If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

કાર્ય તરીકે વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ

ડેવિડ બતાવે છે કે બળ વિરુદ્ધ સ્થાનના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર બળ વડે થતું કાર્ય કઈ રીતે થાય અને કેટલાક ઉદાહરણ ઉકેલે છે. David SantoPietro દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

ધારો કે તમારી સામે એક બર્ગર છે પરંતુ તમારે તે જોઈતું નથી કારણકે કદાચ તમે શાકાહારી છો કદાચ તમારું પેટ ભરાયેલું છે કદાચ તમે એવા ને શોધો છો જેને તમારા કરતા વધુ જરૂર છે તેથી તમે બર્ગર એ જમણી બાજુ 4 મીટર સાથે ધક્કો મારો છો તમે બર્ગર ને જમણી બાજુ 5 મીટર સુધી ધક્કો મારો છો આપણને પ્રશ્ન પુછાય શકે કે આ બર્ગર ને આપણી જમણી બાજુના વ્યક્તિ ને આપવા આપણે અહીં કેટલું કાર્ય કરવું પડે આ પ્રશ્ન ખુબ જ સરળ છે આપણે કાર્યના સૂત્ર માં કિંમત મૂકી શકીએ પરંતુ હું તેને કરવાની નથી હું તેને વિચારવાની બીજી રીત બતાવીશ કારણકે આપણે જે આ બીજી રીત શીખીશું તે કોયડાઓ અને અઘરા પ્રશ્નોમાં ખુબ ઉપયોગી થશે તેને સીધું જ મુકવાને બદલે તમે એ વાત ને ધ્યાન માં લો કે આ બર્ગર ને જમણી બાજુ ધક્કો મારવા માટે આપણે આખા 5 મીટર અંતર સુધી 4 ન્યૂટર્ન બળ લગાડીએ છીએ જો આપણે સ્થનાંતર ના વિધેય તરીકે બર્ગર પર લાગતા બળનો આલેખ દોરીએ તો તે કંઈક આવો દેખાશે તે 0 થી શરુ કરીને 5 મીટર જમણી બાજુએ જાય છે અંતે આપણે 4 મીટર નો અચળ બળ લગાડીએ છીએ અહીં આ બળ અચળ છે માટે આ સમક્ષિતિજ રેખા છે સમક્ષિતિજ રેખા એટલે બળ નો અચળાંક જથ્થો હું આ કરી રહી છું તેનું કારણ એ છે કે આ કાર્ય નું ભૌમિતિક મહત્વ છે ચકાશો આપણે કાર્ય ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ય બરાબર ગતિની દિશામાં બળ ગુણ્યાં સ્થનાંતર અથવા તમે કહી શકો કે બળ ગુણ્યાં સ્થનાંતર ગુણ્યાં કોસાઈન ઠીથા જો તમારે આ કોસાઈન ઠીથા ન જોઈતું હોય તો તમે ખાતરી કરી લો કે બળ ગતિની દિશામાં હોવું જોઈએ અને તે ઘટકો ગતિની દિશામાં મળી બર્ગર ના ઉધારણ માં બળ ગતિની દિશામાં જ લાગે છે તેથી આપણને તેની જરૂર નથી બીજા શબ્દો માં અહીં ખૂણો 0 થશે કોસાઈન 0 બરાબર 1 થાય અને 1 ગુણ્યાં કઈ પણ કરવામાં આવે તો તે જ મળે માટે જયારે બળ વસ્તુની ગતિની દિશમાં જ હોય ત્યારે આપણને કોસાઈન ઑફ ઠીથા ની જરૂર પડતી નથી તેથી આપણે તેને અહીંથી દૂર કરીએ હવે અહીં બળ 4 ન્યૂટન હતું અને આખું સ્થનાંતર 5 મીટર હતું તેથી બર્ગર પર તથુ કાર્ય ધન 20 જુલ થશે હવે જો તમે ધ્યાન થી જુઓ તો 5 મીટર માટે આ 4 ન્યૂટન ફક્ત આ લંબચોરસ નું ક્ષેત્રફળ છે નોંધો કે આ આલેખ માં સીધી રેખા લંબચોરસ બનાવે છે અહીં 4 ન્યૂટર્ન એ લંબચોરસ ની ઊંચાઈ છે અને આપણે 5 મીટર સાથે તેનો ગુણાકાર કર્યો જે લંબચોરસ ની પહોળાઈ થશે જો તમે ઊંચાઈ અને પહોળાઈ નો ગુણાકાર કરો તો તમને લંબચોરસ નું ક્ષેત્રફળ મળે આમ આપણે શોધ્યું કે જયારે બળ અચળ હોય ત્યારે કરેલું કાર્ય શોધવાની એક રીત કાર્ય ના આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની છે પરંતુ કરેલું કાર્ય શોધવાની બીજી રીત આલેખ વડે રચાતું ક્ષેત્રફળ છે આલેખ વડે રચાતું ક્ષેત્રફળ જો તમે આ રેખા પરથી જે બળ દર્શાવે છે આ રેખા પરથી X અક્ષ સુધી જાવ નીચે X અક્ષ સુધી જાવ આ પ્રમાણે અને તમે ક્ષેત્રફળ શોધો તો તેના બરાબર કરેલું કાર્ય થશે પરંતુ તમે કહેશો કે આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પણ કાર્ય શોધી શકીએ કરેલું કાર્ય બરાબર બળ ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ થાય તે તમારે જાણવાની જરૂર શા માટે છે હું તમને તે બતાવીશ આ ખુબ જ સરળ છે આપણી પાસે આ સૂત્ર હતું આપણે અહીં બળ મૂકી શકીએ અને અહીં સ્થનાંતર મૂકી શકીએ અને આપણે કિંમત મેળવી શકીએ પરંતુ જો બળ અચળ ન હોય તો જો બળ બદલાતું હોય તો એ કિસ્સા માં આપણે અહીં બળ મૂકીએ તો શું થાય તે બદલાય છે તેને ગણવાની એક રીત કલંક શાસ્ત્ર છે પરંતુ જો તમે જો તમે ક્લન શાસ્ત્ર જાણતા ન હોવ તો તે ઉપયોગી નથી બદલાતા બળ વડે કરેલું કાર્ય શોધવાની બીજી રીત આ થશે કોઈ પણ બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર કાર્ય થાય બળ અચળ હોય ત્યારે જ નહિ પરંતુ જયારે બળ બદલાતું હોય તો પણ તમે આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકો બળ વડે કાર્ય શોધવાની તે સરળ અને ઝડપી રીત છે તેનો અર્થ શું થાય હવે આખા સમયગાળા દરમિયાન અચળ 4 મીટરથી ધક્કો મારવાને બદલે તમે કંઈક આ પ્રમાણે કરો છો તમે 4 ન્યૂટન વડે ધક્કો મારવાની શરૂઆત કરો છો પરંતુ તમે થાકી જાઓ છો અને બળ ઘટતું જાય છે તમે ખુબ જ ઓછા બળ વડે ધક્કો મારો છો અને અંતે તમે મારુ બળ 0 ન્યૂટન થઇ જાય છે જયારે તે આ અક્ષ સાથે અથડાય છે ત્યારે 0 ન્યૂટન બને છે અને તો આ બર્ગર 5 મીટર જેટલુ જ અંતર કાપે છે તમને તથુ હશે કે ઓછા બળ સાથે ધક્કો માર્યા પછી પણ તે 5 મીટર સુધી કઈ રીતે જાય છે ત્યાં સુધી પહોંચવા તેણે વધુ સમય લીધો છે તો પણ તેને 5 મીટર નું અંતર કાપ્યું હવે બળ વડે તથુ કાર્ય કઈ રીતે શોધી શકાય હું હજુ પણ એમ જ કહીશ તથુ કાર્ય બરાબર બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ એટલે કે આ થશે પરંતુ તમે કહેશો કે અગાવું ના ઉધારણ માં જ્યાં બળ અચળ હતું આ પ્રમાણે અચળ બળ માટે તથુ કાર્ય બરાબર આ આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ હતું તો શું આ બદલાતા બળ માટે આલેખ ની જેમ નીચેનું ક્ષેત્રફળ હજુ પણ કાર્ય જ આપશે એવું કઈરીતે કહી શકાય આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ બળ માટે આલેખની નીચેનો વિસ્તાર બરાબર કાર્ય આ સ્થિતિ કે જેમાં બળ સતત ઘટે છે આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ બળ માટે આલેખ ની નીચેનો વિસ્તાર બરાબર કાર્ય આ સ્થિતિ કે જેમાં બળ સતત ઘટે છે તેના બદલે મેં અચળ બળ ના પુરા જથ્થા સાથે પરંતુ નાના સ્થનાંતર માટે ધક્કો માર્યું મેં 4 મીટર થી શરૂઆત કરી પણ 10 સેન્ટીમીટર માટે પછી મેં તેમાં ઘટાડો કરીને તે 3.9 ન્યૂટન કર્યું અને વધુ 10સેન્ટીમીટર માટે ધક્કો માર્યો આપણે આ કરવાનું ચાલુ રાખી શકીએ બળ ને ઘટાડી ને તેને અચળ રાખો અને તેને ફરીથી ઘટાડવું ઘટાડો માટે આ ઉપયોગી છે માટે આ લંબચોરસ માટે કરેલું કાર્ય બરાબર લંબચોરસ ના ક્ષેત્રફળ નો સરવાળો કારણકે તે બધામાં બળ અચળ છે કરેલું કાર્ય બરાબર તેની નીચેનો વિસ્તાર જો હું આ બધા જ લંબચોરસ નો સરવાળો કરું તો મને કરેલું કાર્ય મળે જો આપણે આ લંબચોરસ ને નાના બનાવીએ તો ત્રિકોણ ની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ મળે અને તે સમાન ક્ષેત્રફળ જ થશે હવે આ ત્રિકોણ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર આ બધા જ લંબચોરસ નીચેનું ક્ષેત્રફળ આપણે જે અગાવું કરી ગયા તે જ પ્રક્રિયા જો આપણે 4 મીટર ન્યૂટન 1 મિલીમીટર માટે ધક્કો મારીએ પરંતુ જો તે તેના કરતા પણ નાનું હોય ત્યાર પછીના મિલીમીટર માટે 3.98 ન્યૂટન સાથે ધક્કો મારો તમે બળ ને સતત ઘટાડી રહ્યા છો અને અગાવું જે પ્રમાણે ચર્ચા કરી તે જ પ્રક્રિયા છે પરંતુ હવે આઆપણે જાણીએ છીએ કે આ દરેક લંબચોરસ નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર કરેલું કાર્ય પરંતુ હવે આપણે જાણીએ છીએ કે આ દરેક લંબચોરસ નીચેની ક્ષેત્રફળ બરાબર કરેલું કાર્ય અને તેના બરાબર આપણે કરેલી તે જ પ્રક્રિયા તેના બરાબર આ ત્રિકોણ નીચેનું ક્ષેત્રફળ અને તેના બરાબર આ રેખા ની નીચે ત્રિકોણ નું ક્ષેત્રફળ પરંતુ તમે અહીં જોશો કે અહીં આ ધાર થોડી બહાર જાય છે જે ક્ષેત્રફળ નો વધુ અંદાજ લગાવે છે અને અહીં થોડી જગ્યા છે જે ક્ષેત્રફળ નો ઓછો અંદાજ લગાવે છે તો શું તે ખરેખર ત્રિકોણ ના ક્ષેત્રફળ ને સમાન થશે તે સાચું છે જો તમે લંબચોરસ ની પહોળાઈ ને હજુ નાની લો તો તેનાથી આ ત્રુટિ ઓછી થશે તેનાથી ત્રુટિ ઓછી થશે અને જો આ ત્રુટિ નાની થાય તો આ દરેક નાના લંબચોરસ નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર આ ત્રિકોણ નું ક્ષેત્રફળ તેનો અર્થ એમ થાય કે બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના કોઈ પણ આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ એટલે કે આ ભાગનું ક્ષેત્રફળ તે ત્રિકોણ જ હોય એવું જરૂરી નથી પરંતુ આપણે કોઈ પણ આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવવા નાના લંબચોરસ નો ઉપયોગ કરી શકીએ આમ કોઈ પણ બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર અહીં ક્ષેત્રફળ બરાબર તે બળ વડે તથુ કાર્ય હવે જેમાં બળ અચળ ન હોય તેવા કિસ્સા માં કાર્ય શોધવા આપણી પાસે ઉપયોગી સાધન છેઆ સૂત્ર કાર્ય બરાબર FD કોસાઈન ઠીથા જયારે અચળ બળ નો ઉપયોગ કરો ત્યારે આ સૂત્ર તમને સાચો જવાબ આપશે જો બળ અચળ હોય તો જ આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય પરંતુ જો બળ બદલાતું હોય તો આનું ઉપયોગ ન કરી શકાય પરંતુ આપણે હવે તે તારવી લીધું છે જે દર્શાવે છે કે જો બળ ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય તો કરેલું કાર્ય પણ શોધી શકાય અહીં આ ઉધારણ માટે જો હું બર્ગર ને 4 ન્યૂટન સાથે ધક્કો મારુ અને પછી બળને 0 ન્યૂટન સુધી ઘટાડું અને જો તે 5 મીટર જેટલું જ જાય તો કાર્ય કેટલું થશે તેના માટે મારે ફક્ત બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ જાણવાની જરૂર છે અને અહીં આ ત્રિકોણ છે મને ત્રિકોણ નું ક્ષેત્રફળ શોધતા આવડે છે ત્રિકોણ નું ક્ષેત્રફળ બરાબર 1/2 પાયો ગુણ્યાં વેધ વેગ થશે તેથી તેના બરાબર 1/2 પાયો અહીં પાયો 5 મીટર છે તેથી ગુણ્યાં 5 મીટર અને ત્યાર બાદ ઊંચાઈ એટલે કે વેધ અહીં ઊંચાઈ 4 ન્યૂટન છે ગુણ્યાં 4 ન્યૂટન અને તેના બરાબર ધન 10 જુલ થશે જ્યાં બળ સતત ઘટી રહ્યું છે આ ખુબ જ ઉપયોગી છે કારણકે બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના આલેખનો આકાર જેવો પણ બને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને તમે તે જાણતા હોવ જેમ ત્રિકોણ અથવા લંબચોરસ અથવા ત્રિકોણ અને લંબચોરસ ના કેટલાક સંયોજન તો તમે ઝડપથી કલનશાસ્ત્ર વગર પણ કરેલું કાર્ય શોધી શકો અહીં તમારે લંબચોરસ દોરવાની જરૂર નથી તે ફક્ત આ સંબંધ ની સાબિત કરવા માટે હતા આમ સંબંધ ને જાણી લીધા બાદ તમારે આ ખુબ નાના લંબચોરસ ને દોરવાની કે વિચારવાની જરૂર નથી જયારે બળ બદલાતું હોય તો તેના માટે હતા પરંતુ તમારે અહીં એક વાત ધ્યાન માં રાખવાની છે કે જયારે આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર કાર્ય થાય ત્યારે તેનો અર્થ એ થયો કે આ બળ દર્શાવતી રેખા દોરીએ X અક્ષ સુધી નીચેનો આ વિસ્તાર હવે જો તમને આ પ્રકારની સ્તિથી આપી હોય તો તમે કદાચ મુંજવણ અનુભવી શકો બળ ની શરૂઆત અહીંથી થાય છે સૌ પ્રથમ આપણે બર્ગર ને ડાબી બાજુ ધક્કો મારીશું અને પછી તેને જમણી બાજુએ ધક્કો મારીશું માટે ઋણ બળથી શરૂઆત કરો છો અને પછી તે ધન થશે હવે જો આપણે આખી પ્રક્રિયા દરમિયાન કાર્ય શીખવા માંગીએ તો તેને કઈ રીતે શોધી શકાય કરેલું કાર્ય બરાબર આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ આપણે તે જ વિચારનો ઉપયોગ કરીએ પરંતુ અહીં આ પ્રથમ ભાગ માટે શું કરી શકાય આ રેખા નીચેનું ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકાય હું અહીં આ ભાગની વાત કરી રહી છું તેનું ક્ષેત્રફળ 7 છે તે જ રીતે અહીં બળ દર્શાવતી આ રેખાથી X અક્ષ સુધી આ આપણે અહીં આ વિસ્તાર ની વાત કરી રહ્યા છીએ તો અહીં ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકાય તમે અહીં જોઈ શકો કે આ બને જ ત્રિકોણ છે તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ 1/2 પાયો ગુણ્યાં વેધ થશે તેના બરાબર 1/2 પાયો અહીં પાયો 1 મીટર છે 1 મીટર ગુણ્યાં વેધ એટલે કે ઊંચાઈ અહીં ઊંચાઈ ઋણ છે તે -2 ન્યૂટન છે તેથી મારી પાસે ઋણ ક્ષેત્રફળ હશે ઋણ 2 ન્યૂટન અને તેનો અર્થ એ થયો કે મેં તે સમયગાળા દરમિયાન બર્ગર પર ઋણ કાર્ય કર્યું તેના બરાબર -1 જુલ થશે બર્ગર પર 1 મીટર સુધી બળ લગાડવા માટે મેં -1 જુલ જેટલું કાર્ય કર્યું તેવી જ રીતે આ ભાગ માટે 1/2 પાયો ગુણ્યાં વેધ તેના બરાબર 1/2 ગુણ્યાં પાયો અહીં પાયો 3 નથી આ ત્રિકોણ નો પાયો 2 મીટર છે તે 1 થી 3 સુધી જાય છે માટે 2 મીટર ગુણ્યાં ઉંચાઈ અહીં ઉંચાઈ 4 ન્યૂટન છે ગુણ્યાં 4 ન્યૂટન તેના બરાબર ધન 4 જુલ થશે આમ આ ભાગ માટે ધન 4 જુલ અને આ ભાગ માટે ઋણ 1 જુલ આખા 3 મીટર દરમિયાન કરેલું કુલ કાર્ય બરાબર કુલ કાર્ય બરાબર 4 જુલ ઓછા 1 જુલ અને તેના બરાબર ધન 3 જુલ આમ આપણે અહીં શીખી ગયા કે જયારે બળ અચળ હોય ત્યારે કરેલું કાર્ય શોધવા આ સૂત્ર નો ઉપયોગ કરી શકાય આમ આપણે શીખી ગયા કે જયારે બળ અચળ હોય ત્યારે કરેલું કાર્ય શોધવા આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય FD કોસાઈન ઠીથા પરંતુ તમે બળ વિરુદ્ધ સ્થાન ના આલેખ ની નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધીને કાર્ય નક્કી કરી શકો અને તે ઉપયોગી છે કારણકે જયારે બળ બદલાતું હોય ત્યારે પણ તે કામ કરશે જ્યાં આ સૂત્ર ઉપયોગી નથી જો તમે આલેખ નો આકાર જાણતા હોવ તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધીને કાર્ય શોધી શકો