વહન દર શું છે?

તમે કદાચ વહન દર શબ્દ સાંભળો અને તમે એ થોડો કંટાળાજનક લાગે, પણ વહન દર તમને જીવંત રાખે છે. કઈ રીતે એ તમને થોડી જ સેકન્ડમાં જણાવીશ, પણ તે પહેલા વહન દરને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તરલના વહન દર $Q$‍ ને તરલના ઘનફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એકમ સમયે આપેલા આડછેદના ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થાય છે. આડછેદના ક્ષેત્રફળ ને એવા ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાંથી કંઈકનું વહન થઈ રહ્યું હોય, જેમ કે, નીચેની આકૃતિમાં ત્રુટક રેખાની અંદર ગોળાકાર ક્ષેત્રફળ.

વહન દર ઘનફળના જથ્થાનું માપન કરે છે જે પ્રતિ સમય ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થાય છે, તેથી વહન દરનું સમીકરણ નીચે મુજબ દેખાય છે:

S.I.એકમ (આંતરરાષ્ટ્રીય એકમ પદ્ધતિ) માં, વહન દરનો એકમ મીટર ઘન પ્રતિ સેકન્ડ, ${\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{s}}}$‍ છે, તેથી તે આપણને તરલના ઘન મીટરની સંખ્યા જણાવે છે જે પ્રતિ સેકન્ડ પસાર થાય છે.

તેથી વહન દર તમને જીવંત કઈ રીતે રાખે છે? તમારું હૃદય રુધિરના જથ્થાને પંપ કરે છે તેના બરાબર લગભગ દરેક ચાર સેકન્ડે સોડાના કેનનું ઘનફળ થાય.

$Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍ તરીકે વહન દરને લખવા માટે ત્યાં બીજી એક ઉપયોગી રીત છે.

નળીમાં તરલના ભાગનું ઘનફળ $V=Ad$‍ તરીકે લખી શકાય, જ્યાં $A$‍ તરલના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$‍ તરલના ભાગની પહોળાઈ છે, નીચેની આકૃતિ જુઓ. આપણે વહન દરના સૂત્રમાં ઘનફળ $V$‍ માટે આ કિંમત મૂકી શકીએ:

પણ પદ ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ ફક્ત તરલના ઘનફળની લંબાઈ ભાગ્યા તે લંબાઈમાંથી પસાર થતા તરલને લાગતો સમય છે, જે ફક્ત તરલની ઝડપ છે. તેથી આપણે અગાઉના સમીકરણમાં $v$‍ સાથે ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ ને બદલી શકીએ

$A$‍ નળીના વિભાગના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, અને $v$‍ તે વિભાગમાં તરલની ઝડપ છે, તેથી વહન દર માટે આપણે નવું સૂત્ર $Q=Av$‍ મેળવીએ છીએ જે વહન દરની મૂળભૂત વ્યાખ્યા કરતા ઘણીવાર ખુબ ઉપયોગી છે કારણકે ક્ષેત્રફળ $A$‍ નક્કી કરવું ખુબ સરળ છે. મોટા ભાગની નળી નળાકાર હોય છે—જેનો અર્થ થાય કે $A=\pi r^2$‍ વડે ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે—અને તરલની ઝડપ $v$‍ એવી રાશિ છે જે ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં રસપ્રદ હોય છે.

ધ્યાન રાખો, હવે આપણે એવા બે પદો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ જે સમાન દેખાય છે. કેપિટલ લેટર $V$‍ ઘનફળ દર્શાવે છે, અને લોઅરકેસ કેટર $v$‍ ઝડપ દર્શાવે છે. લોકો ઘણી વાર ઘનફળ $V$‍ અને ઝડપ $v$‍ માટેની સંજ્ઞાને મિશ્ર કરે છે, કારણકે તેનો સમાન દેખાય છે.

મોટા ભાગના પ્રવાહીઓ લગભગ અદબનીય હોય છે. તેનો અર્થ થાય કે ગેલન દૂધને જુદા જુદા આકારના ગેલન-કદના પાત્રમાં મૂકી શકાય છે, પણ તમે અડધા-ગેલન કદના પાત્રમાં ગમે તેટલું સંકોચન કરો તો પણ દૂધનું સંકોચન કરી શકતા નથી.

પ્રવાહીઓ અદબનીય હોય છે, તેથી નળીમાંથી પસાર થતા પ્રવાહીનો કોઈ પણ ભાગ આકાર બદલી શકે છે, પણ તેનું ઘનફળ સમાન જ રહે છે. નળીનો વ્યાસ બદલવામાં આવે તો પણ આ સાચું છે. નીચેની આકૃતિમાં, ડાબી બાજુ પર પ્રવાહીનું ઘનફળ, $V$‍, નળીના સાંકળા ભાગમાં દાખલ થતી વખતે આકાર બદલે છે, પણ પ્રવાહીઓ અદબનીય હોવાના કારણે તે કદ જાળવી રાખે છે.

પ્રવાહીઓ નળીમાંથી પસાર થાય ત્યારે તેમનું કદ જાળવી રાખે છે કારણકે તેઓ લગભગ અદબનીય હોય છે. તેનો અર્થ થાય કે આપેલા સમયે નળીમાં દાખલ થતા પ્રવાહીનું ઘનફળ તે જ સમાન સમયે નળીમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના ઘનફળને સમાન હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે એક કલાકમાં 2 m${}^3$‍ પાણી નળીની અંદર દાખલ કરો જે પેહેલથી જ સંપૂર્ણ ભરાયેલી છે તો તે જ સમાન સમયે નળીમાંથી બહાર નીકળતું પાણી 2 m${}^3$‍ હોવું જોઈએ. પાણી માટે બીજો વૈકલ્પિક નળીની અંદર તેનું સંકોચન છે—જે થવું જોઈએ નહિ—અથવા કદમાં ફેરફાર છે—wઆપણે ધારી લઈશું કે જો નળી દ્રઢ હોય તો આ થશે નહિ. યાદ રાખો કે તમે ફક્ત નળીના શરૂઆતના કે અંતિમ બિંદુઓ જ લઇ શકો નહિ, પણ આ દલીલ નળીના કોઈ પણ બે વિભાગમાં પ્રવેશતા અને બહાર નીકળતા પાણી માટે સાચું છે.

તેથી, નળીમાં કોઈ પણ બિંદુ આગળ અદબનીય તરલ માટે વહન દર $Q$‍ નળીમાં બીજા કોઈ પણ બિંદુ આગળ વહન દરને સમાન જ હોય છે.

આને સૂત્ર સાથે ગાણિતિક રીતે દર્શાવી શકાય $Q=\text{અચળ}$‍, અથવા—નળીમાં કોઈ પણ બે બિંદુઓને પસંદ કરો—આપણે ગાણિતિક રીતે દર્શાવી શકે કે કોઈ પણ બે બિંદુઓ આગળ વહન દર સમાન જ હોય છે

હવે આપણે સૂત્રની $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍ કિંમત મૂકીએ, મેળવીએ

વૈકલાપિક રીતે, આપણે સૂત્ર $Q_1=Q_2$‍ માં, વહન દરના બીજા વૈકલ્પિક સ્વરૂપ $Q=Av$‍ ને મૂકી શકાય છે

આ સમીકરણને અદબનીય તરલ માટે સાતત્યનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે—અગાઉના બે સમીકરણને કેટલીક વાર સાતત્યનું સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે. સમીકરણ નામ જેટલું રહસ્યમયી નથી કારણકે તે જેમ નળીમાંથી પસાર થાય તેમ કદ અદબનીય છે એમ ધારીને આપણે આ શોધી શકીએ.

સમીકરણ ખુબ જ ઉપયોગી છે, ખાસ કરીને આ સ્વરૂપમાં, કારણકે તે જણાવે છે કે $Av$‍ ની કિંમત આખી નળી દરમિયાન અચળ હોય છે. બીજા શબ્દોમાં, નળીમાં તમે કઈ જગ્યાએ શોધો છો એ જરૂરી નથી, જો તરલ અદબનીય હોય તો, આપેલી નળી માટે આ સંખ્યા હંમેશા સમાન જ આવશે.

તેથી, જો નળીના વિભાગનું ક્ષેત્રફળ, $A$‍ ઘટે, પ્રવાહીની ઝડપ, $v$‍, પણ ઘટવી જોઈએ જેથી ગુણાકાર $Av$‍ સમાન રહે. આનો અર્થ થાય કે જ્યારે નળીના સાંકળા ભાગમાંથી તરલ પસાર થાય ત્યારે તેમની ઝડપ વધારે હોય છે, અને જ્યારે તેઓ નળીના પહોળા વિભાગમાં પહોંચે ત્યારે તેની ઝડપ ઓછી હોય છે. આ રોજીંદા અનુભવ સાથે બંધબેસે છે—જો તમે નળીના હોસને તમારા અંગુઠા વડે દાબવી લો, તો અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A$‍ ઘટશે. વહન દર, $Av$‍, સમાન રહે છે એ વાતની ખાતરી કરવા માટે પાણી ખુબ જ ઝડપ, $v$‍, થી બહાર આવે છે. તેથી જ સાંકળી નોઝલ, જે ક્ષેત્રફળ ($A$‍) ઘટાડે છે, નળીના બિંદુ આગળ તરલની ઝડપ, $v$‍, વધારવા માટે જોડવામાં આવે છે.

ખુબ જ પૈસાદાર સ્ત્રી જેને સોડા ગમે છે એ નળાકાર પાઈપ સાથે પોતાનું ઘર બનાવે છે જે માઉન્ટેઇન ડયૂને નીચેથી ઉપર બેડરૂમ તરફ લઈ જાય છે. માઉન્ટેઈન ડયૂ પાઈપ વડે ઘરની નીચેના ભાગમાં દાખલ થાય છે જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 0.0036 m${}^2$‍ છે અને 0.48 મીટર પ્રતિ સેકન્ડના ઝડપથી ગતિ કરે છે. પૈસાદાર સ્ત્રીના બેડરૂમમાં, પાઈપ જેના વડે માઉન્ટેઇન ડયૂ બહાર નીકળે છે એનું ક્ષેત્રફળ 0.0012 m${}^2$‍ છે.

નોંધ: આપણે બેડરૂમમાં નળીનું ક્ષેત્રફળ, $A_2$‍ નીચેના ભાગના ક્ષેત્રફળ, $A_1$‍ કરતા ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ છે એવું નોંધીને આ પ્રશ્નને ઉકેલી શકીએ. આનો અર્થ થાય કે માઉન્ટેઇન ડયૂની ઝડપ બેડરૂમની ઝડપ કરતા ત્રણ ગણી હશે,અવયવ $Av$‍ સમાન રહેવો જોઈએ.

શેફ ખાતરી કરવા માંગે છે કે તેની પાસે કપકેક રેસિપી માટે કોકોનટ મિલ્ક તૈયાર છે, તેથી તે નળાકાર નળી બનાવે છે જે સ્ટોરરૂમમાંથી રસોડા તરફ જાય છે. સ્ટોરરૂમમાં પાઈપ પાસે 4 cm ત્રિજ્યા છે જ્યાં કોકોનટ મિલ્કની ઝડપ 0.25 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે. કોકોનટ મિલ્ક 1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપ સાથે રસોડામાંથી બહાર નીકળે છે.

નોંધ: આપણે સેન્ટિમીટરના એકમમાં ત્રિજ્યા $r_1=4\text{ cm}$‍ ની કિંમત મુકો, જેનો અર્થ થાય કે આપણો જવાબ પણ સેન્ટિમીટરમાં આવે.