એકમ વર્તુળ

અહી આપણે એકમ વર્તુળ દોરેલ છે અહી આ એકમ વર્તુળ છે આપણે તેને એકમ વર્તુળ કહીએ છે કારણ કે તેની ત્રિજ્યા 1 છે આમ વર્તુળનું કેન્દ્ર કે જે ઉગમ બિંદુ પર છે ત્યાંથી વર્તુળના કોઈ પણ બિંદુ શુધીનું અંતર એટલે કે આ લંબાઈ એક છે તો વિચારો કે આ બિંદુના યામ શું થશે જે x અક્ષને અહી છેદે છે તેમાં x યામ 1 અને y યામ 0 છે હવે આ બિંદુના યામ શું થશે ઉગામ બિંદુથી તે 1 જેટલું ઉપર છે અને આ બિંદુથી ડાબી કે જમણી બાજુ ખસી શકાતું નથી માટે આ બિંદુનો x યામ 0 થશે અને y યામ 1 થશે હવે આ બિંદુના યામ શું થશે અહી તે x યામ પર x અક્ષ પર -1 જેટલા અંતરે છે કારણ કે આપણે 1 જેટલું ડાબી તરફ ખસીએ છીએ અને ઉપર અને નીચે ખસી શકતા ન હોવાથી તેનું y યામ 0 થશે આમ આ બિંદુના યામ થશે 1 , 0 તેવી જ રીતે છેલ્લે આ બિંદુના યામ શું થશે આપણે ઉગામ બિંદુથી 1 જેટલું નીચેની તરફ આવે છે અને x અક્ષની દિશામાં ડાબી કે જમણી તરફ ખસી શકાતું નથી માટે તેનો x યામ 0 થશે અને y યામ -1 થશે હવે આપણે આ એકમ વર્તુળમાં ખૂણો બનાવીએ જે રીતે આપણે દોરીશું તો તે ધન ખૂણો બનશે આમ ધન ખૂણો બનાવવા માટે તેની એક બાજુ આ રીતે આવશે આ તેની ખૂણાની એક પ્રારંભિક બાજુ છે માટે બીજી બાજુ બનાવવા ધન ખૂણાની બીજી બાજુ બનાવવા માટે આપણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ ખસવું પડશે આમ ધન ખુણાઓ બનાવવા માટે આપણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસવું પડે છે તેવી જ રીતે ઋણ ખૂણા બનાવવા માટે આપણે ઘડીયાળની દિશામાં ખસવું પડે છે આ પારંપરિક બાબત છે આમ ઘડિયાળની જો ધન ખૂણો બનાવવો હોય તો આ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવું પડે અને ઋણ ખૂણો બનાવવા માટે ઘડિયાળની દિશામાં ફરવું પડશે હવે આપણે ધન ખૂણો દોરીએ કે જે કઈક આવો દેખાશે આ ખૂણાની પ્રારંભિક બાજુ છે અને આ ખૂણાની અંતિમ બાજુ છે અને આપણે અહી પ્રારંભિક બાજુથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસીએ છીએ જ્યાં સુધી આપણને થીટા ખૂણો મળે નહી આમ આ ખૂણો થીટા છે જે ધન ખૂણો છે આપણે આ બિંદુ કે જે ખૂણાના અંતિમ કિરણ અને એકમ વર્તુળના છેદવાથી મળે છે અને તેના વિશે વિચારવાનું છે તો ચાલો તેના યામ છે a , b જ્યાં છેડે છે જ્યાં છેદે છે તે બિંદુનો x યમ a છે y યામ b છે અને આપનણે એ પણ જોઈશું કે આપણે ત્રિકોણ નીતિય વ્યાખ્યાની મદદથી એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કઈ રીતે કરી શકાય હવે આપણે આ થીટા ખૂણાને કાટકોણ ત્રિકોણનો એક ભાગ બનાવવા માંગીએ છે તો ચાલો અહી આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ દોરીએ અને તે માટે આપણે અહીંથી એક વેદ દોરવો પડશે આમ આ 90 અંશનો ખૂણો છે આ થીટા ખૂણો આ કાટકોણ ત્રિકોણનો એક ભાગ છે તો ચાલો આપણે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ તો સૌ પ્રથમ મારો સવાલ તમે એ છે કે આ કર્ણની લંબાઈ શું થશે અહી આ કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણની લંબાઈ શું થશે આ બનાવેલા કાટકોણ ત્રિકોણના કકર્ણની લંબાઈ એ આ એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને આપણે જાણીએ છે કે એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 જેટલી હોય છે આમ આ કર્ણની લંબાઈ 1 થશે હવે આ લીલી બાજુનું માપ શું થશે તમેં જોઈ શકો છો કે તે થીટા ખૂણાની સામેની બાજુ છે આ બાજુની લંબાઈ તે y અક્ષને આ બિંદુએ છેદે છે અને તમે જોઈ શકો છો કે તેનું y યામ b છે માટે આ વેગની લંબાઈ b જેટલી થશે માટે y યામ b છે તેથી લંબાઈ પણ b થશે આમ વેધ બરાબર b થશે હવે આ જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને આપણે આ બાજુનું માપ શોધીએ ફક્ત કાટકોણ ત્રિકોણનો આટલો પાયો આ બાજુની લંબાઈ કેટલી થશે કાટકોણ ત્રિકોણના આ પાયાની લંબાઈ કે જે x યામ છે જો તમે અહીંથી નીચેની તરફ આવશો તો તેમને આ લંબાઈ x યામ જેટલી મળશે અને x યામ અહી a છે માટે ઉગમ બિંદુથી આ બિંદુ સુધીનું અંતર એટલે કે આ આખી લંબાઈ થશે a ચાલો હવે આપણે જોઈએ કે આપણા ખૂણા માટે કોસાઈન a અને b ના પદમાં શું થશે માટે કોસાઈન થીટા બરાબર આપણને શું મળશે અને તે માટે આપણે સાસક કોપાક ટેસપા વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ આપણે અહી આ વ્યાખ્યાને વિસ્તુત કરીએ છીએ સાસક કોપાક ટેસપા જેમાં કોપાક આપણને મદદ રૂપ થશે જે છે કોસાઈન કોઈ પણ ખૂણાનું કોસાઈન બરાબર પાસેની બાજુ છેદમાં કર્ણ તો વિચારો તે શું થશે હવે પાસેની બાજુની લંબાઈ a થશે કારણ કે થીટા ખૂણા માટે પાસેની બાજુ એ આ છે માટે આના બરાબર a છેદમાં કર્ણ કર્ણની લંબાઈ શું થશે જે 1 છે આમ કોસાઈન થીટા બરાબર a/1 ફરીથી લખીએ તો કોસાઈન થીટા બરાબર a થશે બરાબર ખૂણાનું બીજું કિરણ એટલે કે અંતિમ કિરણ જે એકમ વર્તુળને જે બિંદુએ છેદે છે તે બિંદુનો x યામ ચાલો હવે આપણે સાઈન થીટા વિશે વિચારીએ વિચારો કે સાઈન થીટા બરાબર શું થશે હવે આપણે સાઈન થીટા માટે વિચારીએ સાઈન થીટા માટે સાસક કોપાક ટેસપા વ્યાખ્યા માંથી આપણે આ ભાગનો ઉપયોગ કરીશું સાસક જેના મુજબ સાઈન બરાબર સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ સામેની બાજુની લંબાઈ b છે અને કર્ણની લંબાઈ 1 છે માટે સાઈન થીટા બરાબર b/1 ફરીથી લખીએ તો આપણને મળશે સાઈન થીટા બરાબર b આમ આ ખુબજ રસપ્રત બાબત છે આ ખૂણાનું બીજું કિરણ એટલે કે અંતિમ કિરણ એકમ બિંદુને એકમ વર્તુળને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુનો y યામ થશે આમ આગળ જોયું તે મુજબ a બરાબર થશે કોસાઈન થીટા અને b બરાબર થશે સાઈન થીટા અને આ ખુબ જ રસપ્રત બાબત છે અને આપણે અહી સાસક કોપાક ટેસપા વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો છે શું આપણે આના ઉપયોગથી એટલે કે આ સાસક કોપાક ટેસપા વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરી શકીએ છે હવે આપણી પાસે સવાલ એ છે કે જો આપણો ખૂણો 0 અંશથી મોટો હોય અને 90 અંશ નાનો હોય તો આ બાબત સારી રીતે ઉપયોગી થઇ શકે છે અને આપણે દર વખતે તેનો કાટકોણ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને તે કરી શકીએ છે પરંતુ જો ખૂણો 0 અથવા 0 થી નાનો હોય એટલે કે ઋણખૂણો હોય અને 90 અંશથી મોટો હોય તોઆ બાબત અહી લાગુ પડશે નહી અહી આપણી પાસે 90 અંશનો એક ખૂણો છે કાટકોણ ત્રિકોણ છે તેવી જ રીતે આપણે ખૂણો મોટો બનાવવો હોય તો આપણે અહી બીજો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીશું આ એક મોટો ખૂણો છે આ બીજો મોટો ખૂણો છે તેવી જ રીતે આપણે બીજા કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છે પરંતુ આ વ્યાખ્યા અનુસાર 90 અંશ કરતા મોટા ખૂણા માટે તે લાગુ પડતી નથી કારણ કે અહી બંને ખૂણા ખુબ જ મોટા હતા આમ 90 અંશથી મોટા ખૂણા અને 0 અંશથી નાના ખૂણા માટે આ વ્યાખ્યા લાગુ પડતી નથી તો ચાલો હવે આપણે આનો ઉપયોગ કરીએ અને ત્રિકોણનીતિય વિધેયો માટે નવી વ્યાખ્યા બનાવીએ કે જે સાસક કોપાક , ટેસાપા વ્યાખ્યાનું વિસ્તરિત સ્વરૂપ હોય કાટકોણ ત્રિકોણ માટે કોસાઈન કે સાઈન શોધવાની જગ્યાએ આપણે કઈક અલગ કરીશું કોસાઈન એટલે આ કર્ણ અને સાઈન એટલે સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ અને ટેન્જેન્ત એટલે સામની બાજુ છેદમાં પાસેની બાજુ આપણે આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કાર્ય સિવાય એકમ વર્તુળ દોરીને તેનો ઉપયોગ કરીશું તો હું એમ કહું છુ કે કોઈ પણ ખૂણાનું કોસાઈન એટલે કે કોસાઈન થીટા બરાબર એકમ વર્તુળ અને ખૂણાનું અંતિમ કિરણ એટલે કે બીજું કિરણ એક બીજાને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુનો x યામ તેવીજ રીતે સાઈન થીટા બરાબર y યામ કે જ્યાં એકમ વર્તુળ અને અંતિમ ખૂણાનું અંતિમ કિરણ એક બીજા ને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુનો y યામ આમ કોઈ પણ ખૂણા માટે આ બિંદુનો x યામ થશે કોસાઈન થીટા અને આ બિંદુનો y યામ થશે સાઈન થીટા શું આવી રીતે આપણે ટેન્જેન્ત થીટા માટે વ્યાખ્યા આપી શકીએ ટેન્જેન્ત થીટા બરાબર સાસક કોપાક ટેસપા વ્યાખ્યા મુજબ તે થશે સાઈન છેદમાં કોસાઈન થીટા સાઈન છેદમાં કોસાઈન એટલે કે સાઈન થીટાના છેદમાં કોસાઈન થીટા આમ ટેન્જેન્ત થીટા બરાબર સાઈન થીટાના છેદમાં કોસાઈન થીટા અને આ સ્થિતિમાં તે થશે y યામ છેદમાં x યામ હવે પછીના વિડીઓમાં એકમ વર્તુળના આધારિત ઉદાહરણ જોઈશું.