If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

વેગ ઘટક શું છે?

ઘટકને તેમના ભાગમાં વિભાજીત કરીને સાદુંરૂપ કઈ રીતે આપી શકાય તે શીખો.

આપણે સદિશને તેના ઘટકોમાં શા માટે વિભાજીત કરીએ છીએ?

દ્વિ-પરિમાણીય ગતિ એક-પરિમાણીય ગતિ કરતા વધુ જટિલ છે કારણકે વેગ વિકર્ણની દિશામાં આવી શકે. ઉદાહરણ તરીકે, બેઝબોલ એક જ સમયે વિકર્ણ વેગ v સાથે સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ બંનેમાં ગતિ કરી શકે. આપણે ગણતરી સરળ બનાવવા બેઝબોલના વેગ સદિશ, v, ને બે સ્વતંત્ર સમક્ષિતિજ, vx, અને શિરોલંબ, vy, દિશામાં વિભાજીત કરીએ.
એક જ સમીકરણમાં બેઝબોલની સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ બંનેનો સમાવેશ કરવો અઘરો છે; આપણે તે બંનેને સ્વતંત્ર રીતે ધ્યાનમાં લઈએ.
વિકર્ણ વેગ v ને સમક્ષિતિજ vx અને શિરોલંબ vy ઘટકમાં વિભાજીત કરતા આપણે દરેક દિશા સાથે સ્વતંત્ર રીતે કામ કરી શકીએ. ખાસ કરીને, એક અઘરા દ્વિ-પરિમાણીય પ્રશ્નને બે સરળ એક-પરિમાણીય પ્રશ્નમાં ફેરવી શકીએ. જયારે સદિશ વેગ સિવાય બીજું કઈ હોય તો પણ સદિશોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરી શકાય, ઉદાહરણ તરીકે, બળ, વેગમાન, અથવા વિદ્યુત ક્ષેત્ર. હકીકતમાં, તમે ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં આનો ઉપયોગ ઘણી વાર કરશો, તેથી શક્ય એટલું ઝડપથી સદિશના ઘટકો સાથે કામ કરવાનું શીખીએ એ અગત્યનું છે.

આપણે સદિશને તેના ઘટકોમાં કઈ રીતે વિભાજીત કરીએ છીએ?

આપણે સદિશોના વિભાજનની વાત કરીએ એ પહેલા, આપણે નોંધવું જોઈએ કે નીચે બતાવ્યા મુજબ, ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ—સામેની, પાસેની અને કર્ણ*—અને કોઈ પણ એક ખૂણા, θ, વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકીએ.
sinθ=સામેની બાજુકર્ણ
cosθ=પાસેની બાજુકર્ણ
tanθ=સામેની બાજુપાસેની બાજુ
જયારે આપણે કોઈ પણ વિકર્ણ સદિશને તેના બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજીત કરીએ, કુલ સદિશ અને તેના ઘટકો—v,vy,vx—કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. આના કારણે, આપણે નીચે બતાવ્યા મુજબ, વેગ સદિશનું મૂલ્ય અને તેના ઘટકો પર સમાન ત્રિકોણમિતિના નિયમો લાગુ પાડી શકીએ. નોંધો કે vx ને પાસેની બાજુ તરીકે, vy ને સામેની બાજુ તરીકે, અને v ને કર્ણ તરીકે લઈએ.
sinθ=vyv
cosθ=vxv
tanθ=vyvx
નોંધો કે આ સૂત્રોમાં v કુલ વેગ સદિશ, કુલ ઝડપનું માન દર્શાવે છે, અને તેથી તે ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે. સ્વતંત્ર ઘટકો vx અને vy ઋણ હોઈ શકે જો તેઓ ઋણ દિશામાં જતા હોય તો. પરંપરા એ છે કે આપણે સમક્ષિતિજ દિશા, x, માટે ડાબી બાજુ ઋણ છે, અને શિરોલંબ દિશા, y, માટે નીચેની બાજુ ઋણ છે.

તમે કુલ સદિશનું માન અને ખૂણો કઈ રીતે નક્કી કરો?

આપણે અગાઉના વિભાગમાં જોયું કે સદિશના મૂલ્ય અને ખૂણાને શિરોલંબ અને સમક્ષિતિજ ઘટકમાં કઈ રીતે વિભાજીત કરી શકાય. પણ જો તમે આપેલા વેગ સદિશથી શરૂઆત કરો તો: vy અને vx? કુલ વેગ સદિશનું મૂલ્ય v અને ખૂણો θ શોધવા તમે ઘટકોનો ઉપયોગ કઈ રીતે કરી શકો?
કુલ વેગ સદિશનું મૂલ્ય શોધવું એટલું અઘરું નથી કારણકે કોઈ પણ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે બાજુઓની લંબાઈ અને કર્ણ પાયથાગોરસના પ્રમેય વડે સંબંધિત થશે.
v2=vx2+vy2
વર્ગમૂળ લઈને, આપણે ઘટકોના સંદર્ભમાં કુલ વેગ સદિશનું મૂલ્ય મેળવી શકીએ.
v=vx2+vy2

જો આપણે કુલ સદિશના બંને ઘટકો જાણતા હોઈએ, તો આપણે tanθ નો ઉપયોગ કરીને કુલ સદિશનો ખૂણો શોધી શકીએ.
tanθ=vyvx
ઈન્વર્સ ટેનજ્ન્ટ લઈને, આપણે ઘટકોના સંદર્ભમાં કુલ વેગ સદિશનો ખૂણો મેળવી શકીએ.
θ=tan1(vyvx)

સદિશના ઘટકો વિશે ગૂંચવણભર્યું શું છે?

જયારે θ=tan1(vyvx) નો ઉપયોગ કરીએ, હકીકત એ છે કે આપણે vy ને સામેની બાજુ તરીકે અંશમાં મૂકીએ છીએ અને vx ને પાસેની બાજુ તરીકે છેદમાં મૂકીએ છીએ જેનો અર્થ થાય કે આપણે સમક્ષિતિજ અક્ષથી ખૂણાને માપીએ છીએ. ખૂણાને કઈ રીતે દોરવું તે શોધવું ગુંચવણભર્યું લાગે છે, પણ અહીં બે સારી ટિપ્સ છે:
ધારો કે આપણે જમણી/ઉપરની બાજુને ધન તરીકે પસંદ કરી છે, જો સમક્ષિતિજ ઘટક vx ધન હોય, તો સદિશ જમણી બાજુ આવે. જો સમક્ષિતિજ ઘટક, vx ઋણ હોય, તો સદિશ ડાબી બાજુ આવે.
ફરીથી, ધારો કે આપણે જમણી/ઉપરની બાજુને ધન તરીકે પસંદ કરી છે, જો શિરોલંબ ઘટક vy ધન હોય, તો સદિશ ઉપરની બાજુ આવે. જો શિરોલંબ ઘટક vy ઋણ હોય, તો સદિશ નીચેની બાજુ આવે.
તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો સદિશના ઘટકો vx=12 m/s અને vy=10 m/s હોય, તો સદિશ ડાબી બાજુ—કારણકે vx ઋણ છે—અને ઉપરની તરફ—કારણકે vy ધન છે—આવશે.
ખ્યાલ ચકાસણી: જો કાગળના વિમાન પાસે વેગ ઘટકો vx=7 m/s અને vy=5 m/s હોય, તો કાગળનું વિમાન કઈ દિશામાં ગતિ કરે ધારો કે આપણે જમણી બાજુ અને ઉપરની બાજુને ધન દિશા તરીકે પસંદ કરીએ છીએ?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

સદિશના ઘટકોને સમાવતા પ્રશ્નો કેવા દેખાય?

ઉદાહરણ 1: બેકહામની જેમ વાળો

નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે સોકર બોલને 24.3 m/s ની ઝડપ સાથે 30 ના ખૂણે ઉપર અને જમણી બાજુ કિક મારવામાં આવે છે.
દર્શાવેલી ક્ષણ આગળ વેગનો શિરોલંબ ઘટક શું છે?
દર્શાવેલી ક્ષણ આગળ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક શું છે?
વેગનો શિરોલંબ ઘટક શોધવા, આપણે sinθ=સામેની બાજુકર્ણ=vyv નો ઉપયોગ કરીશું. વેગનું મૂલ્ય, v, 24.3 m/s એ કર્ણ છે, અને 30 ના ખૂણાની સામેની બાજુ vy છે.
sinθ=vyv(sine ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો.)
vy=vsinθ(શિરોલંબ ઘટક માટે ઉકેલો.)
vy=(24.3 m/s)sin(30)(કિંમતો મૂકો.)
vy=12.2 m/s(ગણતરી કરો અને ઉજવણી કરો!)
સમક્ષિતિજ ઘટક શોધવા, આપણે cosθ=પાસેની બાજુકર્ણ=vxv નો ઉપયોગ કરીશું.
cosθ=vxv(cosine ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો.)
vx=vcosθ(સમક્ષિતિજ ઘટક માટે ઉકેલો.)
vx=(24.3 m/s)cos(30)(કિંમતો મૂકો.)
vx=21.0 m/s(ગણતરી કરો અને ઉજવણી કરો!)

ઉદાહરણ 2: ગુસ્સાવાળું પક્ષી

ગુસ્સાવાળું પક્ષી વેગના સમક્ષિતિજ ઘટક vx=14.6 m/s અને વેગના શિરોલંબ ઘટક vy=8.62 m/s સાથે સિએટલ પર ઉડી રહ્યું છે.
પક્ષીના કુલ વેગનું માન શું છે?
કુલ વેગનો ખૂણો શું છે?
ધારો કે જમણી/ઉપરની બાજુ ધન છે, અને ધારો કે બધા ખૂણાને ધન x અક્ષ પરથી વિષમઘડી માપવામાં આવ્યા છે.
કુલ વેગ સદિશનું મૂલ્ય શોધવા માટે આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
v2=vx2+vy2(પાયથાગોરસ પ્રમેય.)
v=vx2+vy2(બંને બાજુ વર્ગમૂળ લો.)
v=(14.6 m/s)2+(8.62 m/s)2(કિંમત મૂકો.)
v=17.0 m/s(ગણતરી કરો અને ઉજવણી કરો!)
ખૂણો શોધવા માટે, આપણે tangent ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું, પણ હવે આપણે v જાણીએ છીએ, આપણે sine અથવા cosine નો ઉપયોગ કરી શકીએ.
tanθ=vyvx(tangent ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો.)
θ=tan1(vyvx)(બંને બાજુ ઈન્વર્સ ટેનજન્ટ.)
θ=tan1(8.62 m/s14.6 m/s)(કિંમતો મૂકો.)
θ=30.6(ગણતરી કરો અને ઉજવણી કરો!)
શિરોલંબ ઘટક vy=8.62 m/s છે, આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ નીચેની તરફ છે, અને vx=14.6 m/s, આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ જમણી બાજુએ છે. તેથી, આપણે સદિશને ચોથા ચરણમાં દોરીશું.
પક્ષી સમક્ષિતિજની નીચે 30.6 ના ખૂણે 17.0 m/s થી ગતિ કરી રહ્યું છે.