ઉત્પ્લાવક બળ શું છે?

શું સ્વિમિંગ ગોગલ્સ પૂલના ઊંડા ભાગમાં ફેંકી દીધા છે અને તેમને મેળવવા નીચે તરવાનો પ્રયત્ન કર્યો છે? તે ત્રાસજનક હોઈ શકે કારણકે જેમ તમે નીચે જાઓ તેમ પાણી તમને સપાટી તરફ પાછો ધક્કો મારે છે. તરલમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર ઉપરની તરફ લાગતા બળને ઉત્પ્લાવક બળ કહેવામાં આવે છે.

તો તરલ તેમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ શા માટે લગાડે છે? ડૂબેલા પદાર્થની નીચે અને ઉપરના ભાગ વચ્ચે દબાણના તફાવત સાથે આ સંબંધ ધરાવે છે. ધારો કે કોઈક કઠોળનો ડબ્બો પાણીમાં ફેંકે છે.

કારણકે જેમ તમે તરલમાં ઊંડે જાઓ તેમ દબાણ $(P_{gauge}=\rho gh)$‍ વધે છે, ડબ્બાની ઉપર નીચેની તરફ દબાણ પરથી લાગતું બળ ડબ્બાની નીચે ઉપરની તરફ દબાણ પરથી લાગતું બળ ઓછું હશે.

આ સરળ છે. ત્યાં ઉત્પ્લાવક બળ છે એનું કારણ એ છે કે પદાર્થનો નીચેનો (દા.ત., વધુ ડૂબેલો ભાગ) ભાગ પદાર્થના ઉપરના ભાગ કરતા હંમેશા વધારે ડૂબેલો હોય છે. તેનો અર્થ થાય કે પાણીમાંથી ઉપર લાગતું બળ એ પાણીમાંથી નીચે લગતા બળ કરતા વધુ છે.

ત્યાં ઉત્પ્લાવક બળ શા માટે હોવું જોઈએ એ જાણવું સારી બાબત છે, પણ ઉત્પ્લાવક બળનું ચોક્કસ કદ કઈ રીતે નક્કી કરી શકાય એ આપણે જાણવું જોઈએ.

આપણે એ હકીકત સાથે શરૂઆત કરી શકીએ કે ડબ્બાની ઉપરના ભાગ પર પાણી નીચેની તરફ ધક્કો $F_{down}$‍ મારે છે, અને ડબ્બાની નીચેના ભાગ પર પાણી ઉપરની તરફ ધક્કો $F_{up}$‍ મારે છે. આપણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_{up}$‍ અને નીચેની તરફ લાગતા બળના $F_{down}$‍ મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત લઈને પાણીના દબાણ (જેને આપણે ઉત્પ્લાવક બળ $F_{buoyant}$‍ કહી શકીએ) વડે ડબ્બા પર ઉપરની તરફ લાગતું કુલ બળ શોધી શકીએ.

આપણે દબાણની વ્યાખ્યા $P={\displaystyle \frac{F}{A}}$‍ નો ઉપયોગ કરીને આ બળોને દબાણ સાથે સંબંધિત કરી શકીએ જેને $F=PA$‍ મેળવવા માટે બળ માટે ઉકેલી શકાય. તેથી ડબ્બાની નીચેના ભાગમાં ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_{up}=P_{bottom}A$‍ હશે અને ડબ્બાની ઉપરના ભાગમાં નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_{down}=P_{top}A$‍ હશે. અગાઉના સમીકરણમાં અનુક્રમે દરેક માં આ પદાવલિઓ મૂકતા આપણને મળે,

ઉપર અને નીચે જતા દબાણ માટેની પદાવલિઓ શોધવા માટે આપણે હાઈડ્રોસ્ટેટિક ગેજ દબાણ $P_{gauge}=\rho gh$‍ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ. ડબ્બાની નીચેના ભાગ પર ઉપર તરફના દબાણ પરથી બળ $P_{bottom}=\rho g{h}_{bottom}$‍ છે અને ડબ્બાની ઉપરના ભાગ પર નીચે તરફના દબાણ પરથી બળ $P_{top}=\rho g{h}_{top}$‍ છે. આપણે દરેક દબાણ માટેની અગાઉની પદાવલિમાં અનુક્રમે આ કિંમતો મૂકી શકીએ.

નોંધો કે આ સમીકરણમાં દરેક પદ પદાવલિ $\rho gA$‍ ધરાવે છે. તેથી આપણે સામાન્ય અવયવ $\rho gA$‍ લઈને આ સૂત્રનું સાદુંરૂપ આપી શકીએ,

હવે આ પદ $h_{bottom}-h_{top}$‍ મહત્વનું છે અને તેના કારણે કંઈક રસપ્રદ થવા જઈ રહ્યું છે. ડબ્બાની નીચેની ઊંડાઈ $h_{bottom}$‍ અને ડબ્બાની ઉપરની ઊંડાઈ $h_{top}$‍ વચ્ચેનો તફાવત બરાબર ડબ્બાની ઊંચાઈ થાય. (નીચેની આકૃતિ જુઓ)

તેથી આપણે અગાઉના સમીકરણમાં $(h_{bottom}-h_{top})$‍ સાથે ડબ્બાની ઊંચાઈ $h_{can}$‍ ને બદલી શકીએ,

અહીં રસપ્રદ ભાગ છે. $A\times h$‍ બરાબર નળાકારનું ઘનફળ થાય, તેથી આપણે પદ $A{h}_{can}$‍ ને ઘનફળ $V$‍ સાથે બદલી શકીએ. પ્રથમ ખ્યાલ આ ઘનફળને ડબ્બાના ઘનફળ સાથે સાંકળવાનો આવે. પણ નોંધો કે ઘનફળ બરાબર ડબ્બાએ વિસ્થાપિત કરેલા પાણીનું ઘનફળ થાય. વિસ્થાપિત પાણી વડે અમારો અર્થ એ છે કે પાણીનું ઘનફળ જે એકવાર અવકાશના ઘનફળમાં હતું તે અત્યારે ડબ્બા વડે રોકાયેલું છે.

આપણે ચોક્કસ પદ$Ah$‍ સાથે ઘનફળ $V$‍ ને બદલીશું, પણ આપણે આ ઘનફળને ડબ્બાનું ઘનફળ અથવા વિસ્થાપિત તરલના ઘનફળ તરીકે લેવું જોઈએ? આ મહત્વનું છે કારણકે જો પદાર્થ તરલમાં આંશિક રીતે ડૂબેલો હોય તો બે ઘનફળ જુદા હોઈ શકે. ટૂંકો જવાબ એ છે કે આપણે સૂત્રમાં વિસ્થાપિત તરલના ઘનફળ $V_{fluid}$‍ નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે કારણકે વિસ્થાપિત તરલ જ એ પરિબળ છે જે ઉત્પ્લાવક બળ નક્કી કરે છે.

આ સૂત્ર તરલમાં આખા કે આંશિક રીતે ડૂબેલા ડબ્બા (અથવા બીજો કોઈ પણ પદાર્થ) પરનું ઉત્પ્લાવક બળ આપે છે. હવે આપણી પાસે શું છે એ જોઈએ નોંધો કે ઉત્પ્લાવક બળ કઈ રીતે તરલની ઘનતા $\rho$‍ જેમાં પદાર્થ ડૂબેલો છે, ગુરુત્વપ્રવેગ $g$‍, અને વિસ્થાપિત તરલના ઘનફળ $V_f$‍ પર આધાર રાખે છે.

ઉત્પ્લાવક બળ ડૂબેલા પદાર્થની ઊંડાઈ પર આધાર રાખતું નથી. બીજા શબ્દમાં, ડબ્બો સંપૂર્ણ ડૂબેલો હોય, તેને હજુ વધારે ઊંડાણમાં લઇ જવામાં આવે તો પણ તેની ઊંડાઈ ઉત્પ્લાવક બળ બદલશે નહિ. આ થોડું વિચિત્ર લાગે કારણકે જેમ તમે વધુ ઊંડાણમાં જાઓ તેમ દબાણ વધતું જાય છે. પણ મુખ્ય ખ્યાલ એ છે કે ડબ્બાની ઉપર અને નીચે દબાણ એકસમાન જથ્થા જેટલું વધે છે અને તેથી કેન્સલ થાય છે, ઉત્પ્લાવક બળ સમાન જ રહે છે.

તમને કદાચ આના વિશે ખોટું મગજમાં આવ્યું હશે.કેટલાક પદર્થો ચોક્કસ ડૂબી જાય છે, પણ આપણે સાબિત કર્યું કે દરેક ડૂબેલા પદાર્થ પર ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ હોય છે. જો તેના પર ઉરપની તરફ બળ લાગતું હોય તો પદાર્થ કઈ રીતે ડૂબી શકે? પદાર્થ ડૂબે એ છતાં, દરેક પદાર્થ પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ હોય છે. જો તે ડૂબતા પદાર્થ માટે હોય તો તેમનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ કરતા વધુ હશે. જો તેમનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ કરતા ઓછું હોય તો પદાર્થ તરશે એ સાબિત કરવું શક્ય છે કે સંપૂર્ણ ડૂબેલા પદાર્થની ઘનતા (તેના આકારની પરવા વગર) વિસ્થાપિત તરલની ઘનતા કરતા વધુ હોય, તો પદાર્થ ડૂબી જશે.

સામાન્ય રીતે તમે ઉત્પ્લાવક બળના સૂત્રને આ મુજબ લખેલું જોશો જેમાં $g$‍ અને $V$‍ ને આ મુજબ ફરીથી ગોઠવ્યા હોય છે,

જ્યારે તમે સૂત્રને આ મુજબ ગોઠવો ત્યારે તમે કંઈક રસપ્રદ જોશો. પદ $\rho V_f$‍ એ વિસ્થાપિત તરલની ઘનતા ગુણ્યા વિસ્થાપિત તરલનું ઘનફળ છે. ઘનતાની વ્યાખ્યા $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍ ને $m=\rho V$‍ માં ફરીથી ગોઠવી શકાય, તેથી તેનો અર્થ થાય કે પદ $\rho V_f$‍ વિસ્થાપિત તરલનું દળ બતાવે છે. તેથી, જો આપણે ઇચ્છીએ, તો આપણે અગાઉના સમીકરણમાં $m_f$‍ સાથે પદ $\rho V_f$‍ ને બદલી શકીએ,

પણ તે જુઓ! વિસ્થાપિત તરલનું દળ ગુણ્યા ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય બરાબર ફક્ત વિસ્થાપિત તરલનું વજન થાય. તેથી, આપણે ઉત્પ્લાવક બળ માટેના સૂત્રને નીચે મુજબ લખી શકીએ,

આ સમીકરણ, જ્યારે શબ્દમાં કહેવામાં આવે, ત્યારે તેને આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત કહે છે. આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંતનું વિધાન છે કે પદાર્થ પરનું ઉત્પ્લાવક બળ બરાબર પદાર્થ વડે વિસ્થાપિત થયેલા તરલનું વજન થાય. આ ખ્યાલની સરળતા અને સક્ષમતા ખુબ મહત્વની છે. જો તમે પદાર્થ પરનું ઉત્પ્લાવક બળ જાણવા માંગતા હોવ, તો તમારે પદાર્થ વડે વિસ્થાપિત થયેલા તરલનું વજન જાણવાની જરૂર છે.

હકીકત છે કે આના જેવા સુંદર અને સરળ વિચારો પાયાના ભૌતિકવિજ્ઞાનના સિદ્ધાંતના તર્ક પરથી પરિણમે છે તેથી જ લોકો ભૌતિકવિજ્ઞાનને ઉપયોગી, સક્ષમ, અને રસપ્રદ માને છે. હકીકત એ છે કે આ ન્યૂટનના નિયમ પહેલા, 2000 વર્ષ પહેલા આર્કિમિડીઝ વડે શોધવામાં આવ્યું હતું.

ઘણીવાર લોકો ભૂલી જાય છે કે ઉત્પ્લાવક બળ $F_b=\rho V_{f}g$‍ માટે સૂત્રમાં ઘનતા વિસ્થાપિત તરલની ઘનતા $\rho$‍ બતાવે છે, ડૂબેલા પદાર્થની ઘનતા નહિ.

ઘણી વાર લોકો ભૂલી જાય છે કે ઉત્પ્લાવકતાના સૂત્રમાં ઘનફળ વિસ્થાપિત તરલનું ઘનફળ (અથવા પદાર્થનું ડૂબેલું ઘનફળ) બતાવે છે, અને જરૂરિયાતપણે પદાર્થનું આખું ઘનફળ નહિ.

ઘણીવાર લોકો વિચારે છે કે પદાર્થને જેમ જેમ તરલમાં ઊંડે ને ઊંડે લઇ જવામાં આવે તેમ ઉત્પ્લાવક બળ વધે છે. પણ ઉત્પ્લાવક બળ ઊંડાઈ પર આધાર રાખતું નથી. તે ફક્ત વિસ્થાપિત તરલનું ઘનફળ $V_f$‍, તરલની ઘનતા $\rho$‍, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$‍ પર જ આધાર રાખે છે.

ઘણા લોકો, જ્યારે આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત વિશે પૂછવામાં આવે ત્યારે, મૂંઝવણભર્યો દેખાવ આપે છે. તેથી ખાતરી કરો કે તમે આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત સારી રીતે સમજ્યા હોવ: "પદાર્થ પરનું ઉત્પ્લાવક બળ બરાબર પદાર્થ વડે વિસ્થાપિત થયેલા તરલનું વજન થાય."

A $0.650\text{ kg}$‍ નું એક જીનોમ થોડું નીચે તરે છે અને પોતાની જાતને $35.0\text{ m}$‍ ની ઊંડાઈવાળા તાજા પાણીના તળાવની નીચે શોધે છે . જીનોમ ઘન છે (એકપણ છિદ્ર નથી) અને કુલ ઘનફળ $1.44\times {10}^{-3}{\text{ m}}^3$‍ રોકે છે. તળાવમાં તાજા પાણીની ઘનતા $1000{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ છે .

સમઘન, જેમની સાથે તમે મજબૂત મિત્રતા વિકસાવી છે, પાસે કુલ દળ $2.33\text{kg}$‍ છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે તરવા માટે પદાર્થને જ્યારે ડુબાડવામાં આવે ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ બરાબર સમઘનના વજનનું મૂલ્ય થવું જોઈએ. તેથી આપણે આને સમીકરણ સ્વરૂપમાં મૂકીએ,

ગાય જેવા દેખાતા મોટા ગોળાકાર હિલિયમ ભરેલા ફુગ્ગાને ઉપર ઉડતો અટકાવવા માટે જમીન સાથે દોરડા વડે બાંધવામાં આવે છે. ફુગ્ગાની પ્લાસ્ટિક રચના વત્તા ફુગ્ગાની અંદર બધા હિલિયમ વાયુ પાસે કુલ દળ $9.20\text{ kg}$‍ છે . ફુગ્ગાનો વ્યાસ $3.50\text{ m}$‍ છે . હવાની ઘનતા $1.23{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ છે .

આ થોડું અઘરું છે તેથી આપણે સૌપ્રથમ ફુગ્ગા માટે મુક્ત પદાર્થ રેખાચિત્ર (દા.ત., બળ આકૃતિ) દોરવું જોઈએ. અહીં ઘણી બધી સંખ્યાઓ પણ છે તેથી આપણે આકૃતિમાં જ્ઞાત ચલનો સમાવેશ કરી શકીએ જેથી આપણે તેમને જોઈ શકીએ (નોંધો કે આ ઉદાહરણમાં, વિસ્થાપિત થતું તરલ હવા છે.)

ગોળાકાર ફુગ્ગો પ્રવેગિત થતો નથી, તેથી બળ સંતુલિત થવા જ જોઈએ (દા.ત.,પરિણામી બળ નથી). તેથી આપણે એ વિધાનથી શરૂઆત કરી શકીએ કે કુલ ઉપરની તરફ અને નીચેના તરફના બળોનુ મૂલ્ય એકસમાન છે.