે સુ સંબંધ ધરાવે છે ધ્યાન થી જુઓ કે અહીં જમણી બાજુ આ X યામ ની કિંમત સમાન થાય છે એટલે કે આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાયન થિટા બરાબર કોસાયન ઋણ થિટા થાય છે અહીં આ બંને ની X યામ ની કિંમત સમાન છે માટે આપણે આના માટે લખી શકીએ કે કોસાયન થિટા બરાબર કોસાયન ઋણ થિટા હવે આ ખુબજ રસપ્રદ પરિણામ છે હવે સાયન માટે સુ થશે આ માટે જુઓ કે સાયન અહીં આ બિંદુ માટે સાયન એ આ અંતર છે જે X અક્ષ થી ઉપરની તરફ છે જયારે અહીં આ બિંદુ ના સાયન માટે તે આ અંતર છે જે X અક્ષ થી તેટલાજ સમાન અંતરે નીચેની તરફ છે આમ બંને એક બીજાના વિરોધી છે આમ આપણે કહી શકીએ કે સાયન ઋણ થિટા બરાબર ઋણ સાયન થિટા આમ જો તમે સમાન પ્રમાણ માં X અક્ષ થી ઉપર અને X અક્ષ ની નીચેની તરફ જાવ તો તમને સાયન નું વિરોધી મળે છે હવે આજ બંને બાબત આપણે આ બંને માટે પણ કરી શકીએ છીએ ચાલો કે અહીં આ બંને બિંદુઓ એકબીજા સાથે કઈ રીતે સંબંધિત છે હવે તમે જોઈ શકો છો અઇયા બંને કિંમત માટે અહીં સાયન ની કિંમત સમાન છે માટે આપણે કહી શકીએ કે આના બરાબર આ થાય છે માટે સાયન થિટા બરાબર સાયન પાય ઓછા થિટા આમ થઈ શકે છે હવે કોસાયન માટે સુ થશે જુઓ કે અહીં કોસાયન થિટા બરાબર ધન X અક્ષ પર અંતર છે જયારે કોસાયન પાય - પાય ઓછા થિટા માટે તે ઋણ X અક્ષ પર અંતર બતાવે છે આમ તમે જોઈ શકો છો કે તે બંને એક બીજાના વિરોધી છે X યામ ની અંતર સમાન છે પરંતુ બંને ઉઘમ બિંદુ થી વિરુદ્ધ દિશા માં છે આમ આપણને મળ્યું કોસાયન થિટા બરાબર ઋણ કોસાયન પાય ઓછા થિટા હવે છેલ્લે આ 2 બિંદુઓ વચ્ચે સુ સબંધ છે તે જોઈએ અહીં જુઓ કે X યામ ની કિંમત ઋણ છે તથા Y યામ ની કિંમત પણ ઋણ છે એટલે કે કોસાયન અને સાયન બંને કિંમતો ઋણ છે આપણે બંને અક્ષ ની આસપાસ તેને અહીં ફેરવીને મૂક્યું છે માટે આના માટે આપણે લખી શકીએ સાયન થિટા વત્તા પાય કે જે પાય વત્તા થિટા સમાન જ છે આપણે આની અને આની કિંમત ને સરખાવ્યું છે માટે આના બરાબર થશે ઋણ સાયન થિટા હવે તેજ પ્રમાણે કોસાયન થિટા વત્તા પાય અથવા પાઇ વત્તા થિટા બરાબર ઋણ કોસાયન થિટા હવે તમે અહીં જોઇ શકો છો કે આગળના આ બંને વચ્ચેના સંબંધ તથા આ બંને વચ્ચેના સબંધ તમે જોઈ શકો છો અને તે પરથી આપણને કૈક રસપ્રદ પરિણામ મળી શકે છે હું ઇચ્છુ હું કે તમે તે જાતે પ્રયત્ન કરી જુઓ અને વિચારો કે આ બધાજ બિંદુઓ એક બીજા સાથે x અને y અક્ષ ની સહ્પ્રમાણતા ઘ્વારા કયી રીતે સંબંધિત છે