ઉછળતા ફળની અથડામણનો પ્રશ્ન

ત્યાં વૃક્ષની ડાળી પર સફરજન લટકે છે અને તમને તે સફરજન જોઈએ છે પરંતુ તમે વૃક્ષ પર ચડી શકતા નથી સદ્ નસીબે તમારી મારી પાસે તમારા ખિસ્સામાં એક નારંગી છે તમે આ નારંગીને બહાર કાઢો છો અને તેને સફરજનની તરફ ફેંકો છો નારંગી સફરજન સાથે અહીં અથડાય છે તેથી સફરજન દૂર જઈને પડે છે હવે તમારી પાસે નારંગી અને સફજન બંને છે અને હવે આ અથડામણનો પ્રશ્ન છે અને ભૌતિક શાસ્ત્રમાં જો તમારી પાસે અહીં સંખ્યાઓ હોય તો તમે વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ વેગ દળ અને વેગમાન માટે ઉકેલી શકો અહીં અમુક સંખ્યાઓ લઈએ અને જોઈએ કે કેટલીક રાશિઓ માટે ઉકેલી શકાય છે કે નહિ ધારો કે અહીં સરફજનનું દળ 0 .7 કિલો ગ્રામ છે અને આ નારંગીનું દળ 0 .4 કિલો ગ્રામ છે ધારો કે અથડામણ પહેલા આ નારંગીની ઝડપ 5 મીટર પ્રતિ સેકેંડ છે માટે જયારે તમે નારંગીને આ પ્રમાણે ફેંકો ત્યારે તે સમક્ષિતિજ દિશામાં જશે સફરજન સાથેની અથડામણ પહેલા તે જમણી બાજુ 5 મીટર પ્રતિ સેકેંડથી જાય છે ધારો કે અથડામણ બાદ સફરજનનો વેગ 3 મીટર પ્રતિ સેકેંડ છે જયારે નારંગી સફરજન સાથે અથડાય છે ત્યાર બાદ સફરજન 3 મીટર પ્રતિ સેકેંડના વેગથી જમણી બાજુ જાય છે અહીં આ અથડામણ બાદ સફરજનનો વેગ છે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે અથડામણ બાદ નારંગીનો વેગ શું થશે અને તે કઈ દિશામાં જશે આપણે નારંગીના વેગને Vo તરીકે દર્શાવીશું હવે અથડામણ થયા બાદ તે ડાબી બાજુ જશે કે જમણી બાજુ આપણે હવે તેને ઉકેલીએ તેને ઉકેલવા વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીએ અને વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આઘાત ન હોય અને અહીં આપણું તંત્ર સફરજન અને નારંગી છે જો આ ફળો પર કોઈ બાહ્ય આઘાત ન હોય તો અથડામણ પહેલાનો કુલ વેગમાન બરાબર અથડામણ પછીનો કુલ વેગમાન થવું જોઈએ અને અથડામણ પહેલાની અને અથડામણ પછીની સ્થિતિ દર્શાવવી ખુબ જરૂરી છે કોઈક અહીં ફળ ફેંકી રહ્યું છે તે પહેલાની અને આ સફરજન જમીન પર પડી ગયા બાદની પરિસ્થિતિ વિશે આપણે વાત નથી કરી રહ્યા તમે તે કરી ન શકો મોટા ભાગના અથડામણના પ્રશ્નોમાં અથડામણ પહેલાની અને અથડામણ પછીની જ સ્થિતિ વિશે વાત કરવામાં આવે છે કારણ કે જો તંત્ર પર બાહ્ય આઘાત ન હોય તો જ આ સૂત્ર સાચું પડશે જો તંત્ર પરનો બાહ્ય આઘાત 0 હશે તો જ પરંતુ તમે કહેશો કે શું તે હંમેશા 0 હશે શું તે 0 હોવો જોઈએ અહીં આ કિસ્સામાં શું તે 0 છે અહીં આ સફરજન પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે તેવી જ રીતે અહીં આ નારંગી પર પણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે તો તેનો અર્થ એમ ન થાય કે ત્યાં કોઈ બાહ્ય બળ છે અને જો ત્યાં બાહ્યબળ હોય તો તેનો અર્થ એમ ન થાય કે ત્યાં બાહ્ય આઘાત હશે અને શું તેનો અર્થ એમ થશે કે અહીં વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી અને વાસ્તવમાં તેઓ હશે નહિ તેનું કારણ આ છે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની દિશામાં લાગે છે તેથી તે માત્ર શિરોલંબ દિશા માના વેગમાનને જ અસર કરશે અને આપણે અહીં સમક્ષિતિજ વેગમાનની વાત કરી રહ્યા છીએ નારંગીના સમક્ષિતિજ વેગમાન સાથે શું થશે તે હું જાણવા મંગુ છું હવે બળના આઘાતની વ્યાખ્યા પ્રમાણે તેના બરાબર લાગુ પાડવામાં આવતું બળ ગુણ્યાં સમયગાળો હવે આપણે અહીં અથડામણની તરફ પહેલા સ્થિતિ અને અથડામણની તરત પછીની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઇ રહ્યા છીએ અને જો આપણે તે પરિસ્થિતિ વિશે વાત કરી રહ્યા હોઈએ તો અહીં આ સમયગાળો ખુબ જ નાનો હશે અને તેને કામ કરવા માટે વધુ સમય મળશે નહિ તેનો અર્થ તે થાય કે ત્યાં કોઈ બાહ્ય આઘાત નથી માટે આપણે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા બળના આઘાતને અવગણી શકીએ કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ખુબ જ નાના સમય માટે લાગે છે તેથી આપણે અહીં તંત્ર માટે વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ અને તે કેવું દેખાશે વેગમાન બરાબર દળ ગુણ્યાં વેગ થાય માટે તંત્રનું પ્રારંભિક વેમં બરાબર મારે આ બંનેના પ્રારંભિક વેગમાનનો સરવાળો કરવો પડે નારંગીનું પ્રારંભિક વેગમાન 0 .4 કિગ્રા જે તેનું દળ છે ગુણ્યાં તેનો વેગ 5 મીટર પ્રતિ સેકેંડ + સફરજનનો પ્રારંભિક વેગમાન 0 .7 કિગ્રા જે તેનું દળ છે પરંતુ તેનો પ્રારંભિક વેગ 3 મીટર પ્રતિ સેકેંડ નથી લોકો અહીં તેની કિંમત મૂકે છે આ સફરજનનો અંતિમ વેગ છે સફરજનનો પ્રારંભિક વેગ 0 થશે કારણ કે તે વૃક્ષની ડાળી પર લટકેલું છે તેથી ગુણ્યાં 0 મીટર પ્રતિ સેકેંડ અને તેનો અર્થ એ થાય કે અહીં આ આખું પદ 0 થઇ જશે 0 ગુણ્યાં 0 .7 0 જ થાય તેથી આ આખું પદ દૂર થઇ જશે હવે અહીં આ તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન છે તેના બરાબર તંત્રનું કુલ અંતિમ વેગમાન નારંગીનું અંતિમ વેગમાન નારંગીનું દળ 0 .4 કિલો ગ્રામ ગુણ્યાં નારંગીનો અંતિમ વેગ જે આપણે શોધવા માંગીએ છીએ આપણે અહીં નારંગીનો અંતિમ વેગ જાણતા નથી અહીં આ નારંગીનું અંતિમ વેગમાન થશે + સફરજનનું અંતિમ વેગમાન સફરજનનું દળ 0 .7 કિગ્રા ગુણ્યાં સફરજનનો અંતિમ વેગ જે 3 મીટર પ્રતિ સેકેંડ છે જયારે તમે કોઈ પણ તંત્ર માટે વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરો ત્યારે ફક્ત એક જ વસ્તુનો પ્રારંભિક વેગમાન બરાબર તે વસ્તુનું અંતિમ વેગમાન લઇ શકાય નહિ તમારે આખા તંત્ર માટે કુલ પ્રારંભિક વેગમાન લેવું પડે અને તેના બરાબર આખા તંત્રનું કુલ અંતિમ વેગમાન થશે હવે આપણે તેને ઉકેલીએ આપણી પાસે અહીં ફક્ત એક જ અજ્ઞાત છે 0 .4 ગુણ્યાં 5 તેના બરાબર 2 .0 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડ થશે આ પદ બરાબર 0 થાય તેથી હું તેને ઉમેરતી નથી = 0 .4 કિગ્રા ગુણ્યાં Vo + 0 .7 ગુણ્યાં 3 2 .1 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડ થશે આમ અહીં આપણા તંત્રએ જમણી બાજુ 2 .0 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડના વેગમાનથી શરૂઆત કરી જે આ નારંગીનું પ્રારંભિક વેગમાન છે અને ત્યાર બાદ આપણા તંત્રએ જમણી બાજુ 2 .1 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડના વેગમાનથી પૂરું કર્યું જે આ સફરજનનું અંતિમ વેગમાન છે + આ નારંગીનું અંતિમ વેગમાન હવે તમને કદાચ પ્રશ્ન થશે કે 2 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડ બરાબર 2 .1 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડ + કંઈક થશે જો મેં 2 .1 થી શરૂઆત કરી હોય તો આ જમણી બાજુ બરાબર 2 થઇ શકે યાદ રાખો કે અહીં તે થઇ શકે કારણ કે વેગમાન એ સદિશ છે તે જમણી બાજુ જાય છે એ ડાબી બાજુ તેના આધારે તેઓ ધન કે ઋણ હોઈ શકે તે આપણને દર્શાવે છે કે અથડામણ પછી નારંગીનું વેગમાન ડાબી બાજુએ હોવું જોઈએ તેથી જો આપણે આ જમણી બાજુનો સરવાળો કરીએ તો આપણને ફરીથી 2 મળે અને હવે આપણે જાણીએ છીએ કે નારંગીનો અંતિમ વેગ ઋણ હશે હવે જો તમે આ સમીકરણને ઉકેલો તો તે તમને દર્શાવશે કે નારંગી જમણી બાજુ જાય છે કે ડાબી બાજુ સમીકરણની બંને બાજુએથી 2 .1 ને બાદ કરીએ તેથી આપણને -0 .1 કિગ્રા મીટર પ્રતિ સેકેંડ મળે જેના બરાબર નારંગીનો અંતિમ વેગમાન 0 .4 કિગ્રા ગુણ્યાં Vo હવે સમીકરણની બંને બાજુએ 0 .4 કિગ્રા વડે ભાગીએ તો આપણને તેના બરાબર 0 .25 મીટર પ્રતિ સેકેંડ વેગ મળે જે નારંગીનો અંતિમ વેગ છે આમ તમારે સમીકરણને ઉકેલતા પહેલા તે કઈ દિશામાં જશે તે નક્કી કરવાની જરૂર નથી વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તે કઈ દિશામાં જશે તે તમે શોધી શકો અહીં ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વેગમાનના સંરક્ષણને જાણવા માટે આ નારંગી ડાબી બાજુ જશે અથડામણ પછી આ નારંગી ડાબી બાજુએ જશે અને તેનું મૂલ્ય 0 .25 મીટર પ્રતિ સેકેંડ હશે આમ આપણે વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન બરાબર તંત્રનું કુલ અંતિમ વેગમાન લઈને અજ્ઞાત રાશિને ઉકેલી શકીએ પરંતુ અહીં આ ઋણ નિશાનીને ધ્યાનમાં રાખવી જરૂરી છે જો અહીં પ્રારંભિક વેગ ઋણ હોત તો આપણે અહીં તેની ઋણ સંખ્યા મુક્તે અને જો આપણો અંતિમ વેગ ઋણ હોય તો તે દર્શાવે છે કે તે પદાર્થ ડાબી દિશામાં ગતિ કરે છે અને બીજું કે જયારે તંત્ર પરનો બાહ્ય આઘાત 0 હોય ત્યારે જ આપણે વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ કારણ કે આપણે અહીં અથડામણની તરફ પહેલાનું બિંદુ અને અથડામણ પછીના તરફ બિંદુ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ અને તે સમયગાળો ખુબ જ નેનો હશે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કામ કરવા માટે ખુબ જ ઓછો સમય મળે હવે જો આ સફરજન વૃક્ષની ડાળી સાથે ખુબ જ મજભૂતયીથી જોડાયેલો હોય તો ત્યાં બાહ્ય બળ હશે અને પરિણામે બાહ્ય આઘાત પણ હશે તેથી આપણે અહીં એવું ધારી લઈએ કે આ સફરજન ડાળી સાથે થોડું જ લટકેલું છે અને તેને નીચે પાડવા માટે ખુબ જ ઓછા બળની જરૂર છે જેથી ત્યાં કોઈ બાહ્ય આઘાત હશે નહિ અને આપણે વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ