કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રની કલનશાસ્ત્ર સાબિતી

આ વીડિઓમાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ના સૂત્રને સાબીત કરવા માંગુ છુ જે દર્શાવે છે કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ નું મૂલ્ય વેગ નો વર્ગ છેદમાં ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે હું એ બાબત સ્પષ્ટ કરવા માંગુ છુ કે અહીં આ અદિશ સૂત્ર છે આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય અને વેગ ગામી મૂલ્યની વાત કરી રહ્યા છીએ જો આ બને સદિશ હોત તો આપણને તેની ઉપર એરો દર્શાવા પડતા પરંતુ અહીં આ બને અદિશ રાશિ છે તેથી આપણે અહીં ફક્ત સૂત્ર ના મૂલ્ય ની વાત કરી રહ્યા છીએ વેગનો વર્ગ બરાબર વેગનું મૂલ્ય એટલે કે આ ફક્ત ઝડપ થશે અને આપણે અહીં ફક્ત પ્રવેગ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ આપણે આ બધીજ રાશિ અદિશ છે હવે તેને સાબિત કરવા આપણે એવું ધરી લઈએ કે કોઈક વસ્તુ કોઈક ગ્રહ ની આજુબાજુ ભ્રમણ કરે છે ધારો કે આ ગ્રહ છે આપણે આ પણ વસ્તુ છે તે ગ્રહ ની કક્ષા માં પરિભ્રમણ કરે છે તે વિષમ દિશા ઘડીમાં એટલે કે ઘડિયાળ ના કાંટા ની વિરુદ્ધ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે આપણે તેના સ્થાન સદિશન ની ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ આપણે સમયના વિધેય તરીકે સ્થાન સદિશ ને વ્યાખ્યાયિત કરીશું ધારો કે અહીં આ સ્થાન સદિશ છે અને જેમ જેમ સમય બદલાશે તેમ તેમ આ સ્થાન સદિશ બદલાશે વસ્તુ જેમ જેમ આ પ્રમાણે ભ્રમણ કરશે તેમ તેમ આ સ્થાન સદિશ બદલાશે હવે અહીં આ સાબિતી માટે આ આપણે અક્ષ ધારી લઈએ ધારો કે આ Y અક્ષ છે અને આ X અક્ષ છે આ X અક્ષ અને આ Y અક્ષ હવે આ સદિશ અને સમક્ષિતિજ ધન X અક્ષ વચ્ચેના ખૂણા ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ આપણે અહીં આ ખૂણા ને થીટા કહીશું અને આપણે એ ધારી લઇએ કે અહીં આ સ્થાન સદિશ ની લંબાઈ R છે અને તેની દિશા બદલાય રહી છે પરંતુ તેનું મૂલ્ય બદલાતું નથી તેનું મૂલ્ય R છે તે R ત્રિજ્યા વાળું વર્તુળ માં ભ્રમણ કરે છે આમ આ સ્થાન સદિશ નું મૂલ્ય દિશા R જ રહેશે આપણા સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય જે સમય ના વિધેય તરીકે બદલાય રહ્યું છે તેનું મૂલ્ય હંમેશા R થશે હવે આપણે કોઈ પણ સમયે આ સ્થાન સદિશ ને તેના ઘટકો ના સ્વરૂપ માં તેને કઈ રીતે દર્શાવી શકીએ આપણે કોઈ પણ સમયે સ્થાન સદિશનું તેના ઘટકો માં વિભાજન કરવા આપણે ત્રિકોણ મિતિ નો ઉપયોગ કરી શકીએ જો તમને તે યાદ ન હોય તો તમે તેના વિડિઓ જોઈ શકો કોઈ પણ સમયે સ્થાન સદિશ નું મૂલ્ય તેની લંબાઈ R છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે ધન X અક્ષ સાથે થીટા જેટલો ખૂણો બનાવે છે તો અહીં તેનો સમક્ષિતિજ ઘટક અથવા સમક્ષિતિજ ઘટક નું મૂલ્ય R ગુણ્યાં કોસાઈન ઑફ થીટા થશે અને આપણે આ દ્રિ પરિમાણીય પ્રક્ષિપ્ત ગતિ ના વીડિઓમાં જોયું હતું સદિશ ને તેના ઘટકોમાં કઈ રીતે વિભાજીત કરી શકાય તેના માટે ત્રિકોણ મિતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને તેનો શિરોલંબ ઘટક અથવા તેના શિરોલંબ ઘટકનું મૂલ્ય જે આને સમાન જ થશે તેનું મૂલ્ય R ગુણ્યાં સાઈન ઑફ થીટા થાય હવે કોઈ પણ સમયે સ્થાન સદિશ ને આ પ્રમાણે લખી શકાય તેને આ બને ઘટકો ના સરવાળા તરીકે લખી શકાય માટે તેના બરાબર R કોસાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય છે ગુણ્યાં X દિશામાં એકમ સદિશ એકમ સદિશ I ગુણ્યાં એકમ સદિશ I વતા તેનો Y ઘટક લખીએ R સાઈન થીટા જે T નું વિધેય છે ગુણ્યાં Y દિશામાં એકમ સદિશ જે J થશે આમ J એકમ સદિશ એ થીટા નું વિધેય છે જે T નું વિધેય છે અહીં આ બાબત ને કૌંશ માં લખીએ આ પ્રમાણે આમ સ્થાન સદિશ એ થીટા નું વિધેય છે અને થીટા એ T નું વિધેય છે હવે આપણે આ બાબત નું વીકલીત લઈએ સ્થાન સદિશનું T ના સ્થાને વીકલીત લઈએ અને તેના બરાબર વેગ થશે તેના બરાબર વેગ સદિશ થાય જે T નું વિધેય છે આપણે અહીં ચેઇન રુલ નો ઉપયોગ કરીએ સૌ પ્રથમ R ને અહીં બહાર રાખીએ લખીએ કારણ કે તે અચળ છે ત્યાર બાદ કૉસ થીટા જે T નું વિધેય છે તેનું વીકલીત માઇનસ સાઈન થીટા થશે જે T નું વીકલીત છે આ પ્રમાણે ગુણ્યાં અંદર ના વિધેય નું T સાપેક્ષ એ વીકલીત જે D થીટા ના છેદમાં DT થશે ગુણ્યાં એકમ સદિશ I આપણે અહીં ચેઇન રુલ નો ઉપયોગ કર્યો વતા ફરીથી R અચળ છે સાઈન થીટા જે T નું વિધેય છે T તેનું નું વીકલીત કોસાઈન ઑફ થીટા થશે જે T નું વીકલીત થશે અને ત્યાર બાદ થીટા T નું સાપેક્ષ એ વીકલીત લઈએ તો તે એ D થીટા ના છેદમાં DT થાય ગુણ્યાં એકમ સદિશ J હવે તમે અહીં કદાચ કોઈક બાબત નોંધી હશે જો તમને તે યાદ ન હોય તો તમે કોણીય વેગનો વિડિઓ જોઈ શકો છો D થીટા ના છેદમાં DT કોણીય વેગ છે જો તમને તે યાદ ન હોય તેનો વિડિઓ ફરીથી જોઈ શકો અહીં આ કોણીય વેગ થશે અને અહીં આ પણ કોણીય વેગ થશે T ની સાપેક્ષ એ ખૂણામાં તથા ફેરફાર નો દર અને અહીં આ વિડિઓ માટે આ સૂત્રને સાબિત કરવા માટે આપણે એક ધારણા કરીએ છીએ જે કંઈક આ પ્રમાણે થશે કોણીય વેગ જે T ની સાપેક્ષ એ ખૂણામાં તથા ફેરફાર નો દર છે તે અચળ છે આ વિડિઓ માટે આપણે આ ધારણા કરીએ છીએ હવે જો અહીં ઓમેગા અચળ હોય તો આપણે અહીં આ સમીકરણ માં આ બને અચળ ને સામાન્ય તરીકે લઇ શકીએ તેથી આપણે આ આખી પદાવલિ માંથી માઇનસ R ઓમેગા ને સામાન્ય લઈએ તેથી V ઑફ T બરાબર V ઑફ T બરાબર આપણે માઇનસ ઓમેગા ગુણ્યાં R ને સામાન્ય લઈએ તેથી આપણી પાસે કૌંસ માં કઈક આ પ્રમાણે બાકી રહે આપણે R ને સામાન્ય લીધો માઇનસ ને સામાન્ય લીધો અને ઓમેગા ને પણ સામાન્ય લીધો તેથી આપણી પાસે કૌંસ માં સાઈન થીટા જે T નું વિધેય છે આ પ્રમાણે ગુણ્યાં એકમ સદિશ I બાકી રહે હવે અહીં થી આ માઇનસ ને બહાર કાઢ્યું છે તેથી આ માઇનસ આવશે કોસાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય છે આ પ્રમાણે ગુણ્યાં એકમ સદિશ J આ રીતે આમ આ માઇનસ ઓમેગા ગુણ્યાં R ને સામાન્ય લીધું હવે આપણે આ વેગ સદિશનું ફરીથી વીકલીત લઈએ તેથી DV ના છેદમાં DT તેની સાપેક્ષે તેનું વીકલીત લઈએ તો આપણે અહીં તેના પર બરાબર પ્રવેગ મળશે જે T નું વિધેય છે તેથી તેના બરાબર માઇનસ ઓમેગા ગુણ્યાં R જે અચળ છે અને અહીં ફરીથી ચેઇન રુલ નો ઉપયોગ કરીએ સાઈન થીટા ઑફ T નું વીકલીત કોસાઈન થીટા ઑફ T થશે થીટા એ T નું વિધેય છે અને પછી થીટા ઑફ T ની સાપેક્ષે વીકલીત D થીટા ના છેદમાં DT થાય D થીટા ના છેદમાં DT એ ઓમેગા છે ગુણ્યાં એકમ સદિશ I ઓછા કોસાઈન ઑફ થીટા ઑફ T નું વીકલીત માઇનસ સાઈન થીટા ઑફ T થશે તેથી અહીં આ + થશે આ પ્લસ થાય સાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય છે આ પ્રમાણે અને પછી થીટા ઑફ T નું T ની સાપેક્ષે વીકલીત કરીએ તો D થીટા ના છેદમાં DT મળે જેના બરાબર ઓમેગા જ થાય ગુણ્યાં એકમ સદિશ J કૌંશ પૂરો કરીએ હવે અહીં ફરીથી ઓમેગા ને સામાન્ય લઈએ તેથી પ્રવેગ જે સમય નું વિધેય છે તેના બરાબર -ઓમેગા નો વર્ગ ગુણ્યાં R કૌંશ કોસાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય આ પ્રમાણે ગુણ્યાં એકમ સદિશ I + સાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય છે આ પ્રમાણે ગુણ્યાં એકમ સદિશ J હવે અહીં આ ભાગ જેને હું નારંગી રંગ વડે દર્શાવી રહી છું તેના બરાબર શું થશે જો આપણે અહીં R નું વિભાજન કરીએ તો આપણને R ગુણ્યાં કોસાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય છે ગુણ્યાં એકમ સદિશ I+R ગુણ્યાં સાઈન ઑફ થીટા જે T નું વિધેય છે ગુણ્યાં એકમ સદિશ J મળે અને તેના બરાબર આજ થશે તેથી આ આખા બરાબર સ્થાન સદિશ જે T નું વિધેય છે આપણે તેને આ પ્રમાણે લખી શકીએ માટે પ્રવેગ જે T નું વિધેય છે તેના બરાબર માઇનસ કોણીય વેગના મૂલ્ય નો વર્ગ જે અચળ છે ગુણ્યાં સ્થાન સદિશ જે Tનું વિધેય છે હવે જયારે આપણે દ્રિ પરિમાણ માં કામ કરી રહ્યાં હોઈએ ત્યારે આ કોણીય વેગ ને અદિશ ધારીએ છીએ તેથી આ અદિશ રાશિ થશે જે અચળ છે હવે અહીં આ સદિશ છે પરંતુ આપણે ફક્ત તેનું મૂલ્ય લઈએ આપણે અહીં સમીકરણની બને બાજુએ ફક્ત તેનું મૂલ્ય લઈએ આ પ્રમાણે તેથી આના બરાબર માઇનસ ઓમેગા ના વર્ગનું મૂલ્ય થશે ગુણ્યાં સ્થાન સદિશ જે T નું વિધેય છે તેનું મૂલ્ય હવે અહીં આ પ્રવેગના સદિશનું ,મૂલ્ય a સબ c થાય તેના બરાબર આપણે તેનું મૂલ્ય લઇએ છીએ એટલે કે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ અને આ માઇનસ ઓમેગા વર્ગનું નિરપેક્ષ ધન ઓમેગા નો વર્ગ થશે આપણે ફક્ત મૂલ્ય જ લઇ છીએ આપણે ફક્ત તેની દિશાને ધ્યાન માં નથી લેતા અને આ માઇનસની નિશાની દિશા દર્શાવે તેથી તેના બરાબર ફક્ત ઓમેગા નો વર્ગ થાય અને આ સ્થાન સદિશ નું મૂલ્ય લઈએ તો આપણે અગાવું જોઈ ગયા કે સ્થાન સદિશ નું મૂલ્ય તેની લંબાઈ R છે તમે અને જે વર્તુળ માં ભ્રમણ કરી રહ્યા છીએ તેની ત્રિજ્યા તેથી તેનું મૂલ્ય R થશે હવે આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગ ઓમેગા બરાબર V અહીં આ ઝડપ થશે વેગ નું મૂલ્ય છેદમાં R ઓમેગાની આ કિંમત ને આ સમીકરણ માં મૂકીએ તેથી આના બરાબર V ના છેદમાં R આખાનો વર્ગ ગુણ્યાં R અને તેના બરાબર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હવે આપણે તેનું સાદુંરૂપ આપીએ તેના બરાબર V નો વર્ગ છેદમાં R નો વર્ગ ગુણ્યાં R અહીં થી એક R કેન્સલ થઇ જશે અને આપણે અહીં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ નું મૂલ્ય બરાબર વેગના મૂલ્યનો વર્ગ જે ઝડપ છે ભાગ્યા R મળે આમ આપણે તે સાબિત કર્યું આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર છે