વેગ-સમય રેખા નીચેનું ક્ષેત્રફળ અંતર શા માટે

ધારો કે આપણી પાસે કઈક વસ્તુ 5 મીટર/સેકન્ડના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે 5 મીટર/સેકન્ડ અને આપણે એ ધારી લઈએ કે તે જમણી દિશામાં ગતિ કરે છે જમણી બાજુ તેથી તે સદિશ રાશી થશે આપણે વેગ વિરુદ્ધ સમયનું આલેખ દોરીએ આ મારા અક્ષ થશે આ પ્રમાણે આ અક્ષ પર વેગનું મુલ્ય અને આ અક્ષ પર સમય અહી આપણી પાસે તેથી તેનું મુલ્ય 5 મીટર/સેકન્ડ થશે અને તે અચળ છે તેનું મુલ્ય બદલાતું નથી સેકન્ડ વધતાની સાથે વેગમાં ફેરફાર થતો નથી તેથી તે 5 મીટર/સેકન્ડના વેગ થી ગતિ કરે છે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે 5 સેકન્ડ પછી તે કેટલી મુસાફરી કરશે 1 , 2 , 3 , 4 , 5 અહી આ 5 સેકન્ડ થશે હવે 5 સેકન્ડ પછી તે કેટલું અંતર કાપશે આપણે તેને બે રીતે ઉકેલી શકીએ આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ બરાબર સ્થાનાંતરના છેદમાં સમયમાં થતો ફેરફાર અને સ્થાનાંતર એ સમય સાથે બદલાતું સ્થાન છે અથવા આપણે તેને બીજી રીતે વિચારીએ તો જો આપણે બંને બાજુ સમયમાં થતા ફેરફાર વડે ગુણીએ તો તેના બરાબર વેગ ગુણ્યા સમયમાં થતો ફેરફાર બરાબર સ્થાનાંતર મળે માટે હવે સ્થાનાંતર શું થાય આપણે અહી વેગ જાણીએ છીએ 5 મીટર/સેકન્ડ અને આપણે અહી સમય પણ જાણીએ છીએ સમયમાં થતો ફેરફાર એ 5 સેકન્ડ છે અહી આ સેકન્ડ અને સેકન્ડ કેન્સલ થઇ જશે 5 ગુણ્યા 5 બરાબર 25 માટે અહી સ્થાનાંતર 25 મીટર થશે જે આ ચોરસની અંદરનો વિસ્તાર છે જેને હુ અહી દર્શાવી રહી છુ જો તમે વેગના મુલ્ય વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દોરો તો વક્રની અંદરનો જે વિસ્તાર મળે તે કાપેલ અંતર અથવા સ્થાનાંતર છે કારણ કે સ્થાનાંતર એ વેગ ગુણ્યા સમયમાં થતો ફેરફાર છે હવે આપણે બીજી આકૃતિ લઈને વેગમાં થતો ફેરફાર સમજીએ આપણે અહી આલેખ દોરીએ કે જેમાં પ્રવેગ અચળ મળે પ્રવેગ બરાબર 1 મીટર/સેકન્ડ પ્રતિ સેકન્ડ એટલે કે 1 મીટર/સેકન્ડનો વર્ગ છે આપણે હવે આજ પ્રમાણે આલેખ દોરીએ પરંતુ તે આના કરતા થોડો જુદો મળશે આપણે અહી બે અક્ષ લઈએ આ પ્રમાણે આ વેગનું મુલ્ય દર્શાવતું અક્ષ છે અને આ અક્ષ સમય દર્શાવે છે 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7,8 ,9 ,10 તેવી જ રીતે અહી 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7,8 ,9 અને 10 વેગનું મુલ્ય મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં આવશે તેનો એકમ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે અને સમયનો એકમ એ સેકન્ડ છે ધારો કે અહી પ્રારંભિક વેગનું મુલ્ય અથવા તો પ્રારંભિક ઝડપ એ 0 છે તો 1 સેકન્ડ પછી શું થશે 1 સેકન્ડ પછી હું 1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ જેટલો ઝડપી બનીશ હવે 2 સેકન્ડ પછી શું થશે બીજી સેકન્ડે સમયમાં થતો ફેરફાર 1 સેકન્ડ વડે એટલે કે હું તેના કરતા 1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ ઝડપી બનીશ તેવી જ રીતે આપણે આગળ વધીશું જો તમને એલ્જીબ્રાના ક્લાસમાં ઢાળ શું છે તે યાદ હોય તો તમે આ આકૃતિ પરથી પ્રવેગ શું છે તે શોધી શકો કારણ કે આપણે અહી જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ બરાબર વેગમાં થતો ફેરફાર છેદમાં સમયમાં થતો ફેરફાર અહી સમયમાં થતો ફેરફાર એ x અક્ષ પર છે અને વેગમાં થતો ફેરફાર એ y અક્ષ પર છે જયારે તમે વેગ અથવા વેગના મુલ્યને સમય ને અનુલક્ષીને દોરતા હોવ ત્યારે આ રેખાનો ઢાળ એ પ્રવેગ થાય અને આપણે ધારીએ છીએ કે પ્રવેગ અચળ છે આપણી પાસે અહી આ ઢાળ પણ અચળ છે અહી આ રેખા છે તે વક્ર નથી ધારો કે આપણે આનો 1 મીટર/સેકન્ડના વર્ગ જેટલો પ્રવેગ વધાર્યો છે અને તેના માટે સમયમાં થતો ફેરફાર 5 સેકન્ડ લઈએ તો હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે આપણે અહી કેટલું અંતર કાપ્યું આપણે અહી પ્રારંભિક વેગ 0 થી શરૂઆત કરી અને પછી 5 સેકન્ડ સુધી 1 મીટર/સેકન્ડના વર્ગ જેટલો વધારો કર્યો તેથી 1,2 ,3 ,4 ,5 અહી આ 5 સેકન્ડ છે તો 5 સેકન્ડ પછી વેગ 5 મીટર/સેકન્ડ મળશે પરંતુ તેને કેટલું અંતર કાપ્યું હશે આપણે તેને લંબચોરસ દોરીને સમજીએ અહી વેગ 1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે જો હું 1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ ગુણ્યા 1 સેકન્ડ લઉં તો મળે આ અંતર મળે ત્યાર પછીની સેકન્ડમાં મને આ પ્રમાણે વધુ અંતર મળે આ રીતે અને હું આજ પ્રમાણે લંબચોરસ દોરવાનું ચાલુ રાખીશ પરંતુ તમને અહી પ્રશ્ન થશે કે અહી આ જગ્યાએ લંબચોરસ દોરવાના બાકી છે તે ખાલી જગ્યા છે કારણ કે આપણે માત્ર 1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ નથી લેતા આપણે તેમાં વધારો કરીએ છીએ તો આપણે અહી લંબચોરસના વધુ ભાગ પડી શકીએ આપણે દર અડધી સેકન્ડ લઈએ તેથી અહી આ અડધી સેકન્ડે આટલો વેગ મળે છે વેગ ગુણ્યા સમય આપણને અંતર આપશે હવે આપણે તે વધુ અડધી સેકન્ડ માટે કરીએ આપણે આ પ્રમાણે આગળ કરવાનું ચાલુ રાખી શકીએ અને આપણે હવે જોઈ શકીએ કે ખુબ ચોક્કસ અને નાના લંબચોરસ લેતા વક્રના અંદરનો વિસ્તાર વધુ નજીક મળે છે જે કઈક આ પ્રમાણે દેખાશે વક્રની અંદરનો વિસ્તાર એ કાપેલું અંતર આપશે અને આપણને આ ત્રિકોણ મળે છે આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકાય માટે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર 1/2 ગુણ્યા પાયો ગુણ્યા વેધ આપણને અહી જોતા જ સમજાઈ જે કે પાયો ગુણ્યા વેધ કરતા આખા લંબચોરસ નો ક્ષેત્રફળ મળે અને તેનું અડધું કરતા ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળ મળે માટે હવેઆ પરિસ્થિતિમાં સ્થાનાંતર અથવા સ્થાનાંતરમાં થતો ફેરફાર બરાબર 1/2 ગુણ્યા પાયો કે જે 5 સેકન્ડ છે ગુણ્યા વેધ એટલે કે ઉચાઇ જે 5 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે તેથી હવે તેના બરાબર 1/2 ગુણ્યા 5 ગુણ્યા 5 અહી આ સેકન્ડ કેન્સલ થઇ જશે 25 ગુણ્યા 1/3 એટલે કે આપણને 12.5 મીટર મળે જો આપણે વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દોરવો હોય તો વક્રની અંદરનો વિસ્તાર સમયનો અમુક મુલ્ય મળે જે તમે કેટલું અંતર કાપ્યું છે તે આપશે વક્રનો ઢાળ એ પ્રવેગનું મુલ્ય આપશે તો હવે અહી ઢાળ શું છે અહી આ સીધી રેખા મળે છે કારણ કે તેમાં વેગમાં ફેરફાર થતો નથી આ બાબતમાં પ્રવેગ અચળ છે માટે અહી પ્રવેગનું મુલ્ય 0 થશે વેગનું મુલ્ય બદલાતું નથી અહી 1 મીટર/સેકન્ડના વર્ગ જેટલો પ્રવેગ છે અહી રેખાનો ઢાળ 1 મળે છે જો આપણી પાસે અચળ પ્રવેગ હોય તો વક્રની અંદરનો વિસ્તાર લઈને અંતર શોધી શકાય જે આપણને અહી 12.5 મીટર મળ્યું આમ આ વિડીઓમાં આપણે જોયું કે કાપેલું કુલ અંતર એ વેગ વિરુદ્ધ સમયના વક્રની અંદરનો વિસ્તાર છે.