મુખ્ય વિષયવસ્તુ

ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત)

Course: ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત) > Unit 10

Lesson 9: સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ

સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ શું છે?

અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક અથવા અસ્થિતિસ્થાપક હોઈ શકે. સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન કોનું સંરક્ષણ થાય છે અને કોનું સંરક્ષણ થતું નથી તે શીખો.

સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ શું છે?

સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એક એવી અથડામણ છે જેમાં અથડામણના પરિણામે ત્યાં તંત્રમાં કોઈ પણ પરિણામી ગતિ ઊર્જા ગુમાવતી નથી. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં બંને વેગમાન અને ગતિ ઊર્જા સંરક્ષિત રાશિઓ છે.

ધારો કે બે સમાન ટ્રોલીઓ સમાન ઝડપ સાથે એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહી છે. તેઓ અથડાય છે, ઝડપ ગુમાવ્યા વગર એકબીજા તરફ ઉછળે છે. આ અથડામણ સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક છે કારણકે કોઈ ઊર્જા ગુમાવતી નથી.

વાસ્તવમાં, સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ઉદાહરણો આપણા રોજીંદા અનુભવોનો ભાગ નથી. વાયુના પરમાણુઓ વચ્ચે થતી કેટલીક અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનું ઉદાહરણ છે. તેમ છતાં, ત્યાં યંત્રમાં કેટલીક અથડામણના ઉદાહરણ છે જ્યાં ગુમાવતી ઊર્જાને અવગણી શકાય છે. આ અથડામણને સ્થિતિસ્થપાક લઇ શકાય, તેઓ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક નથી તેમ છતાં। ન્યૂટનની ફ્રેમમાં ઘન બિલિયર્ડ બોલ અથવા બોલની અથડામણ આવા ઉદાહરણ છે.

આપણે હંમેશા અથડામણનો અંદાજ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક તરીકે શા માટે લઈએ છીએ?

આપણે યંત્રશાસ્ત્રના જે પ્રશ્નો જોઈએ છીએ તેમાં સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનો સમાવેશ થતો નથી, એવું લાગે છે કે આ સંકલ્પના થોડા વ્યવહારિક ઉપયોગની છે. તેમછતાં, વ્યવહારમાં તે ઘણીવાર ઉપયોગી થાય છે. આ એટલા માટે છે કારણકે ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ ગતિના સમીકરણોને વધારાની મર્યાદા પૂરી પાડે છે. આ આપણને પ્રશ્નો ઉકેલવામાં મદદ કરે છે જેમાં ઘણા બધા અજ્ઞાત હોય છે. ઘણી વાર ઉકેલ યોગ્ય હોય છે કારણકે અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપકની 'ઘણી નજીક' હોય છે.

ધારો કે ટ્રેક પર બે ટ્રોલીની (A અને B) વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય છે. આપણે બંને ટ્રોલી માટે અંતિમ વેગ (સબસ્ક્રીપટ f) જાણવા માંગીએ છીએ, પણ આપણને ફક્ત પ્રારંભિક વેગ

v_{A i}

અને

v_{B i}

જ આપવામાં આવ્યો છે. વેગમાનના સંરક્ષણને લાગુ પાડીને આપણે જોઈ શકીએ કે આપણી પાસે બે અજ્ઞાત,

v_{A f}

અને

v_{B f}

સાથે એક જ સમીકરણ છે:

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

કારણકે ગતિ ઊર્જાનું પણ સંરક્ષણ થાય છે, આપણી પાસે એક સાથે બીજી મર્યાદા પણ છે:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

હવે આપણી પાસે બે અજ્ઞાત સાથે બે સમીકરણ છે, આપણે જાણીએ છીએ કે બંને વેગ નક્કી કરવા માટે એકસાથે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને તંત્રને સંપૂર્ણ રીતે ઉકેલી શકીએ.

આ સમીકરણને ઉકેલવા થોડા કંટાળાજનક છે, અત્યાર માટે, આપણે ફક્ત પરિમાણ કહીએ:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

[સાબિતી બતાવો]

આ ઉકેલો વિશે રસપ્રદ બાબત માર્યાદિત પરિસ્થિતિઓ છે જેને અથડામણની જુદી જુદી ગોઠવણીઓ માટે લાગુ પાડી શકાય. અમુક પરિસ્થિતિઓ જેમ કે ન્યૂટનના ક્રેડલ ડેમોમાં સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનું શું થાય એની સાહજીક સમજ મેળવવા આ આપણને મદદ કરી શકે.

પદાર્થ A સમાન દળ સાથેના લક્ષ્ય B સાથે અથડાય છે જે સ્થિર છે:

v_{A f} = 0

v_{B f} = v_{A i}

અથડાતો પદાર્થ સંપૂર્ણ અટકી જાય છે, લક્ષ્ય અથડાતા પદાર્થની જેમ જ સમાન ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે.

આપણે ન્યૂટનના ક્રેડલમાં તદ્દન આ જ પ્રકારની અથડામણ જોઈએ છીએ. જ્યારે એક બોલને ક્રેડલની એક બાજુએ ઝુલાવવામાં આવે, ત્યારે એક બોલ હંમેશા બીજી બાજુએ બહાર આવે છે. સિદ્ધાંતમાં, જો બે બોલ, દરેક પાસે મૂળભૂત ઝડપની અડધી ઝડપ, બહાર આવતા હોય તો વેગમાનનું સંરક્ષણ થઈ શકે. તેમછતાં, અથડામણ (મોટેભાગે) સ્થિતિસ્થાપક હોય છે. જો એક જ બોલ બહાર આવતો હોય તો તે ગતિઊર્જા અને વેગમાનના સંરક્ષણની ખાતરી કરવાની એકમાત્ર રીત છે.

પદાર્થ A સમાન દળવાળા પદાર્થ B સાથે અથડાય છે. પદાર્થ પાસે સમાન પણ વિરુદ્ધ દિશામાં વેગ છે.
$v_{A f} = v_{B i}$ ‍, $v_{B f} = v_{A i}$ ‍

બે પદાર્થો એકબીજા સાથે અથડાય છે, વેગની અદલાબદલી કરે છે. રસપ્રદ રીતે, આ પરિણામ એકસમાન પણ વિરુદ્ધ વેગમાન સાથે અથડાતા બે પદાર્થો માટે પણ સાચું છે: આ ખુબ જ ઉપયોગી પરિણામ છે જે જટિલ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના પ્રશ્નોને સરળ બનાવવામાં મદદરૂપ થાય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના આપણા આર્ટીકલમાં ઉદાહરણનો સમાવેશ થાય છે જે બે ગતિમાન પદાર્થો સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણની ગણતરી સરળ બનાવવા આ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે.

ભારે પદાર્થ ખુબ હલકા લક્ષ્ય સાથે અથડાય છે જે સ્થિર છે.
ભારે પદાર્થનો અંતિમ વેગ તેનો પ્રારંભિક વેગ મેળવે છે. આ તદ્દન યોગ્ય છે; હલકો પદાર્થ ભારે પર ખુબ ઓછી અસર કરે છે.
[સમજાવો: 'મેળવે છે' એનો અર્થ શું થાય?]
હલકો પદાર્થ ખુબ ભારે લક્ષ્ય સાથે અથડાય છે જે સ્થિર છે.
હલકો પદાર્થ લક્ષ્ય સાથે અથડાય છે, વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન ઝડપ જાળવી રાખે છે. ભારે પદાર્થ સ્થિર જ રહે છે.

સ્વાધ્યાય 1a: બેડમિન્ટન ખેલાડી શટલ સર્વ કરે છે. શટલ ફટકારતા પહેલા તેના રેકેટની ઝડપ વધુ ઝડપવાળા કૅમેરા વડે

v_{r} = 20 m / s

આગળ માપવામાં આવે છે. અથડામણ થયા પછી શટલ કઈ ઝડપે ગતિ કરે તેનું તમે અનુમાન લગાવો?

[ઉકેલ]

સ્વાધ્યાય 1b: જો રેકેટ પાસે દળ

m_{r} = 100 ગ્રામ

અને શટલનું દળ

m_{s} = 5 ગ્રામ

હોય, તો સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારીને ચોક્કસ ઝડપ

v_{s}

શોધો.

[ઉકેલ]

અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ શું છે?

અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એવી અથડામણ છે જેમાં ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રના વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે, પણ ગતિઊર્જાનું નહિ. એનું કારણ છે કે કેટલીક ગતિઊર્જાનું રૂપાંતરણ કંઈક બીજામાં થાય છે. તાપીય ઊર્જા, ધ્વનિ ઊર્જા, અને પદાર્થોનો આકાર બદલાવો હોઈ શકે.

ધારો કે બે સમાન ટ્રોલી એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહી છે. તેઓ અથડાય છે, પણ ટ્રોલીઓ સાથે ચુંબકીય કપલર પણ છે તેથી અથડામણમાં તેઓ જોડાય છે અને એક સંયુક્ત દળ બને છે. આ પ્રકારની અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે કારણકે મહત્તમ શક્ય ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે. તેનો અર્થ એ નથી કે અંતિમ ગતિઊર્જા શૂન્ય છે; વેગમાનનું હજુ પણ સંરક્ષણ થાય છે.

વાસ્તવિક દુનિયામાં મોટા ભાગની અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અને સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપકની વચ્ચે ક્યાંક હોય છે. સપાટી ઉપર

h

ઊંચાઈથી ફેંકેલો બોલ ઉછળીને ફરી પાછો

h

કરતા ઓછી ઊંચાઈએ આવે છે, બોલ કેટલો મજબૂત છે એના પર એ આધાર રાખે છે. આ અથડામણને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કહેવાય છે.

શું ત્યાં સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કોઈ ઉદાહરણ છે?

બેલિસ્ટિક લોલક વ્યવહારિક સાધન છે જેમાં અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય છે. આધુનિક સાધનો ન શોધાયા ત્યાં સુધી, પ્રક્ષિપ્તની ઝડપનું માપન કરવા બેલિસ્ટિક લોલકનો ખુબ ઉપયોગ થતો હતો.

આ સાધનમાં, લટકાવેલા ભારે લાકડાના ટુકડામાં પ્રક્ષિપ્તને છોડવામાં આવે છે. લાકડાનો ટુકડો પ્રારંભમાં સ્થિર હોય છે. અથડામણ પછી પ્રક્ષિપ્ત ટુકડામાં જોડાય જાય છે. કેટલીક ગતિઊર્જાનું રૂપાંતર ઉષ્મા, ધ્વનિ, ટુકડાનો આકાર બદલવા માટે થાય છે. તેમછતાં, વેગમાનનું હજુ પણ સંરક્ષણ થવું જોઈએ. પરિણામે, ટુકડો કોઈક ઝડપે દોલન કરે છે. અથડામણ પછી, ટુકડો લોલક તરીકે વર્તે છે જેમાં કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. આના કારણે આપણે અથડામણ પછી ટુકડાની ગતિઊર્જા નક્કી કરવા માટે દોલનની મહત્તમ ઊંચાઈનો ઉપયોગ કરી શકીએ, પછી વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્ષિપ્તની પ્રારંભિક ઝડપ શોધી શકીએ.

આપણે જાણીએ છીએ કે આ અથડામણમાં ફક્ત વેગમાનનું જ સંરક્ષણ થાય છે, તેથી અથડામણ પહેલા પ્રક્ષિપ્તનું વેગમાન અથડામણ પછી પ્રક્ષિપ્ત-ટુકડા તંત્રના વેગમાનને સમાન હોવું જોઈએ. અહીં આપણે ટુકડા

B

માટે , પ્રક્ષિપ્ત માટે

P

સબસ્ક્રીપટનો ઉપયોગ કરી શકીએ. સંઘાત પછી ટુકડાનો વેગ

v_{B}

છે.

m_{P} v_{P} = (m_{B} + m_{P}) v_{B}

ફરીથી ગોઠવ્યા પછી:

v_{B} = \frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}}

આપણે જાણીએ છીએ કે અથડામણ પછી, બ્લૉક-બુલેટ તંત્રની યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે, તેથી જો બ્લૉક ગુરુત્વ પ્રવેગ

g

હેઠળ મહત્તમ ઊંચાઈ

h

સુધી જાય તો:

\frac{1}{2} (m_{P} + m_{B}) v_{B}^{2} = (m_{P} + m_{B}) g h

ફરીથી ગોઠવ્યા પછી:

v_{B}^{2} = 2 g h

બ્લૉકના પ્રારંભિક વેગ માટે વેગમાનના સંરક્ષણની અગાઉની પદાવલિમાં કિંમત મૂકતા:

\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}} = \sqrt{2 g h}

તેથી ફરીથી ગોઠવ્યા પછી:

v_{P} = \frac{m_{P} + m_{B}}{m_{P}} \sqrt{2 g h}

સ્વાધ્યાય 2a: ધારો કે 10 ગ્રામના બોલને 1 kg બ્લૉકમાં છોડવામાં આવે છે જે બેલિસ્ટિક લોલકનો એક ભાગ છે. જો તે 0.3 m ની ઊંચાઈ સુધી દોલન કરે, તો બોલની પ્રારંભિક ઝડપ શું છે?

[ઉકેલ]

સ્વાધ્યાય 2b: ધારો કે અગાઉના સ્વાઘ્યાયના બોલને અડધા દળ અને બમણી પ્રારંભિક ઝડપ સાથેની બુલેટમાં બદલવામાં આવે છે. શું તે જ સાધનો વડે પ્રયોગ કરવો સુરક્ષિત છે? શું તમે સમાન પરિણામની જ ઈચ્છા રાખો છો?

[ઉકેલ]

પુનઃસ્થાપનનો અચળાંક શું છે?

પુનઃસ્થાપનનો અચળાંક 0 અને 1 વચ્ચેની સંખ્યા છે જે દર્શાવે છે કે માપક્રમ પર આંતરક્રિયા સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક (0) અને સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક (1) ની વચ્ચે ક્યાં આવશે.

સ્થિર લક્ષ્ય સાથે અથડાતા પદાર્થો માટે, પુનઃસ્થાપનનો અચળાંક અંતિમ

v_{f}

અને પ્રારંભિક

v_{i}

ઝડપનો ગુણોત્તર છે, દા.ત:

C_{R} = \frac{v_{f}}{v_{i}}

સામાન્ય રમતના બોલનો પુનઃસ્થાપન અચળાંક લાકડાની સપાટી પર ક્રિકેટ બોલ માટે 0.35 થી, સ્ટીલ લક્ષ્ય સાથે ગોલ્ફ બોલ માટે 0.9 છે [1]. બિલિયર્ડ બોલ માટે પુનઃસ્થાપન અચળાંક 0.98 સુધી હોઈ શકે [2].

વધુ નુકસાનકારક કયું છે – સ્થિતિસ્થાપક અથવા અસ્થિતિસ્થાપક વાહન અથડામણ?

આ તમે નુકસાન વિશે જેની ચિતા કરી રહ્યા છો એના પર આધાર રાખે છે - વાહન અથવા વાહનચાલક!

ધારો કે વાહન બીજા પદાર્થ સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે. વાહન ચોક્કસ ઉછળશે. વાહન ઉછળવા તરીકે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર સમતુલ્ય અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરતા વધુ હોય છે. તેથી વાહનચાલક પર બળ વધુ હોય અને આ સ્પષ્ટરીતે વાહનચાલક માટે બહુ ખરાબ છે. બીજી બાજુ, આ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે તેથી વાહનનો આકાર બદલવામાં કોઈ ઊર્જા વપરાતી નથી. તેથી વાહનની રચનામાં નુકસાન ઓછું થશે.

આધુનિક વાહનો અકસ્માતની ઘટનામાં અસ્થિતિસ્થાપક અને સ્થિતિસ્થાપક બંને અથડામણનો ઉપયોગ કરી શકે એવા બનાવેલા હોય છે. વાહનની ફ્રેમ વાહનની રચનામાં ક્રમ્પ્લ ઝોન નો આકાર બદલવા વડે અથડામણમાં ઊર્જાના શોષણ કરે એવી ડિઝાઇન કરવામાં આવી હોય છે. તેમછતાં અંદરના મુસાફરનો વિભાગ મજબૂત હોય છે જેથી વાહનચાલકને નુકસાન ઓછું કરી શકાય.

એટ્રીબ્યુશન

[1] A. Haron and K. A. Ismail 2012 Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test in 'IOP Conference Series: Materials Science and Engineering' vol. 36 #1.

[2] Mathavan, S., Jackson, M.R. and Parkin, R.M, 2010. A theoretical analysis of billiard ball dynamics under cushion impacts. In 'Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science', 224 (9), pp. 1863 - 1873

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.