મુખ્ય વિષયવસ્તુ

Course: ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત) > Unit 10

Lesson 5: સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા અને હૂકનો નિયમ

હૂકનો નિયમ શું છે?

સ્થિતિસ્થાપકતા અને સ્પ્રિંગ વડે લાગતું બળ કઈ રીતે નક્કી કરી શકાય તે શીખો.

સ્પ્રિંગ શું છે?

સ્પ્રિંગ એક પદાર્થ છે જેનો આકાર બળ વડે બદલી શકાય અને બળ દૂર કર્યા બાદ તેને ફરીથી તેના મૂળ આકારમાં લાવી શકાય.

સ્પ્રિંગ આપણને ઘન બધા જુદા પ્રકારોમાં જોવા મળે છે, પણ ધાતુની સરળ ગૂંચળાવાળી સ્પ્રિંગ ખુબ જ જાણીતું ઉદાહરણ છે. સ્પ્રિંગ એ બધા જ જટિલ યાંત્રિક સાધનોમાં એક જરૂરી ભાગ છે; પેનના બોલ-પોઇન્ટથી લઈને કારના રેસિંગ એન્જીન સુધી.

ગૂંચળાવાળી સ્પ્રિંગના આકાર વિશે જાદુઈ કઈ નથી જે તેને સ્પ્રિંગની જેમ વર્તણુક કરાવે. 'સ્પ્રિંગપણું' અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સ્થિતિસ્થાપકતા તારનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે જે સ્પ્રિંગને બનાવે છે. લાંબો સીધો ધાતુનો તાર પણ ખેંચાવાની કે વળવાની ક્ષમતા ધરાવે છે. તારને સ્પ્રિંગમાં 'વીંટાળવાથી' આપણે તારના લાંબા ટુકડાને નાના ભાગમાં વિભાજીત કરી શકીએ. આ યાંત્રિક સાધનો બનાવવા માટે વધુ અનુકૂળ છે..

ખેંચાવું (અક્ષીય બોજ) અને વળવું (ટોર્શન) ને ધાતુના તારનો પ્રતિચાર જુદા જુદા ભૌતિકવિજ્ઞાન પર આધારિત છે તેમજ ચોક્કસ સ્પ્રિંગની ડિઝાઇન એક પ્રકારની વિકૃતિ સમજાવી શકે. વધારામાં, ધાતુના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો તેમની સૂક્ષ્મ બંધાણ પર આધાર રાખે છે. આ તાણ બદલીને અને એનેલિન્ગ તરીકે જાણીતી ગરમ/ઠંડાની પ્રક્રિયાનું નિયંત્રણ કરીને બદલી શકાય છે. જો સીધી ધાતુને સીધા વિભાગમાંથી નાના ટુકડામાં વાળવામાં આવે, તો સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોને ફરીથી પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે ફરીથી એનલિન્ગ કરવામાં આવે છે.

જયારે પદાર્થનો આકાર બદલાય ત્યારે શું થાય?

જયારે પદાર્થ બળ લગાડવામાં આવે, ત્યારે સ્પ્રિંગ બળના પ્રતિભાવમાં ખેંચાય અથવા સંકોચાય છે. આપણે બધા જ રબર જેવા પદાર્થ સાથે પરિચિત છીએ જે કહું સરળતાથી ખેંચાય છે.

યંત્રશાસ્ત્રમાં, પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ લગાડવામાં આવતું બળ મહત્વનું છે, જેને પ્રતિબળ (સંજ્ઞા

σ

) કહેવામાં આવે છે. પ્રતિબળને કારણે પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતા સંકોચન/ખેંચાણને વિકૃતિ (સંજ્ઞા

ϵ

) કહેવામાં આવે છે. વિકૃતિને પ્રતિબળની દિશામાં લંબાઈમાં થતો ફેરફાર

Δ L

અને મૂળભૂત લંબાઈ

L_{0}

ના ગુણોત્તર તરીકે માપવામાં આવે છે, જેમ કે

ϵ = Δ L / L_{0}

દરેક દ્રવ્ય તાણને જુદી જુદી રીતે પ્રતિચાર આપે છે અને પ્રતિચારની માહિતી ઈજનેરો માટે મહત્વની છે જે તેમના બંધારણ અને દ્રવ્યો માટે દ્રવ્યની પસંદગઈ કરે છે જે તાણ હેઠળ અનુમાન મુજબ વર્તે છે.

મોટા ભાગના દ્રવ્ય માટે, જ્યારે ઓછા તાણને લગાડવામાં આવે ત્યારે અનુભવાતી વિકૃતિ દ્રવ્યની અંદર રાસાયણિક બંધની પ્રબળતા પર આધાર રાખે છે. દ્રવ્યની દ્રઢતા દ્રવ્યના રાસાયણિક બંધારણ અને હાજર રાસાયણિક બંધ ના પ્રકાર સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે. જ્યારે તાણ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે શું થાય એ પરમાણુઓ કેટલા દૂર ગતિ કરે એના પર આધાર રાખે છે. ત્યાં મુખ્યત્વે બે પ્રકારની વિકૃતિ જોવા મળે છે:

સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ. જો પદાર્થ પાસે બોજ હોય અને તાણ દૂર કરવામાં આવે તો તે મૂળભૂત પરિમાણમાં આવી જાય છે. આ વિકૃતિ પ્રતિવર્તી છે, કાયમી નથી.
પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ. જ્યારે પદાર્થ પર મોટું તાણ લગાડવામાં આવે ત્યારે આ થાય છે. તાણ એટલું મોટું હોય છે કે જ્યારે તેને દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ ફરી પાછો તેના મૂળભૂત પરિમાણમાં આવતો નથી. આ કાયમી, અપ્રતિવર્તિ વિકૃતિ છે. તાણની ન્યુનતમ કિંમત જે પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ બનાવે છે એને પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપક હદ કહેવામાં આવે છે..

કોઈ પણ સ્પ્રિંગને એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે જેથી મશીનમાં સામાન્ય ઓપેરશન દરમિયાન તે ફક્ત સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ દર્શાવે.

હૂકનો નિયમ

સ્પ્રિંગ અને સ્થિતિસ્થાપકતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, 17ᵗʰ સદીના ભૌતિકવિજ્ઞાની રોબર્ટ હૂકે નોંધ્યું કે ઘણા પદાર્થો પાસે તાણ વિરુદ્ધ વિકૃતિના વક્ર પાસે સુરેખ વિસ્તાર છે. ચોક્કસ હદની અંદર, ધાતુની સ્પ્રિંગ જેવા પદાર્થોને ખેંચવા માટેનું જરૂરી બળ સ્પ્રિંગના વિસ્તરણના સમપ્રમાણમાં છે. આને હૂકનો નિયમ કહેવામાં આવે છે અને નીચે મુજબ લખી શકાય:

F = - k x

જ્યાં

F

બળ છે,

x

વિસ્તરણ/સંકોચનની લંબાઈ છે અને

k

સ્પ્રિંગ અચળાંક તરીકે જાણીતો સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે જેને

N/m

માં આપવામાં આવે છે.

આપણે અહીં સ્પષ્ટ રીતે બળની દિશા દર્શાવી નથી,તેમછતાં ઋણ નિશાની અહીં ઉમેરવામાં આવી છે. સ્પ્રિંગના કારણે પુનઃસ્થાપક બળ બળની દિશાની વિરુદ્ધમાં હોય છે જેના કારણે સ્થાનાંતર થાય છે. સ્પ્રિંગને નીચેની તરફ ખેંચતા સ્પ્રિંગનું નીચેની દિશામાં વિસ્તરણ થાય છે, જેથી સ્પ્રિંગના કારણે લાગતું બળ ઉપરની દિશામાં હોય છે.

એ વાતની હંમેશા ખાતરી કરવી અગત્યની છે કે સ્થિતિસ્થાપકને સમાવતા પ્રશ્નોમાં પુનઃસ્થાપક બળની દિશા નક્કી કરવામાં આવે છે. સરળ પ્રશ્નો માટે આપણે 1-પરિમાણીય સદિશ તરીકે વિસ્તરણ

x

નું અર્થઘટન કરી શકીએ, આ ઉદાહરણમાં પરિણામી બળ 1-પરિમાણીય સદિશ હશે અને હૂકના નિયમમાં ઋણની નિશાની બળની દિશા આપે છે.

x

ની ગણતરી કરતી વખતે, એ યાદ રાખવું જરૂરી છે કે સ્પ્રિંગ પોતાની પાસે કેટલીક લંબાઈ

L_{0}

હોય છે. વિસ્તરણ હેઠળ સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ

L

બરાબર લંબાઈ વત્તા વિસ્તરણ,

L = L_{0} + x

. સંકોચન હેઠળ સ્પ્રિંગ માટે, તે

L = L_{0} - x

હશે.

મહાવરો 1: 75 kg નો વ્યક્તિ સ્પ્રિંગ અચળાંક

5000 N/m

અને લંબાઈ

0.25 m

સાથે સ્પ્રિંગના સંકોચન પર ઊભો છે. બોજવાળી સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ કેટલી છે?

મહાવરો 2a: તમે 50 mm ના શિરોલંબ અંતર પર 1 kg ના કેમેરાને સરળતાથી ખસેડવા માટે માઉન્ટની ડિઝાઇન બનાવી રહ્યા છો. આકૃતિ 1 માં બતાવ્યા મુજબ સ્પ્રિંગ કેમેરાને આધાર આપે છે અને એડજસ્ટમેન્ટ સ્ક્રૂની વિરુદ્ધ તેને ખેંચે છે, જેના કારણે કેમેરો રેલ પર ખસી શકે છે. સ્પ્રિંગની લંબાઈ

L_{0} = 50 mm

. આ ડિઝાઇન માટે જરૂરી ન્યુનતમ સ્પ્રિંગ અચળાંક શું છે?

કેમેરાને સ્ક્રૂ સાથે સીધો જ જોડવામાં કેમ નથી આવ્યો? આ કામ કરશે, પણ તે જેમ સ્ક્રૂને એડજસ્ટ કરવામાં આવે તેમ સરળ હલનચલન સાથેના મિકેનિઝમમાં પરિણમે નહિ. કારણકે દરેક મિકેનિઝમમાં એક બેકલેશ હોય છે જ્યાં સ્ક્રૂ નટમાં ફેરવાય છે. આ બેકલેશની સમસ્યાનો સામાન્ય ઉકેલ આ ઉદાહરણમાં, સ્પ્રિંગની વિરુદ્ધમાં સ્ક્રૂને ધક્કો મારવાનો છે..

સ્પ્રિંગ દરેક વખતે સ્ક્રૂ ટીપની વિરુદ્ધ કેમેરો ખેંચવા માટે પૂરતું બળ આપી શકે એટલું સ્થિતિસ્થાપક હોવું જોઈએ. જ્યારે સ્પ્રિંગ ન્યુનતમ વિસ્તરણ આગળ હોય ત્યારે બળ સૌથી વધુ નિર્બળ હશે. જેમ કે, સ્પ્રિંગની ઉપર અને નીચેના ભાગ વચ્ચેનું અંતર 100 mm છે.

જ્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈ હોય ત્યારે સ્પ્રિંગ પાસે ન્યુનતમ વિસ્તરણ

x = 100 mm - 50 mm = 50 mm

હશે. સ્પ્રિંગ બળ કેમેરા પરના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ

m g = (1 kg) \cdot (9.81 m/s^2) = 9.81 N

ને અવરોધતું હોવું જોઈએ.

હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક શોધી શકાય:

\begin{aligned} k & = \frac{F}{x} \\ = \frac{9.81 N}{50 \cdot 10^{- 3} m} \\ ≃ 196 N/m \end{aligned}

મહાવરો 2b: તમારી સ્પ્રિંગ વડે જરૂરી ન્યુનતમ સ્થિતિસ્થાપક હદ શું છે?

સ્પ્રિંગ તૂટી ન જાય તેટલી મજબૂત હોવી જોઈએ અથવા મહત્તમ બળ લાગુ પાડવામાં આવે ત્યારે સ્થિતિસ્થાપક હદને પાર કરતુ ન હોવું જોઈએ. જ્યારે સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ મહત્તમ થાય ત્યારે સ્પ્રિંગ બળ પણ મહત્તમ હોય છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ વિસ્તરણ

x = 150 mm - 50 mm = 100 mm

છે અને આપણે ધારી લઈએ કે આપણે

196 N/m

સ્પ્રિંગ અચળાંક સાથેના સ્પ્રિંગને પસંદ કરી છે.

આપણે મહત્તમ વિસ્તરણ બળ શોધવા માટે હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ. આ સ્પ્રિંગ માટે જરૂરી ન્યુનતમ સ્થિતિસ્થાપક સીમાને અનુરૂપ છે.

\begin{aligned} F & = k x \\ = (196 N/m) \cdot (100 \cdot 10^{- 3} m) \\ = 19.6 N \end{aligned}

યંગ મોડયુલસ અને સ્પ્રિંગને ભેગી કરવી

યંગ મોડયુલસ (જેને સ્થિતિસ્થાપક મોડયુલસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) એક સંખ્યા છે સ્થિતિસ્થાપક બનવા માટે અવરોધનું માપન દર્શાવે છે. તેમનું નામ 17 મી સદીના ભૌતિકશાસ્ત્રી થોમસ યંગ પાછળ રાખવામાં આવ્યું છે. પદાર્થ જેટલો વધુ સખત, તેનો યંગ મોડયુલસ પણ તેટલો જ વધારે.

યંગ મોડયુલસને સંજ્ઞા

E

વડે દર્શાવવામાં આવે છે, અને તેની વ્યાખ્યા નીચે છે:

E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{પ્રતિબળ}{વિકૃતિ}

યંગ મોડયુલસને કોઈ પણ વિકૃતિ આગળ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પણ જ્યાં હૂકના નિયમનું પાલન થતું હોય ત્યાં આ અચળ છે. આપણે દ્રવ્યના યંગ મોડયુલસ, બળ લાગુ પાડવામાં આવ્યું હોય એ ક્ષેત્રફળ

A

(કારણકે તાણ ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે) અને દ્રવ્યની લંબાઈ

L

પરથી સીધો જ સ્પ્રિંગ અચળાંક

k

શોધી શકાય છે.

આ સરળ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો માટે સાચું છે, ઉદાહરણ તરીકે, રબરનો ટુકડો. ધાતુની ગુંચળાવાળી સ્પ્રિંગ વધુ જટિલ બંધારણનું ઉદાહરણ છે જે અક્ષીય અને ટોરોસિયલ બંને વિકૃતિ સમજાવે છે. આ ઉદાહરણમાં, ધાતુના ગુણધર્મોને આધારે સ્પ્રિંગ અચળાંકની સાચી કિંમત શોધવા માટે હજુ વધારે નિરીક્ષણની જરૂર છે. તેમછતાં, સ્પ્રિંગ અચળાંક અને સ્પ્રિંગ ભૂમિતિ વચ્ચેના સંબંધનું વ્યાપક સ્વરૂપ સમાન જ રહે છે.

k = E \frac{A}{L}

સ્પ્રિંગના સંયોજનના ગુણધર્મો વિશે વિચારતી વખતે આ સંબંધ ખુબ જ ઉપયોગી છે. સ્પ્રિંગ અચળાંક

k

સાથે બે સમાન આદર્શ સ્પ્રિંગના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો જેને આકૃતિ માં બતાવ્યા મુજબ વજનને આધાર આપવા માટે એક-પછી-એક (શ્રેણી) અથવા ભેગી રીતે (સમાંતર) ગોઠવી શકાય છે. દરેક ઉદાહરણમાં સંયોજન માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક શું છે?

શ્રેણી ગોઠવણીમાં, આપણે જોઈ શકીએ કે સંયુક્ત સ્પ્રિંગ બમણી લંબાઈ સાથે એક સ્પ્રિંગને સમકક્ષ છે. આ ઉદાહરણમાં સ્પ્રિંગ અચળાંક સ્વતંત્ર સ્પ્રિંગનું અડધું હશે,

k_{effective} = k / 2

સમાંતર ગોઠવણીમાં, લંબાઈ સમાન રહે છે પણ દ્રવ્યના બે ગણા ક્ષેત્રફળ પર તે વિભાજીત થયેલું હોય છે. આ સંયોજનનો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક બમણું કરે છે,

k_{effective} = 2 k

સમજાવો: આ સંબંધ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં બીજી કોઈ જગ્યાએ દેખાય છે?? શ્રેણી અને સમાંતર સંયોજન માટે સ્પ્રિંગ અચળાંકની વર્તણુક વિદ્યુત પરિપથમાં કેપેસિટર નું શ્રેણી અને સમાંતર સંયોજન જેવું જ છે.

શ્રેણીમાં,

\frac{1}{k_{effective}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \dots

સમાંતરમાં,

k_{effective} = k_{1} + k_{2} + \dots

દળ સાથે સ્પ્રિંગ

આકૃતિ 3 માં બતાવેલી ગોઠવણીને ધ્યાનમાં લો. સ્પ્રિંગ પુલી (જેને ઘર્ષણરહિત ધારવામાં આવે છે) વડે સમક્ષિતિજ દળને આધાર આપે છે અને તે સમાન સ્પ્રિંગ શિરોલંબ આધાર પણ આપે છે. ધારો કે સ્પ્રિંગ પાસે દળ 50 g છે, સ્પ્રિંગ અચળાંક k=200 N/m. દરેક ઉદાહરણમાં સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ શું છે?

બંને ઉદાહરણમાં, દળને કારણે સ્પ્રિંગ પરના બળ પાસે સમાન મૂલ્ય,

m g

હોય છે. તેથી આપણે પ્રથમ ધારીએ કે બંને ઉદાહરણમાં વિસ્તરણ સમાન છે. હકીકતમાં વાસ્તવિક સ્પ્રિંગ માટે આ સાચું નથી.

અહીં સમસ્યા એ છે કે સ્પ્રિંગનું પોતાનું દળ છે. શિરોલંબ ઉદાહરણમાં, સ્પ્રિંગ પર કામ કરતુ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દળના કારણે બળની જેમ જ સમાન દિશામાં હોય છે. તેથી સ્પ્રિંગનું બળ તે વજનમાં ઉમેરાય છે. વિસ્તૃત સ્પ્રિંગ કુલ 1.05 kg વજનને આધાર આપે છે જે

\frac{1.05 kg \cdot 9.81 m/s^2}{200 N/m} = 51.5 mm

સમક્ષિતિજ ઉદાહરણમાં, પુલી બળની દિશા બદલે છે. 1 kg વજનને કારણે સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ હવે સ્પ્રિંગ પર કામ કરતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને લંબ છે. તેથી સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ ફક્ત 1 kg ને આધાર આપે છે. તેથી તે

\frac{1 kg \cdot 9.81 m/s^2}{200 N/m} = 49 mm

તફાવત ઘણો જ અસરકારક છે અને જો તેમને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે તો ખોટું પરિણામ મળી શકે છે. ભૌતિકવિજ્ઞાનની પ્રયોગશાળામાં, આપણે ઘણીવાર બળનું માપન કરતી વખતે સ્પ્રિંગ સંતુલન ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સ્પ્રિંગ સંતુલન (આકૃતિ 4) ફક્ત માપક્રમ અને પોઈન્ટર સાથેની સ્પ્રિંગ છે જેન પરથી બળનું માપન કરી શકાય છે.

સ્પ્રિંગ સંતુલનના ઉત્પાદકો ઈચ્છે છે કે તેમની સ્પ્રિંગનો ઉપયોગ શિરોલંબ દિશામાં થાય (ઉદાહરણ તરીકે, માછીમાર તેમની માછલીનું માપન કરે છે) સ્પ્રિંગ અને હૂકનું દળ ધ્યાનમા લેવા માટે આપણે સ્પ્રિંગને કેલિબ્રેટ કરીએ છીએ. જો સમક્ષિતિજ બળનું માપન કરવા તેનો ઉપયોગ કરીએ તો તે ખોટું નિરપેક્ષ પરિણામ આપે છે. તેમછતાં, હૂકનો નિયમ આપણને જણાવે છે કે ત્યાં બળ અને વિસ્તરણ વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે. તેના કારણે આપણે સમક્ષિતિજ દિશામાં માપન કરીએ ત્યારે સાપેક્ષ માપનના માપક્રમ પર આધાર રાખી શકીએ.કેટલાક સ્પ્રિંગ સંતુલન પાસે સ્ક્રુ હોય છે જેના વડે શૂન્ય બિંદુને કેલિબ્રેટ કરી શકાય છે, આ સમસ્યાને દૂર કરે છે.

નિરપેક્ષ અને સાપેક્ષનો અર્થ શું થાય? નિરપેક્ષ માપન રાશિનું એવું માપન છે જેની પાસે વ્યાખ્યાયિત સંદર્ભ બિંદુ હોય છે જ્યાં રાશિ શૂન્ય હોય છે. માપક્રમ સાથે માપપટ્ટી વડે લંબાઈનું માપન નિરપેક્ષ માપનનું ઉદાહરણ છે. સંખ્યા વગરની માપપટ્ટી (ફક્ત ટીક માર્ક)વડે સાપેક્ષ માપન કરી શકાય છે.

સાપેક્ષ માપનને નિરપેક્ષ માપનમાં ફેરવવા માટે આપણે આપણું પોતાનું સંદર્ભ બિંદુ પસંદ કરવાની જરૂર છે. સમક્ષિતિજ સ્પ્રિંગ સંતુલનમાં ઉદાહરણમાં જ્યારે સ્પ્રિંગ પર બોજ ન હોય ત્યારે માપન બળ શોધીને આપણે સંદર્ભ બિંદુ પસંદ કરી શકીએ. પછી માપન કરતી વખતે સંતુલનના માપક્રમ પર બતાવેલી કિંમતમાંથી આ કિંમત બાદ કરી શકીએ.

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.