ક્રોસ ગુણાકાર અને ટૉર્ક

ભૌતિક શાસ્ત્રના અત્યાર સુધીના તમામ ટૉર્કના પ્રશ્નમાં મેં ફક્ત તેનું મૂલ્ય શોધ્યું છે કારણ કે સામાન્ય રીતે તે જ મહત્વનું હોય છે પરંતુ વાસ્તવમાં ટૉર્ક એ સદિશ રાશિ છે અને તેની દિશા પણ શોધી શકાય કારણ કે ટૉર્કને પરિભ્રમણ અક્ષ પરથી અંતર અને કણ પર લાગુ પડતા બળના ક્રોશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય અહીં આ બંને સદિશ છે આ પણ સદિશ રાશિ છે અને આ ટૉર્કની દિશાની વ્યાખ્યા થશે હવે મેં તમને અગાઉ ટૉર્ક વિશે શું શીખવ્યું હતું ધારો કે અહીં આ એક આમ છે આ એક આર્મ છે તે ઘડિયાળનો કાંટો પણ હોઈ શકે તે વસ્તુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે ધારો કે અહીં આ બિંદુથી કોઈક અંતર આર્મ સુધી ધારોકે અંતર 10 છે અહીં r નું મૂલ્ય 10 છે હવે આ બિંદુથી 10 એકમ જેટલા અંતરે હું અહીં બળ લગાડું છું ધારો કે હું અહીં અમુક ખૂણે બળ લગાડું છું આ મારુ બળ છે અને તે પણ સદિશ છે તેની પાસે મૂલ્ય અને દિશા બંને હશે ધારો કે આ અંતર 10 મીટર છે ધારો કે હું અહીં વર્ગમૂળમાં 3 ન્યુટન જેટલું બળ લગાડું છું ધારો કે આ બળ અને અહીં લીવરનો આર્મ જે પરિભ્રમણ કરી રહ્યો છે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો થિટા બરાબર પાઇ બાય 3 રેડિયન થશે જો તમે ડિગ્રીના સંધર્ભમાં વિચારવા માંગો તો તે 60 ડિગ્રી થાય હવે આપણે જે ટૉર્ક અને ચાપ માત્રા વિશે જાણીએ છીએ તેના આધારે આ બળ વડે કેટલું ટૉર્ક લાગશે અહીં તમારે સંપૂર્ણ બળ અને અંતરનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી તમારે અંતર અને બળનો જે ઘટક પરિભ્રમણની લંબ હોય અથવા બળનું જે ઘટક આ આર્મને લંબ હોય તેનો જ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને તેને કઈ રીતે ઉકેલી શકાય હવે બળનો ઘટક જે અહીં આ આર્મને લંબ હશે તે કંઈક આવો દેખાશે તે આ પ્રમાણે દેખાય હું તેને અહીં પણ દોરી શકો બળનો આ ઘટક અથવા આ ઘટક એ આ આર્મને લંબ હશે અને અહીં આ સમક્ષિતિજ ઘટક થશે પરંતુ આપણા માટે તે મહત્વનું નથી તે પરિભ્રમણમાં કોઈ ભાગ ભજવતો નથી પરિભ્રમણમાં બળનો ફક્ત આ ઘટક જ ભાગ ભજવે અને હવે બળના આ ઘટકનું મૂલ્ય શું થાય જે અહીં આ આર ને લંબ છે તેના માટે હું અહીં ત્રિકોણ દોરીશ ધારો કે આ મારો ત્રિકોણ છે હું અહીં કાટકોણ ત્રિકોણ દોરીશ આ પ્રમાણે આ ખૂણો કાટખૂણો છે આ ખૂણાનું માપ 60 ડિગ્રી અથવા પાઇ બાઈ 3 રેડિયન છે અને આનું મૂલ્ય વર્ગમૂળમાં 3 છે તો આ બાજુની લંબાઈ તે શું થાય અહીં આ 3 ,60 અને 90 નો ત્રિકોણ થશે આ બાજુની લંબાઈ ઘણી બધી રીતે શોધી શકાય હવે આપણે ત્રિકોણમિતિ જાણીએ છીએ તેથી અહીં આ બાજુની લંબાઈ વર્ગમૂળમાં 3 ગુણ્યાં sin ઓફ પાઇ બાય 3 અથવા sin ઓફ 60 ડિગ્રી થશે જેના બરાબર વર્ગમુળમાં 3 અને sin ઓફ પાઇ બાઈ 3 બરાબર વર્ગમૂળમાં 3 /2 થાય તેથી તેના બરાબર 3 /2 આમ અહીં બળનો આ ઘટક જે આ આરને લંબ છે તેનું મૂલ્ય 3 /2 ન્યુટન થશે હવે આપણે ટૉર્કનું મૂલ્ય શોધી શકીએ તેના બરાબર 3 /2 ગુણ્યાં 10 થશે આમ અહીં ટૉર્કનું મૂલ્ય બરાબર તેના બરાબર 3 /2 ન્યુટન યાદ રાખો કે મેં ફક્ત અહીં આ સદિશ તમને સમજાવવા માટે દોર્યો છે હું તેને અહીં આ પ્રમાણે પણ દોરી શકું આ બંને સદિશનું મૂલ્ય સમાન થશે કારણ કે આપણે અહીં આ બિંદુ આગળ બળ લગાડીએ છે આપણે સદિશોને ખસેડી શકીએ તેથી તેનું મૂલ્ય પણ 3 /2 ન્યુટન થાય બળ ગુણ્યાં અંતર તેથી બળ ગુણ્યાં 10 મીટર અને તેના બરાબર શું થાય તેના બરાબર 15 ન્યુટન મીટર થશે અહીં ટૉર્કનું મૂલ્ય 15 ન્યુટન મીટર થાય જયારે આપણે ટૉર્ક અથવા છાપ માત્ર વિશે શીખ્યા ત્યારે આપણે આ જોઈ ગયા હતા આપણે ટૉર્કનું મૂલ્ય શોધ્યું પરંતુ જો આપણે તેની દિશા જાણવા માંગતા હોઈએ તો અને તેના માટે જ આ ક્રોશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે હવે આ ક્રોશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા શું છે અહીં સદિશ r ક્રોશ સદિશ F = સદિશ R નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સદિશ F નું મૂલ્ય ગુણ્યાં તે બંને વચ્ચેના સૌથી નાના ખૂણાનું sin ગુણ્યાં એક એવો સદિશ જે આ બંને સદિશને લંબ હોય અહીં આ તમામ અદિશ રાશિ છે તે દિશા દર્શાવશે નહિ પરંતુ ટૉર્કની દિશા આ એકમ સદિશ વડે નક્કી થાય છે એકમ સદિશ એટલે એવો સદિશ જે સદિશનું મૂલ્ય 1 હોય અને તે કોઈક દિશા દર્શાવે છે અહીં ક્રોશ ગુણાકારનો આ ભાગ ફક્ત મૂલ્ય દર્શાવે છે જે આપણે હમણાં જ શોધ્યું F નું મૂલ્ય ગુણ્યાં sin થિટા એ બળ F નો એવો ઘટક આપશે જે આ આરને લંબ હોય અને પછી તેનો ગુણાકાર અંતરના મૂલ્ય સાથે કરવામાં આવે તો આપણને ટૉર્કનું મૂલ્ય મળે જે 15 ન્યુટન મીટર હતું જેનું મૂલ્ય 15 હતું ગુણ્યાં એકમ સદિશ N અને તેની દિશા આ એકમ સદિશ વડે નક્કી કરવામાં આવે છે જેને આપણે લંબ સદિશ કહીશું અને આપણે આ સદિશ વિશે શું જાણીએ છીએ આપણે એ જાણીએ છીએ કે સદિશ N એ આ આર અને F બંનેને લંબ હશે હવે જો તેને ત્રિપરિમાણમાં વિચારીએ તો એવો સદિશ જે આ બંને સદિશોને લંબ હોય તે ક્યાંતો પેજની અંદર જઈ શકે અથવા પેજ માંથી બહાર આવી શકે બરાબરને કારણ કે આ બંને સદિશો એવા સમતલ છે જે આપણા વિડિઓ વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે માટે જો હું સદિશ હોવ જે તમારી કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીનને લંબ છે તો તે આ બંને સદિશોને પણ લંબ થશે અને હવે તે સદિશ પેજની અંદર જાય છે કે પેજ માંથી બહાર આવે છે તે કઈ રીતે શોધી શકાય આપણે જમણા હાથનો ઉપયોગ કરી શકીએ જમણા નિયમ પ્રમાણે આપણે આપણી તર્જનીને આરની દિશામાં લઈશું માધ્યમને બળની દિશામાં લઈશું અને પછી અંગુઠો જે પણ દિશામાં આવશે તે ક્રોશ ગુણાકારની દિશા હશે ધારો કે આ મારી તર્જની છે જે સદિશ r ની દિશામાં છે ધારો કે તમે તમારો હાથ કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીનની ઉપર મુકેલો છે અને યાદ રાખો કે આ ફક્ત જમણા હાથ વડે જ કરી શકાય જો તમે ડાબા હાથનો ઉપયોગ કરો તો તે આનું વિરુદ્ધ થશે અને પછી માધ્યમ સદિશ F ની દિશામાં આવશે અને આ પછી મારી બાકીની આંગળીઓ હું ઇચ્છુ છું કે તમે જાતે જ દોરો અહીં આ તર્જનીનો નખ છે અને આ માધ્યમનો નખ છે હવે આ પરિસ્થિતિમાં અંગુઠો કઈ દિશામાં જશે મારો અંગુઠો આ પ્રમાણે બહાર આવશે કંઈક આ રીતે હું તેને આ પ્રમાણે દોરીશ આ રીતે આ મારી તર્જની છે આ મારી માધ્યમ છે અને અંગુઠો આ રીતે પેપરમાંથી બહાર આવે છે તે દર્શાવે છે કે ટૉર્કની દિશા પેપર માંથી બહાર આવે છે તેથી આ એકમ સદિશ n ની દિશા પેપરમાંથી બહારની તરફ આવશે જેને આ પ્રમાણે દર્શાવી શકાય આમ ટૉર્ક પાર ક્રોશ ગુણાકાર લાગુ પડી શકાય