If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

ડોટ ગુણાકાર

સદિશના ડોટ ગુણાકારનો પરિચય. સલ ખાન દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ વિશે થોડું શીખીએ સદિશોના ગુણાકારની બે રીતો માંથી ડોટ પ્રોડક્ટ સરળ છે તો આ ડોટ પ્રોડક્ટ શું કરે છે સૌ પ્રથમ હું તમને વ્યાખ્યા આપીશ અને પછી સમજ આપીશ ધારો કે મારી પાસે બે સદિશ છે સદિશ a . સદિશ b અને તેના બરાબર તે બે સદિશોના મૂલ્ય એટલે કે સદિશ a નું મૂલ્ય ડોટ સદિશ b નું મૂલ્ય અને તેમન વચ્ચેના ખૂણાનું કોસાઈન એટલે કે ગુણ્યાં cos થિટા હવે આ ક્યાંથી આવ્યું આપણે આકૃતિ દોરીને તેને વધુ સારી રીતે સમજીએ આપણે આ બંને સદિશોને દોરીએ ધારો કે આ સદિશ a છે કંઈક આ રીતે અને આ સદિશ b છે અને આ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો થિટા છે આપણે આ બે સદિશોને નામ આપીએ તો આ સદિશ a છે અને આ સદિશ b છે આ પ્રોડક્ટને જોવાની બે રીતો છે ગુણાકાર ક્રમના નિયમનું પાલન કરે છે તેથી આપણે આનો ક્રમ બદલી શકીએ આથી જો આને બીજી રીતે લખવું હોય તો સાડીશ a નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન થિટા ગુણ્યાં સદિશ b નું મૂલ્ય આ સમયે આ ડોટ પ્રોડક્ટ છે મારે તે લખવાની જરૂર નથી આ સાદો ગુણાકાર જ છે કારણ કે આ બધી એડીસ રાશિઓ છે જયારે તમે સદિશો વચ્ચે ડોટ જુઓ ત્યારે તમે સદિશોના ડોટ ગુણાકારની વાત કરી રહ્યા છો જો તમે આ પડાવાળીને ફરીથી લખો તો તેનો અર્થ શું થાય અહીં કોસાઈન ઓફ થિટા શું છે હું અહીં b આગળ લંબ દોરું છું જે કાટખૂણો બનાવે છે તો સાસાક કોપાક અને તેસાપા મુજબ કોપાક એટલે કોસાઈન બરાબર પાસેની બાજુ છેદમાં કર્ણ થાય અહીં પાસેની બાજુ શું થાય આપણને પાસેની બાજુ આ મળે છે અને કર્ણ a નું મૂલ્ય મળે આથી કોસાઈન ઓફ થિટા બરાબર પાસેની બાજુ આપણે તેને b પર a નો પ્રક્ષિપ્ત કહીએ ધારો કે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અહીં છે અને તમે પ્રકાશના કિરણોને ફેંકો છો જે b ને લંબ હોય તો b પર a નો પડછાયો પડે અથવા તમે એ રીતે વિચારી શકો કે a નો ભાગ એ b ની સમાન દિશામાં જાય છે હું અહીં પ્રાક્ષિપને પડછાયાની જેમ જોઉં છું કંઈક આ રીતે જો આ પ્રકાશનો સ્ત્રોત લંબ હોય તો આના પર તે સદિશનો પડછાયો શું હોય આ પડછાયાને તમે b પર a નો પ્રક્ષેપ કહી શકો અથવા a સબ b નું મૂલ્ય પણ કહી શકો હવે સદિશ b પર સદિશ a નો કેટલામો ભાગ મળે છે એટલે કે છેદમાં કર્ણ મળે અને અહીં કર્ણ આ આપણા સદિશ a નું મૂલ્ય છે આ મૂળભૂત ત્રિકોણ મિતિ છે હવે બંને બાજુ સદિશ a વડે ગુણતા આપણને b પર સદિશ a નું પ્રક્ષેપ બરાબર સદિશ a નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ થિટા મળે અને આ આપણી પાસે અહીં છે આથી ડોટ પ્રોડક્ટ વિશે વિચારવાની બીજી રીત આથી આ પદને તમે b પર સદિશ a નો પ્રક્ષિપ્ત મૂલ્ય વડે બદલી શકો છો અને તેના ગુણ્યાં સદિશ b આ રીતે તમે એક સદિશ લો અને તેના મૂલ્યનો કયો ઘાતક બીજા સદિશને દિશામાં જશે તે શોધો અને તે બંનેનો ગુણાકાર કરો તે ક્યાં ઉપયોગી છે અહીં કાર્ય વિશે શું કહી શકાય આપણે ફિઝિક્સમાં કાર્ય વિશે જોઈ ગયા કાર્ય બરાબર બળ ગુણ્યાં અંતર થાય પરંતુ તે કુલ બળ ગુણ્યાં કુલ અંતર નથી તે અંતરની દિશામાં જતું બળ છે ધારો કે મારી પાસે 10 ન્યુટન બળની એક વસ્તી છે અને તેને મેં બરફ ઉપર મૂકી છે આથી તેના ઉપર ઘર્ષણ બળ લાગશે નહિ ધારો કે હું આ વસ્તુને ખેંચું છું આથી આ મારો બળનો સદિશ મળે આપણે ધારી લઈએ કે તે 100 ન્યુટન છે ધારો કે હું તેને જમણી બાજુ આ રીતે ખસેડયુ છું આથી આ મારો અંતરનો સદિશ મળે જે 10 મીટર ધારી લઈએ અને તે જમીનને સમાંતર મળે છે આથી આ 10 મીટર છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો એ થિટા બરાબર 60 છે જે પાઇના છેદમાં 3 ને સમાન છે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે 100 ન્યુટન બળ સાથે આ 10 ન્યુટનના બ્લોકને જમણી બાજુ 60 અંશના ખૂણે દોરડા વડે ખેંચતા હું કેટલું કાર્ય કરી શકું કાર્ય બરાબર બળ ગુણ્યાં અંતર થાય પરંતુ કુલ બળ નહિ અંતરની દિશામાં મળતું બળનું મૂલ્ય તેથી અંતરની દિશામાં બળનું મૂલ્ય કેટલું થાય તે આ બળના સદિશનો સમક્ષિતિજ ઘટક થાય તે 100 ન્યુટન ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ 60 ડિગ્રી થાય અને તે જમણી બાજુ 100 ન્યુટન જેટલું કેટલું જશે તે દર્શાવે તે 100 ન્યુટન ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ 60 ડિગ્રી થાય અને તે જમણી બાજુ 100 ન્યુટનનું કેટલું જશે તે દર્શાવે તમે તેને બીજી રીતે પણ જોઈ શકો આ બળનો સદિશ છે અને અહીં નીચે અંતરનો સદિશ છે અહીં આ બળનો સદિશ છે અને આ અંતરનો સદિશ છે હવે કરેલું કાર્ય બરાબર બળનો સદિશ ગુણ્યાં અંતરનો સદિશ વ્યાખ્યા પ્રમાણે આપણે જાણીએ છીએ કે બળના સદિશનું મૂલ્ય આપણને 100 ન્યુટન મળે છે ગુણ્યાં અંતરના સદિશનું મૂળ આપણી પાસે 100 મીટર છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો કોસાઈન ઓફ 60 ડિગ્રી આપણને 1 /2 મળે છે હવે આના બરાબર 100 ગુણ્યાં 10 એટલે કે 1000 ગુણ્યાં 1 /2 મળે એટલે કે આના બરાબર આપણને 500 જુલ મળે પરંતુ મહત્વની બાબત એ છે કે ડોટ પ્રોડક્ટ ઉપયોગી છે તે કાર્ય માટે ઉપયોગી છે કાયા સદિશનો કયો ઘટક દિશામાં જશે તેની ગણતરી કરે છે તમે આ રીતે પણ કહી શકો કે a ગુણ્યાં b નું મૂલ્ય ગુણ્યાં cos ઓફ થિટા અને તે પુરી રીતે યોગ્ય છે અહીં તમે આને આ રીતે પણ કહી શકો a નું મૂળ ગુણ્યાં b નું મૂલ્ય કોસાઈન ઓફ થિટા અને તે પુરી રીતે યોગ્ય છે હવે આ b કોસાઈન ઓફ થિટા શું છે જો તમે b કોસાઈન ઓફ થિટા લો તો તે a ની દિશામાં b ના સદિશના મૂલ્યનો જથ્થો છે તમે કાયા ક્રમમાં જાઓ તે મહત્વનું નથી જયારે તમે ક્રોસ ગુણાકાર કરો ત્યારે તે મહત્વનું છે a ક્રોસ b અથવા b ક્રોસ a કરો પરંતુ જયારે તમે ડોટ ગુણાકાર કરો ત્યારે ક્રમ મહત્વનો નથી માટે b કોસાઈન ઓફ થિટા એ a ની દિશામાં b નું મૂલ્ય છે જો તમે આ રીતે લંબ દોરો તો b કોસાઈન ઓફ થિટા એ આ સદિશ થાય આથી આ સદિશ b નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ થિટા થાય સદિશ b નો કેટલો ભાગ a ની દિશામાં જશે ત્યાર બાદ બંને મૂલ્યનો ગુણાકાર કરો અથવા તમે આ રીતે પણ કહી શકો કે સદિશ a નું મૂલ્ય કેટલું સદિશ b ની દિશામાં જશે પછી બંને મૂલ્યનો ગુણાકાર કરો તમને ડોટ પ્રોકટ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટ વચ્ચેનો તફાવત સમજાઈ ગયો હશે ડોટ પ્રોડક્ટના અંતે સંખ્યા મળે છે તમે બે સદિશને ગુણો છો અને તમને જવાબમાં સંખ્યા મળે છે તમને અડીશ રાશિ મળે છે તે શા માટે રસપ્રત છે તે જણાવે છે કે આ સદિશ એક બીજામાં કેટલા ઉમેરાયા છે કારણ કે તમે સમાન દિશામાં જતા તેમના મૂલ્યનો ભાગ લઇ રહ્યા છો અને તેમને ગુણી રહ્યા છો ક્રોસ પ્રોડક્ટ એ તદ્દન વિરોધી છે તમે લંબ ઘટક લો છો તફાવત એ છે કે અહીં sin ઓફ થિટા આવે તમે ક્રોશ પ્રોડક્ટનો વિડિઓ જોઈ શકો હું એક વિડિઓમાં તેમની સરખામણી કરીશ પરંતુ ક્રોશ પ્રોડક્ટમાં એક બીજાને લંબ હોય તેવા સદિશના મૂલ્યનો ગુણાકાર કરો છો તેઓ સમાન દિશામાં જતા નથી તેઓ એક બીજાને લંબ હોય છે પછી તમારે દિશા પસંદ કરવી પડે જે બંને સદિશને લંબ હોય માટે ક્રમ મહત્વનો છે કારણ કે તમે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરો છો પછી તમારે દિશા પસંદ કરવી પડે જે બંને સદિશને લંબ હોય આથી તેમાં ક્રમ મહત્વનો છે કારણ કે તમે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરો છો ત્રિ પરિમાણમાં બે સદિશને લંબ હોય તેવા બે સદિશ હોય છે પછીના વિડિઓમાં હું ક્રોસ પ્રોડક્ટ અને ડોટ પ્રોડક્ટની સરખામણી કરીશ