કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રની આલેખથી સમજ

ધારો કે મારી પાસે આ રીતે વર્તુળ આકાર પથ પર ગતિ કરતી વસ્તુ છે અને મેં આ પથ પર જુદા જુદા બિંદુએ વેગ સદેશ દોર્યા છે અહીં આ વેગ સદિશ 1 થશે આ વેગ સદિશ 2 થશે અને આ આ વેગ સદિશ 3 થશે આપણે આ વીડિઓમાં એ ધારી લઈશું કે આ વેગ સદિશ નું મૂલ્ય અચળ છે તેની ઝડપ અચળ છે લોવર કેસ v તેની ઉપર મેં એરો નથી દોર્યું પરંતુ તે અદિશ રાશિ છે હું તેને ઝડપ કહીશ ઝડપ એટલે કે સ્પીડ અથવા તેને આ સદિશ નું મૂલ્ય પણ કહી શકાય અને તે અચળ છે તે તેના બરાબર વેગ સદિશ 1 નું મૂલ્ય વેગ સદિશ 1 નું મૂલ્ય જેના બરાબર વેગ સદિશ 2 નું મૂલ્ય સદિશ 2 નું મૂલ્ય દિશા સ્પષ્ટ રીતે બદલાય રહી છે પરંતુ મૂલ્ય સમાન છે અને તેના બરાબર વેગ સદિશ 3 નું મૂલ્ય સદિશ 3 નું મૂલ્ય આપણે ધારી લઈએ કે તે r ત્રિજ્યા વાળા વર્તુળ પથ પર ગતિ કરે છે હું દરેક બિંદુએ સ્થાન સદિશ દોરીશ અહીં આ સ્થાન સદિશ r1 છે ત્યાર બાદ આ સ્થાન સદિશ r2 છે અને ત્યાર બાદ આ સ્થાન સદિશ r3 છે પરંતુ સ્થાન સદિશ ના મૂલ્ય સમાન છે હું સ્થાન સદિશના મૂલ્ય ને વર્તુળ ની ત્રિજ્યા કહીશ આમ અહીં આ અંતર તેથી r બરાબર સ્થાન સદિશ r1 નું મૂલ્ય આ પ્રમાણે તેના બરાબર સ્થાન સદિશ r2 નું મૂલ્ય અને તેના બરાબર સ્થાન સદિશ r3 નું મૂલ્ય હવે હું આ વીડિઓમાં એ સાબિત કરવા માંગુ છું કે ત્રિજ્યા અને ઝડપ આપી હોય ત્યારે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ નું મૂલ્ય જેને હું a સબ c લખીશ તેની ઉપર એરો નથી તેથી તે અદિશ રાશિ છે માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ નું મૂલ્ય બરાબર અચળ ઝડપ નો વર્ગ ભાગ્યા વર્તુળ ની ત્રિજ્યા આપણે આ વીડિઓમાં આ સૂત્ર ને સાબિત કરીશું અને તેને સમજવા માટે બીજા વર્તુળ પર હું આ વેગ સદિશ ને ફરીથી દોરીશ અને તે સદિશ તેમની જાતે જ કઈ રીતે બદલાય છે તે વિચારીશ v1 ને કોપી કરીને પેસ્ટ કરીએ કઈક આ પ્રમાણે તેને કોપી કરીને પેસ્ટ કરીએ અને અહીં આ પ્રમાણે મૂકીએ તે જ સમાન બાબત v2 સાથે કરીએ તેને પણ કોપી કરીને પેસ્ટ કરીએ આ પ્રમાણે અને પછી તે જ સમાન બાબત v3 સાથે કરીએ તેને પણ કોપી કરીને પેસ્ટ કરીએ અને તેને આ રીતે મૂકીએ અહીં આ v1 છે ત્યાર બાદ આ v2 છે અને અહીં થી બિન જરૂરી ભાગ આપણે દૂર કરીએ આ પ્રમાણે હવે આ વર્તુળ ની ત્રિજ્યા કેટલી થશે આ વર્તુળની ત્રિજ્યા બરાબર આ વેગ સદિશો નું મૂલ્ય આપણે જાણીએ છીએ કે આ વેગ સદિશો નું મૂલ્ય v છે જે અદિશ રાશિ છે તેથી અહીં આ વર્તુળ ની ત્રિજ્યા v થશે અને તેવી જ રીતે આ વર્તુળ ની ત્રિજ્યા r થશે વેગ સદિશ આપણને આપેલ સમયમાં સ્થાન માં તથો ફેરફાર આપે છે કયો સદિશ આપણ ને આપેલ સમયમાં વેગમાં તથો ફેરફાર આપે તે પ્રવેગ સદિશ થશે તમારી પાસે અહીં પ્રવેગ હશે આપણે તેને a1 કહીશું ત્યાર બાદ અહીં તેને a2 કહીશું અને અહીં તેને a3 કહીશું હું ખાતરી કરવા માંગુ છું કે તમને આ સમજાયું હશે જો આપણે આ વર્તુળ ની ફરતે જઈએ તો સૌ પ્રથમ સ્થાન સદિશ ડાબી બાજુએ જશે જાય છે અને ત્યાર પછી તે આ રીતે ઉપર જાય છે જેમકે ઘડિયાળ માં 11 વાગ્યા હોય અને ત્યાર પછી આ રીતે સીધું ઉપર જાય છે હવે ઘડિયાળ ના કાંટા ની જેમ જુદી જુદી દિશા દર્શાવે છે અને આપેલ સમયમાં સ્થાન માં ફેરફાર કે વેગ સદિશ છે અહીં વેગ સદિશ ઘડિયાળ ના કાંટા ની જેમ ફરે છે અને તેની સાથે જે ફરી છે તે પ્રવેગ સદિશ છે અહીં આ વેગ સદિશ એ વર્તુળ આકાર ના પથ પર સ્પર્શક છે અને તેઓ ત્રિજ્યા ને લંબ છે તેઓ ત્રિજ્યા ને આ પ્રમાણે લંબ છે આપણે ભૂમિતિમાં શીખી ગયા કે વર્તુળ ને સ્પર્શક હોય તેવી રેખા ત્રિજ્યા ને લંબ હોય છે અને તે જ સમાન બાબત અહીં થાય છે જો તમે અહીં a1 ને જુઓ જોવો જો આપણે અહીં આ a1 ને ખસેડીએ તો તે આ પ્રમાણે કેન્દ્ર તરફ જાય છે તેવી જ રીતે a2 ને લઈએ તો ફરીથી તે કેન્દ્ર તરફ જાય છે અને તે જ રીતે અહીં a3 તે પણ કેન્દ્ર તરફ જાય છે આ બધા ખરેખર કેન્દ્ર તરફ જતા સદિશો છે અને અહીં આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગો સદેંશો છે આપણે ફક્ત તેના મૂલ્યની વાતો કરી રહ્યા છીએ આપણે અનુમાન કરી શકીએ કે તેમના મૂલ્ય સમાન છે આપણે ધારી લઈએ કે તે બધાનું મૂલ્ય a સબ c છે તેના બરાબર સદિશ a1 નું મૂલ્ય તેના બરાબર પ્રવેગ સદિશ a2 નું મૂલ્ય અને તેના બરાબર પ્રવેગ સદિશ a3 નું મૂલ્ય હવે હું એ વિચારવા માંગુ છું કે વર્તુળ ના આ બિંદુંથી આ બિંદુ સુધી જવા કેટલી લંબાઈ લાગશે તેને કાપેલા ચાપ ની લંબાઈ શું છે અહીં આ અહીં આ ચાપ ની લંબાઈ થશે તે વર્તુળ નો ચોથો ભાગ છે તે પરિઘ નો ચોથો ભાગ છે વર્તુળ નો પરિઘ 2પાઇr છે અને તે તેનો ચોથો ભાગ છે અહીં આ ચાપ ની લંબાઈ છે અને ત્યાં જવા માટે તેને કેટલો સમય લાગે તમે પથ ની લંબાઈ ને વેગ અથવા ઝડપ સાથે ભાગો અહીં આ સદિશ નથી આ અદિશ છે માટે આ પથ કાપતા ફરવા લાગતો સમય થશે હવે આ પથ પર લાગતો સમય બરાબર વેગ સદિશ માટે આ પથ પર લાગતો સમય આ સ્થાન સદિશ માટે છે અને આ વેગ સદિશ માટે છે અને સમય સમાન છે અહીં સમય સમાન થશે અને આ પથની લંબાઈ શું થાય આ વર્તુળ છે આ વર્તુળ ની ત્રિજ્યા v છે તેથી પથ ની લંબાઈ પરિઘ નો ચોથો ભાગ હશે થશે માટે તેના બરાબર 1/4 ગુણ્યાં વર્તુળનો પરિઘ 2 પાઇ v થશે અહીં વર્તુળ ની ત્રિજ્યા v છે અને ઝડપ ને સમાન શું છે અહીં ઝડપ પથ પર તેને ધક્કો મારે છે તે વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે અહીં ચાપ સાથે જેને તે ધક્કો મારે છે તે પ્રવેગ સદિશ નું મૂલ્ય છે તેથી છેદ માં a સબ c આવશે અને આ બને સમય એક બીજાને તદન સમાન થશે સ્થાન સદિશ માટે આ આ સદિશ ને આ રીતે જવા માટે લાગતો સમય તે તેજ રીતે વેગ સદિશને તે રીતે જવા માટે લાગતો સમય ને સમાન થશે તેથી આપણે આ બાબતો ને સમાન લઇ શકીએ આપણે તેમને સમાન લઈએ 1/4 ગુણ્યાં 2 પાઇ r છેદમાં v બરાબર 1/4 ગુણ્યાં 2 પાઇ v છેદમાં a સબ c હવે તેનું થોડું સાદુંરૂપ આપીએ બને બાજુ 1/4 વડે ભાગીએ અને કે બને બાજુ 2 પાઇ વડે ભાગીએ તેથી તે બને કેન્સલ થયી જશે અને આપણને r ભાગ્યા v બરાબર v ભાગ્યા a સબ c મળે હવે આપણે ચોકડી ગુણાકાર કરી શકીએ જો તમે v ગુણ્યાં v કરો એટલે કે ચોકડી ગુણાકાર કરો તો તમને v સ્કવેર મળે અને તેના બરાબર r ગુણ્યાં a સબ c ચોકડી ગુણાકાર એ બને બાજુને બનેછેદ વડે ગુણવને સમાન થશે તમે અહીં બને બાજુ v અને a સબ c વડે ગુણો અહીં બને બાજુ v અને a સબ c વડે ગુણો તો અહીં આ v કેન્સલ થઈ જશે અને અહીં a સબ c કેન્સલ થયી જશે માટે તમને v ગુણ્યાં v એટલે કે v નો વર્ગ બરાબર r ગુણ્યાં a સબ c મળે a સબ c ગુણ્યાં r હવે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ માટે ઉકેલવા તમે બને બાજુ r વડે ભાગો બને બાજુ r વડે ભાગતા કેન્દ્ર ગમી પ્રવેગ નું મૂલ્ય બરાબર r કેન્સલ થઇ જશે વેગ ના અચળ મૂલ્ય નો વર્ગ તે ઝડપ છે ભાગ્યા વર્તુળ ની ત્રિજ્યા r આમ આપણે પૂરું કર્યું આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર છે