મુખ્ય વિષયવસ્તુ

Course: ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત) > Unit 6

Lesson 3: આલેખ પરથી વેગ અને ઝડપ

સ્થાન vs. સમય આલેખ શું છે?

જુઓ કે આપણે આલેખ પરથી શું શીખી શકીએ જે સ્થાન અને સમયને સંબંધિત કરે છે.

સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના આલેખ કઈ રીતે ઉપયોગી છે?

ઘણા લોકો આલેખ વિશે એ જ સમાન રીતે અનુભવે છે જે તેઓ ડેન્ટિસ્ટ પાસે જાય ત્યારે અનુભવે: ચિંતા અને તેને શક્ય એટલું ઝડપથી દૂર કરવાની મજબૂત ઈચ્છા પણ સ્થાન આલેખ ઘન જ સરસ છે, અને તે ખૂબ જ નાના અવકાશમાં પદાર્થની ગતિ વિશે મોટા પ્રમાણમાં માહિતી દર્શાવવાની સક્ષમ રીત છે.

સ્થાન આલેખમાં શિરોલંબ અક્ષ શું દર્શાવે?

શિરોલંબ અક્ષ પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે ચોક્કસ સમય આગળ આલેખની કિંમત વાંચો તો તમને મીટરમાં પદાર્થનું સ્થાન મળશે.

જુદા જુદા સમયને પસંદ કરવા નીચેના આલેખ પર ટપકાંને સમક્ષિતિજ ખસેડો અને સ્થાન કઈ રીતે બદલાય છે તે જુઓ.

ખ્યાલની ચકાસણી: ઉપરના આલેખ મુજબ $t = 5$ ‍ સમય આગળ પદાર્થનું સ્થાન શું છે?

સ્થાન આલેખ પર ઢાળ શું દર્શાવે?

સ્થાન આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ દર્શાવે. તેથી કોઈ ચોક્કસ સમય આગળ ઢાળની કિંમત તે ક્ષણે પદાર્થનો વેગ બતાવે.

શા માટે તે જોવા, નીચે દર્શાવેલા સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના આલેખનો ઢાળ દયાનમાં લો:

ગણિતના વર્ગમાં, શિરોલંબ અક્ષ, આશ્રિત ચલને, સામાન્ય રીતે

y

કહેવામાં આવે છે, અને સમક્ષિતિજ અક્ષ, સ્વતંત્ર ચલને, સામાન્ય રીતે

x

કહેવામાં આવે છે.

તેમ છતાં, ભૌતિક વિજ્ઞાનના વર્ગમાં સ્વતંત્ર ચલ તરીકે સમક્ષિતિજ અક્ષ પર આપણે હંમેશા સમય

t

ને મૂકીએ છીએ. આનો અર્થ થાય કે બીજા બાકીના ચલ શિરોલંબ અક્ષ પર લેવામાં આવે છે,

x

સહિત, જે ઘણી વાર સમક્ષિતિજ સ્થાન દર્શાવે છે.

સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર

x

ને શિરોલંબ અક્ષ પર કઈ રીતે મૂકી શકાય એ જોવું, થોડું મુંઝવણભર્યું લાગે છે. પણ આ એક પરંપરા છે જેનો ઉપયોગ ભૌતિક વિજ્ઞાનનું લખાણ, અભ્યાસક્રમ અને શિક્ષકો કરે છે. એ યોગ્ય છે કે સમયને સ્વતંત્ર ચાલ તરીકે સારી રીતે જોઈ શકાય કારણકે આપણે સમયનું નિયમન કરી શકતા નથી...જો તમે સમયના ભગવાન ન હોવ તો જે સમયમાં મુસાફરી કરે, એ પરિસ્થિતિમાં તમે સમય અને અવકાશની સમજ પહેલેથી જ ધરાવો છો જે આપણા સિદ્ધાંતોને અસ્પષ્ટ બનાવે.

આ સ્થાન આલેખનો ઢાળ

ઢાળ = \frac{rise}{run} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

ઢાળ માટેની આ પદાવલિ વેગની વ્યાખ્યાને સમાન જ છે:

v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

. તેથી સ્થાન આલેખનો ઢાળ બરાબર વેગ થવો જોઈએ.

આ સ્થાન આલેખ માટે પણ સાચું છે જ્યાં ઢાળ બદલાઈ રહ્યો છે. નીચેના સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના આલેખના ઉદાહરણ માટે, લાલ રેખા ચોક્કસ સમયે તમને ઢાળ બતાવે છે. સમયની ચોક્કસ ક્ષણ માટે આલેખનો ઢાળ શું દેખાય તે જોવા નીચેના ટપકાને સમક્ષિતિજ ખસેડવાનો પ્રયત્ન કરો.

સમય

t = 0 s

અને

t = 3 s

ની વચ્ચે વક્રનો ઢાળ ધન છે કારણકે ઢાળ ઉપરની તરફ જાય છે. આનો અર્થ થાય કે વેગ ધન છે અને પદાર્થ ધન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.

સમય

t = 3 s

અને

t = 9 s

ની વચ્ચે વક્રનો ઢાળ ઋણ છે કારણકે ઢાળ નીચેની તરફ જાય છે. આનો અર્થ થાય કે વેગ ઋણ છે અને પદાર્થ ઋણ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.

t = 3 s

આગળ, ઢાળ શૂન્ય છે કારણકે રેખા દર્શાવે છે કે ઢાળ સમક્ષિતિજ છે. આનો અર્થ થાય કે વેગ શૂન્ય છે અને પદાર્થ તે ક્ષણ માટે સ્થિર છે.

ખ્યાલની ચકાસણી: ઉપરના આલેખ મુજબ $t = 9 s$ ‍ આગળ પદાર્થનો વેગ શું છે?

એક બાબત યાદ રાખવા જેવી છે કે સમયની કોઈ ક્ષણ આગળ સ્થાન આલેખનો ઢાળ તમને સમયની તે ક્ષણ આગળ તાત્ક્ષણિક વેગ આપે. સમયના બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સરેરાશ ઢાળ તમને સમયના તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સરેરાશ વેગ આપે. તાત્ક્ષણિક વેગ સરેરાશ વેગને સમાન જ હોય એ જરૂરી નથી. તેમ છતાં, જો સમયગાળા દરમિયાન ઢાળ અચળ હોય (જેમ કે આલેખ સીધો રેખાખંડ છે), તો રેખાખંડ પરના કોઈ પણ બિંદુઓની વચ્ચે તાત્ક્ષણિક વેગ સરેરાશ વેગ ને સમાન થશે.

સીધા રેખાખંડ માટે, ઢાળ અચળ જ હોવો જોઈએ. અથવા, રેખા વક્રવાળી હશે. ઢાળ અચળ છે અને દરેક બિંદુ પાસે તેની કિંમત સમાન છે. તે વિસ્તરનું સરેરાશ લેતા તે તમને બાકીના ઢાળની જેમ જ સમાન કિંમત આપે.

બીજા શબ્દોમાં, ઢાળની સરેરાશ કિંમત:

8 m/s

8 m/s

8 m/s

, અને

8 m/s

નું સરેરાશ

8 m/s

છે.

સ્થાન આલેખ પરના વળાંકનો અર્થ શું થાય?

નીચેના આલેખને જુઓ. તે વળાંકવાળો દેખાય છે કારણકે તે ફક્ત સીધા રેખાખંડનો બનેલો નથી. જો સ્થાન આલેખ વક્ર હોય, ઢાળ બદલાઈ રાહ્યો હશે, જેનો અર્થ થાય કે વેગ બદલાઈ રહ્યો છે. વેગનું બદલાવું પ્રવેગ દર્શાવે. તેથી, આલેખમાં વક્રતાનો અર્થ થાય કે પદાર્થ વેગ/ઢાળ બદલીને પ્રવેગિત થાય છે.

નીચેના આલેખ પર, ઢાળને બદલાતો જોવા માટે ટપકાંને સમક્ષિતિજ ખસેડવાનો પ્રયત્ન કરો. પ્રથમ

1 s

અને

5 s

ની વચ્ચેનો ભાગ ઋણ પ્રવેગ દર્શાવે કારણકે ઢાળ ધનથી ઋણ થાય છે.

7 s

અને

11 s

વચ્ચેના બીજા ભાગ માટે, પ્રવેગ ધન છે કારણકે ઢાળ ઋણથી ધન થાય છે.

ખ્યાલની ચકાસણી: ઉપરના આલેખ મુજબ $t = 6 s$ ‍ આગળ પદાર્થનો પ્રવેગ શું છે?

આલેખનો ઢાળ

6 s

આગળ-લગભગ અચળ છે-બદલાતો નથી, તે ક્ષણ આગળ પ્રવેગ શૂન્ય છે.

આ જોવા માટે, સ્પર્શક રેખાનો અચળ રહે છે તે જોવા માટે ટપકાને લગભગ

5.5 s

થી લગભગ

6.5 s

સુધી ખસેડો, અને તેથી વેગ અચળ રહે છે. જો વેગ ક્યારેય અચળ રહે, તો પ્રવેગ શૂન્ય હોય.

સારાંશ લેતા, જો સ્થાન આલેખનો વક્ર નીચેની તરફ ખુલતો લાગે, તો પ્રવેગ ઋણ હશે. સારાંશ લેતા, જો વક્ર ઉપરની તરફ ખુલતો લાગે, તો પ્રવેગ ધન હશે. અહીં યાદ રાખવા માટેની રીત છે: જો તમે તમારા બાઉલને ઊંધો કરો તો તમારું ખાવાનું બહાર આવી જશે અને તે ઋણ છે. જો તમે તમારા બાઉલને ચત્તુ કરો તો તમારું ખાવાનું તેમાં જ રહે અને તે ધન છે.

ના, બદનસીબે. નીચેની તરફ ખૂલતો વક્રનો અર્થ થાય કે પ્રવેગિ ઋણ હોવો જોઈએ, પણ તેનો અર્થ એવો નથી કે પદાર્થ ધીમો જ પડી રહ્યો છે.

ઉપરના આલેખમાં પ્રથમ ભાગ માટે,

1 s

આગળ વેગ ધનથી શરુ થાય છે, અને

3 s

આગળ ઢાળ શૂન્ય બને છે. આનો અર્થ થાય કે

1 s

અને

3 s

વચ્ચે પદાર્થ ધીમો પડે છે. પ્રથમ ભાગનું નિરીક્ષણ ચાલુ રાખતા,

3 s

આગળ ઢાળ શૂન્ય છે અને

5 s

આગળ ઋણ બને છે. આનો અર્થ થાય કે પદાર્થ ઝડપ વધારે છે કારણકે તે શૂન્ય વેગથી ઋણ વેગ સુધી જાય છે.

નીચેની તરફ ખુલતા વક્રની બંને બાજુ ઋણ પ્રવેગ દર્શાવે છે, પણ ડાબી બાજુ ધીમું પડવું દર્શાવે, અને જમણી બાજુ ઝડપી બનવું દર્શાવે.

આ બધા વિશે વિચારવાની બીજી રીત એ છે કે જો આલેખ ઓછો આકરો હોય, તો પદાર્થ ધીમો પડે. જો આલેખ વધુ આકરો હોય, તો પદાર્થ વધુ ઝડપી બને.

સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના આલેખને સમાવતા કોયડાઓ કેવા દેખાય?

ઉદાહરણ 1: ભૂખ્યો દરિયાઈ ઘોડો

ખોરાક માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં આગળ અને પાછળ ચાલતા દરિયાઈ ઘોડાની ગતિ નીચેના આલેખ વડે દર્શાવી છે, જે સમય

t

ના વિધેય તરીકે સમક્ષિતિજ સ્થાન

x

દર્શાવે છે.

નીચેના સમય આગળ દરિયાઈ ઘોડાનો તાત્ક્ષણિક વેગ શું હતો: $2 s$ ‍, $5 s$ ‍, અને $8 s$ ‍?

$2 s$ ‍ આગળ વેગ શોધવો:

t = 2 s

આગળ આલેખનો ઢાળ શોધીને આપણે

t = 2 s

આગળ દરિયાઈ ઘોડાનો વેગ શોધી શકીએ:

ઢાળ = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (ઢાળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.)

હવે આપણે રેખા પણ બે બિંદુઓને પસંદ કરો જેના પર આપણે ધ્યાન આપી રહ્યા છીએ જે હૅશમાર્ક આગળ છે જેથી આપણે તે બિંદુઓ આગળ આલેખની કિંમત નક્કી કરી શકીએ. આપણે બિંદુઓ

(0 s, 1 m)

અને

(4 s, 3 m)

પસંદ કરીશું, પણ આપણે

0 s

અને

4 s

ની વચ્ચે કોઈ પણ બે બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ. આપણે બિંદુ 2 તરીકે સમયમાં પછીનું બિંદુ મૂકીએ, અને બિંદુ 1 તરીકે પહેલાનું બિંદુ મૂકીએ.

ઢાળ = \frac{3 m - 1 m}{4 s - 0 s} (બે બિંદુ પસંદ કરો અને અંશમાં x ની કિંમત અને છેદમાં t ની કિંમત મૂકો.)

ઢાળ = \frac{2 m}{4 s} = \frac{1}{2} m/s (ગણો અને ઉજવણી કરો.)

તેથી, $2 s$ ‍ આગળ દરિયાઈ ઘોડાનો વેગ $0.5 m/s$ ‍ હતો.

$5 s$ ‍ આગળ વેગ શોધવો:

5 s

આગળ વેગ શોધવા, આપણે ફક્ત એ નોંધવાની જરૂર છે કે ત્યાં આલેખ સમક્ષિતિજ છે. આલેખ સમક્ષિતિજ છે, ઢાળ બરાબર શૂન્ય થાય, તેનો અર્થ થાય કે $5 s$ ‍ આગળ દરિયાઈ ઘોડાનો વેગ $0 m/s$ ‍ હતો.

$8 s$ ‍ આગળ વેગ શોધવો:

ઢાળ = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (ઢાળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.)

આપણે રેખાખંડની શરૂઆતમાં અને અંતમાં બિંદુઓ પસંદ કરીશું, જે

(6 s, 3 m)

અને

(9 s, 0 m)

છે.

ઢાળ = \frac{0 m - 3 m}{9 s - 6 s} (બે બિંદુ પસંદ કરો અને અંશમાં x ની કિંમત અને છેદમાં t ની કિંમત મૂકો.)

ઢાળ = \frac{- 3 m}{3 s} = - 1 m/s (ગણો અને ઉજવણી કરો.)

તેથી, $8 s$ ‍ આગળ દરિયાઈ ઘોડાનો વેગ $- 1 m/s$ ‍ હતો.

ઉદાહરણ 2: ખુશ પક્ષી

સીધું ઉપર અને સીધું નીચે ઉડતા એક પક્ષીની ગતિ નીચેના આલેખ વડે આપવામાં આવી છે, જે સમય

t

ના વિધેય તરીકે શિરોલંબ સ્થાન

y

બતાવે છે. પક્ષીની ગતિ વિશે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

$t = 0 s$ ‍ અને $t = 10 s$ ‍ ની વચ્ચે પક્ષીનો સરેરાશ વેગ શું છે?
$t = 0 s$ ‍ અને $t = 10 s$ ‍ ની વચ્ચે પક્ષીનો સરેરાશ ઝડપ શું છે?

$t = 0 s$ ‍ અને $t = 10 s$ ‍ ની વચ્ચે પક્ષીનો સરેરાશ વેગ શોધવી:

t = 0 s

અને

t = 10 s

ની વચ્ચે સરેરાશ વેગ શોધવા, આપણે

t = 0 s

અને

t = 10 s

ની વચ્ચે સરેરાશ ઢાળ શોધી શકીએ. આકૃતિ મુજબ, તે આલેખ પરના પ્રારંભિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુને જોડતી રેખાનો ઢાળ શોધવાને અનુરૂપ જ થશે.

ઢાળ = \frac{y_{2} - y_{1}}{t_{2} - t_{1}} (ઢાળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.)

પ્રારંભિક બિંદુ

(0 s, 7 m)

થશે, અને અંતિમ બિંદુ

(10 s, 6 m)

થશે.

ઢાળ = \frac{6 m - 7 m}{10 s - 0 s} (સમય અંતરાલના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુ પસંદ કરો, અને કિંમત મૂકો.)

ઢાળ = \frac{- 1 m}{10 s} = - 0.1 m/s (ગણો અને ઉજવણી કરો.)

તેથી, $t = 0 s$ ‍ અને $t = 10 s$ ‍ ની વચ્ચે પક્ષીની સરેરાશ ઝડપ $- 0.1 m/s$ ‍ હતી.

હા, આપણે સરેરાશ ઢાળ શોધીને જે કર્યું આ તે જ છે. સરેરાશ વેગની વ્યાખ્યા સ્થાનાંતર પ્રતિ સમય છે, આપણે પ્રાતઃ સ્થાનાંતરને શોધી શકીએ:

Δ y = y_{2} - y_{1} = 6 m - 7 m = - 1 m (પ્રારંભિક ઊંચાઈ અને અંતિમ ઊંચાઈની કિંમત મૂકતા.)

અને પછી, આપણે સરેરાશ વેગ મેળવવા સમય વડે ભાગાકાર કરી શકીએ:

v_{a v g} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{- 1 m}{10 s}

v_{a v g} = - 0.1 m/s

આપણને બંને રીતે સરેરાશ વેગ માટે સમાન કિંમત જ મળે.

$t = 0 s$ ‍ અને $t = 10 s$ ‍ ની વચ્ચે પક્ષીની સરેરાશ ઝડપ શોધવી:

સરેરાશ ઝડપની વ્યાખ્યા કાપેલું અંતર ભાગ્યા સમય છે. તેથી, કાપેલું અંતર શોધવા માટે, આપણે મુસાફરીના દરેક ભાગની પથ લંબાઈ ઉમેરવાની જરૂર છે.

t = 0 s

અને

t = 2.5 s

વચ્ચે, પક્ષીએ નીચે

5 m

અંતર કાપ્યું. પછી,

t = 2.5 s

અને

t = 5 s

વચ્ચે, પક્ષીએ કોઈ અંતર ન કાપ્યું. અને અંતે,

t = 5 s

અને

t = 10 s

વચ્ચે, પક્ષી ઉપર

4 m

ઉડ્યું. બધી જ પથ લંબાઈનો સરવાળો કરતા આપણને

અંતર = 9 m

નું કુલ અંતર મળે.

હવે આપણે સરેરાશ ઝડપ

s_{a v g}

મેળવવા સમય વડે ભાગી શકીએ"

s_{a v g} = \frac{distance}{Δ t} (સરેરાશ ઝડપ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.)

s_{a v g} = \frac{9 m}{10 s} = 0.9 m/s (કિંમત મૂકો, ગણતરી કરો, અને ઉજવણી કરી!)

તેથી $t = 0 s$ ‍ અને $t = 10 s$ ‍ ની વચ્ચે પક્ષીની સરેરાશ ઝડપ $0.9 m/s$ ‍ હતી.

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.

ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત)